Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Документы » Матричная модель популяций (1)

Матричная модель популяций (1) (Программы и отчёты к математическим моделям)

2015-08-23СтудИзба

Описание файла

Файл "Матричная модель популяций (1)" внутри архива находится в папке "1". Документ из архива "Программы и отчёты к математическим моделям", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "непрерывные математические модели" из 9 семестр (1 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .

Онлайн просмотр документа "Матричная модель популяций (1)"

Текст из документа "Матричная модель популяций (1)"

Матричная модель популяций.

Пусть ресурсы питания не ограничены. Размножение происходит в определенные моменты времени: . Пусть популяция содержит n возрастных групп. Тогда в каждый фиксированный момент времени популяцию можно охарактеризовать вектор-столбцом

.

Вектор , характеризующий популяцию в следующий момент времени, например через год, связан с вектором через матрицу перехода

.

Установим вид этой матрицы. Из всех возрастных групп выделим те, которые производят потомство. Пусть их номера будут .

Предположим, что за единичный промежуток времени особи i-й группы переходят в группу i+1, от групп появляется потомство, а часть особей от каждой группы погибает. Потомство, которое появилось за единицу времени от всех групп, поступает в группу 1.

Вторая компонента получается с учетом двух процессов. Первый – переход особей, находившихся в момент в первой группе, во вторую. Второй процесс – возможная гибель части из этих особей. Поэтому вторая компонента равна не всей численности , а только некоторой ее части . Аналогично получаются третья компонента и все остальные.

Предположим, что все особи, находившиеся в момент времени в последней возрастной группе, к моменту погибнут. Поэтому последняя компонента вектора составляется лишь из тех особей, которые перешли из предыдущей возрастной группы. В момент времени популяция имеет возрастную структуру, которая описывается вектором

.

Здесь - коэффициент рождаемости, - коэффициент выживания. Вектор получается умножением вектора на матрицу

.



По диагонали матрицы стоят нули, под диагональными элементами – коэффициенты выживания , на первой строке стоят члены, характеризующие число особей, родившихся от соответствующих групп. Все остальные элементы матрицы равны нулю. Это и есть знаменитая матрица Лесли.

Зная структуру матрицы L и начальное состояние популяции – вектор-столбец , - можно прогнозировать состояние популяции в любой наперед заданный момент времени

Литература:

  1. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии/ Ризниченко Г.Ю.

-Москва: Институт компьютерных исследований 2003 г. – 184 стр., см. Стр. 96.

Рассмотрим пример популяции из трех возрастных групп (Уильямсон, 1967). Пусть возрастная динамика популяции характеризуется матрицей

.

Исходная популяция состоит из одной самки старшего возраста (вектор-столбец в правой части уравнения). Каждое животное старшего возраста, прежде чем умереть, успевает произвести в среднем 12 потомков, каждое животное среднего возраста, прежде чем умереть или перейти в следующий возрастной класс (вероятности этих событий одинаковы), производит в среднем 9 потомков. Молодые животные не производят потомства и с вероятностью 1/3 попадают в среднюю возрастную группу. По прошествии одного временного интервала в популяции будет уже 12 самок младшего возраста:

.

Далее процедура повторяется на каждом шаге. Для просмотра результатов следующих временных периодов перейдите на вкладку модель, нажмите кнопку Пример. Программа автоматически заполнит все таблицы данными из описанного примера и рассчитает результат. В блоке Результаты можно просмотреть численность популяции за каждый временной период, эти данные также будут отражены на графике.













Задача.

Фермер решил разводить страусов и приобрел 20 птенцов страуса. Известно, что за свою жизнь страус проходит через три возрастных категории: птенец, молодой страус, взрослый страус. Известно также, что молодыми страусами становятся 70% птенцов, а взрослыми страусами 90% молодых страусов, остальные же погибают. Определите, сколько в среднем рождается птенцов у молодого страуса (коэффициент рождаемости 2) и у взрослого страуса (коэффициент рождаемости 3), если через три временных промежутка, в каждый из которых страусы переходят в следующую возрастную категорию, у фермера было 671 страусов, среди которых: 456 птенцов и 215 молодых страусов.

Задача решается методом подбора при помощи матричной модели популяций (вкладка Модель). Коэффициент рождаемости 2 следует искать в промежутке от 20 до 30, а коэффициент рождаемости 3 в промежутке от 30 до 40.

Введение.

На разных уровнях развития живой материи продукционные процессы проявляют себя по-разному, но их феноменологическое описание всегда включает рождение, рост, взаимодействие с внешней средой, в том числе с другими особями своего вида или других видов, смерть особей. Именно это обстоятельство позволяет применять сходный математический аппарат для описания моделей роста и развития у таких, казалось бы, удаленных друг от друга по лестнице уровней организации живой материи, как клеточная популяция и сообщество видов в экосистеме.

Описание изменения численности популяции во времени составляет предмет популяционной динамики. Популяционная динамика является частью математической биологии, наиболее продвинутой в смысле формального математического аппарата для проверки теоретических идей и представлений о законах роста и эволюции биологических видов, популяций, сообществ.

Постановка математических задач в терминах популяционной динамики восходит к глубокой древности. Человеку свойственно рассуждать о предметах, жизненно ему близких, и что может быть ближе, чем законы размножения популяций – людей, животных, растений.

Детализация возрастной структуры популяций приводит к классу моделей, впервые предложенных Лесли (1945, 1948) и применяемых в той или иной модификации практически во всех имитационных моделях реальных популяций. Рассмотрим классическую постановку задачи.

Модель «популяции» сотрудников кафедры.

Рассмотрим в качестве популяции сотрудников кафедры ПМ. Необходимо выяснить при каких коэффициентах выживания численность сотрудников кафедры не будет сокращаться.

Пусть сотрудники кафедры делятся на 3 категории: аспиранты и прочие младшие сотрудники, доценты и профессора. На данный момент в первой категории находятся 43 человека, во второй – 25 человек, а в 3-ей 5 человек. По оценкам, в среднем каждый доцент производит 2 аспирантов, за то время пока он является доцентом, а профессор в среднем 3 аспирантов. Также по оценкам, на данный момент лишь 30% аспирантов становятся доцентами и 10% доцентов становятся профессорами.

При таких данных популяция кафедры будет равна 0 уже через 14 временных периодов, каждый из которых равен примерно 20 годам.

Если же задать коэффициенты выживания 40% и 20% вместо 30% и 10%, то «популяция» кафедры будет приблизительно постоянной.

Если же задать коэффициенты выживания 40% и 30% вместо 30% и 10%, то «популяция» кафедры будет постоянно расти со временем.

Результаты вычислений по данному примеру можно увидеть на вкладке Модель, нажав кнопку Пример2.



Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5310
Авторов
на СтудИзбе
415
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее