Матричная модель популяций.

Пусть ресурсы питания не ограничены. Размножение происходит в определенные моменты времени: . Пусть популяция содержит n возрастных групп. Тогда в каждый фиксированный момент времени популяцию можно охарактеризовать вектор-столбцом

.

Вектор , характеризующий популяцию в следующий момент времени, например через год, связан с вектором через матрицу перехода

.

Установим вид этой матрицы. Из всех возрастных групп выделим те, которые производят потомство. Пусть их номера будут .

Предположим, что за единичный промежуток времени особи i-й группы переходят в группу i+1, от групп появляется потомство, а часть особей от каждой группы погибает. Потомство, которое появилось за единицу времени от всех групп, поступает в группу 1.

Вторая компонента получается с учетом двух процессов. Первый – переход особей, находившихся в момент в первой группе, во вторую. Второй процесс – возможная гибель части из этих особей. Поэтому вторая компонента равна не всей численности , а только некоторой ее части . Аналогично получаются третья компонента и все остальные.

Предположим, что все особи, находившиеся в момент времени в последней возрастной группе, к моменту погибнут. Поэтому последняя компонента вектора составляется лишь из тех особей, которые перешли из предыдущей возрастной группы. В момент времени популяция имеет возрастную структуру, которая описывается вектором

.

Здесь - коэффициент рождаемости, - коэффициент выживания. Вектор получается умножением вектора на матрицу

.

По диагонали матрицы стоят нули, под диагональными элементами – коэффициенты выживания , на первой строке стоят члены, характеризующие число особей, родившихся от соответствующих групп. Все остальные элементы матрицы равны нулю. Это и есть знаменитая матрица Лесли.

Зная структуру матрицы L и начальное состояние популяции – вектор-столбец , - можно прогнозировать состояние популяции в любой наперед заданный момент времени

Литература:

1. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии/ Ризниченко Г.Ю.

-Москва: Институт компьютерных исследований 2003 г. – 184 стр., см. Стр. 96.

Рассмотрим пример популяции из трех возрастных групп (Уильямсон, 1967). Пусть возрастная динамика популяции характеризуется матрицей

.

Исходная популяция состоит из одной самки старшего возраста (вектор-столбец в правой части уравнения). Каждое животное старшего возраста, прежде чем умереть, успевает произвести в среднем 12 потомков, каждое животное среднего возраста, прежде чем умереть или перейти в следующий возрастной класс (вероятности этих событий одинаковы), производит в среднем 9 потомков. Молодые животные не производят потомства и с вероятностью 1/3 попадают в среднюю возрастную группу. По прошествии одного временного интервала в популяции будет уже 12 самок младшего возраста:

.

Далее процедура повторяется на каждом шаге. Для просмотра результатов следующих временных периодов перейдите на вкладку модель, нажмите кнопку Пример. Программа автоматически заполнит все таблицы данными из описанного примера и рассчитает результат. В блоке Результаты можно просмотреть численность популяции за каждый временной период, эти данные также будут отражены на графике.

Задача.

Фермер решил разводить страусов и приобрел 20 птенцов страуса. Известно, что за свою жизнь страус проходит через три возрастных категории: птенец, молодой страус, взрослый страус. Известно также, что молодыми страусами становятся 70% птенцов, а взрослыми страусами 90% молодых страусов, остальные же погибают. Определите, сколько в среднем рождается птенцов у молодого страуса (коэффициент рождаемости ₂) и у взрослого страуса (коэффициент рождаемости ₃), если через три временных промежутка, в каждый из которых страусы переходят в следующую возрастную категорию, у фермера было 671 страусов, среди которых: 456 птенцов и 215 молодых страусов.

Задача решается методом подбора при помощи матричной модели популяций (вкладка Модель). Коэффициент рождаемости ₂ следует искать в промежутке от 20 до 30, а коэффициент рождаемости ₃ в промежутке от 30 до 40.

Введение.

На разных уровнях развития живой материи продукционные процессы проявляют себя по-разному, но их феноменологическое описание всегда включает рождение, рост, взаимодействие с внешней средой, в том числе с другими особями своего вида или других видов, смерть особей. Именно это обстоятельство позволяет применять сходный математический аппарат для описания моделей роста и развития у таких, казалось бы, удаленных друг от друга по лестнице уровней организации живой материи, как клеточная популяция и сообщество видов в экосистеме.

Описание изменения численности популяции во времени составляет предмет популяционной динамики. Популяционная динамика является частью математической биологии, наиболее продвинутой в смысле формального математического аппарата для проверки теоретических идей и представлений о законах роста и эволюции биологических видов, популяций, сообществ.

Постановка математических задач в терминах популяционной динамики восходит к глубокой древности. Человеку свойственно рассуждать о предметах, жизненно ему близких, и что может быть ближе, чем законы размножения популяций – людей, животных, растений.

Детализация возрастной структуры популяций приводит к классу моделей, впервые предложенных Лесли (1945, 1948) и применяемых в той или иной модификации практически во всех имитационных моделях реальных популяций. Рассмотрим классическую постановку задачи.

Модель «популяции» сотрудников кафедры.

Рассмотрим в качестве популяции сотрудников кафедры ПМ. Необходимо выяснить при каких коэффициентах выживания численность сотрудников кафедры не будет сокращаться.

Пусть сотрудники кафедры делятся на 3 категории: аспиранты и прочие младшие сотрудники, доценты и профессора. На данный момент в первой категории находятся 43 человека, во второй – 25 человек, а в 3-ей 5 человек. По оценкам, в среднем каждый доцент производит 2 аспирантов, за то время пока он является доцентом, а профессор в среднем 3 аспирантов. Также по оценкам, на данный момент лишь 30% аспирантов становятся доцентами и 10% доцентов становятся профессорами.

При таких данных популяция кафедры будет равна 0 уже через 14 временных периодов, каждый из которых равен примерно 20 годам.

Если же задать коэффициенты выживания 40% и 20% вместо 30% и 10%, то «популяция» кафедры будет приблизительно постоянной.

Если же задать коэффициенты выживания 40% и 30% вместо 30% и 10%, то «популяция» кафедры будет постоянно расти со временем.

Результаты вычислений по данному примеру можно увидеть на вкладке Модель, нажав кнопку Пример2.