Лекция 02 (Лекции 1-16, без 15й)

Лекция №02

Традиционные методы геометрии, широко используемые в материаловедении, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например, линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами, электрическая и топологическая размерности которых равны между собой. Заметим, что топология это отрасль математики, изучающая свойства фигур, остающиеся неизменными при непрерывных однозначных преобразованиях ( отображениях), т.е. таких которые сохраняют отношение соседства точек. При этом внутренняя структура исследуемого объекта как правило игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуются интегральными термодинамическими параметрами. Это приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые в сущности заменяются более или менее адекватными моделями. В некоторых случаях такая , (неэквивалентных) моделей принципиально недопустимо. Хотя математике уже давно были известны объекты геометрии, имеющие дробную размерность, только сейчас понятие о фракталах стало основой для рассмотрения различных окружающих нас природных форм. Мандельброд определил понятие фрактала, как структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Согласно Мандельброду, многие формы, которые ранее характеризовались как зернистые, гидраподобные, странные, запутанные, ветвистые, пористые, морщинистые и т. д., отныне могут изучаться и записываться в строгих количественных терминах. Фракталы дают компактный способ описания объектов и процессов. Использование концепции фракталов в материаловедении, которое является научным фундаментом получения материала с заданными свойствами, способствуют прогрессу в этом направлении. Теория фракталов переводит на более высокий уровень понятие о структуре, и что особенно важно дает ключ к развитию фрактального материаловедения на основе количественной оценки динамических структур, определяющих конечное свойство продукта. Как измерить длину извилистой линии или оценить шероховатость поверхности. Эвклидова геометрия не дает ответа на этот вопрос. Представления о фрактальной геометрии природы, введенной Мандельбродом, явились основой для количественного описания фрактальных объектов. Понятие о фракталах было первоначально использовано для измерения береговых линий. Нас интересует применение теории фракталов в материаловедении. При анализе естественных фракталов часто используют представление о кластерах. Кластерами называют комплексные соединения, в основе молекулярной структуры которых лежит объемная ячейка из непосредственно связанных между собой атомов, которая играет роль центрального атома. С развитием теории фракталов введено понятие фрактальных кластеров, которыми принято называть структуры, образующиеся при ассоциации твердых аэрозолей в газе в случае диффузионного характера их движения. Фрактальные системы обладают свойством самоподобия. Оно формулируется так: если в окрестности точки, занятой кластером, выделить область относительно небольшого объема, то попадающие в него участки кластера будут подобны в физическом смысле. Указанное свойство самоподобия не противоречит факту снижения средней плотности частиц по мере роста размеров кластера, т. к. при этом увеличивается объем пустоты. Важно, что фрактальный кластер, построенный по случайному закону имеет внутренний порядок, а свойство самоподобия следует понимать статистически. Геометрические модели основанные на простых представлениях евклидовой геометрии ( прямые, окружности, сферы, тетраэдры, октаэдры и т. д.) давно использовались для описания исследуемых объектов. И хотя математики еще в конце ХIХ века разработали геометрические представления выходившие за рамки традиционного представления, вплоть до последнего времени не пользовались должным вниманием со стороны представителей естественных наук. Мандельброд первым ввел новые геометрические представления для описания сложных структур. Он назвал их фракталами. Фрактальные структуры окружают нас повсюду: это очертания гор, извилины берегов морей и озер, контуры снежинок, хлопья сажи, очертания облаков, контуры дерева, сосудистая система человека. В настоящее время математическое понятие фрактала позволяет построить модели широкого класса нетривиальных, случайных, масштабно инвариантых структур. Такие модели не всегда поддаются аналитическому описанию, однако сложности можно преодолеть с помощью компьютерной техники. По этой причине последние 15 лет растет популярность и успех применения фрактальных моделей в физике твердого тела. Фрактальные системы являют собой мир объектов и явлений, которые имеют рыхлую, пористую структуру. В этих фрактальных структурах нет ни дальнего, ни ближнего порядка, но в то же время нет полной хаотичности. Эти системы в большинстве своем являются неупорядоченными, и макроскопические их свойства почти не изучены. Примером такой системы могут служить фрактальные агрегаты, которые образуются в неравновесных условиях при слипании движущихся по определенному закону твердых частиц. Фрактальные агрегаты (конгломераты) частиц – это совокупность частиц твердого вещества, связанных между собой в результате различных воздействий силами различной природы. Частицы могут объединяться в агрегаты спонтанно под действием дисперсионных, магнитных, электростатических сил, а также адгезии и механического сцепления. Агрегаты образуются при диспергировании (измельчении), осаждении из растворов или парогазовой фазы, либо при затвердевании материала (например, при распылении). По мере увеличения дисперсности порошка прочность таких агрегатов настолько возрастает, что разделить их на отдельные частицы становится практически невозможно. При динамическом равновесии этих процессов средний размер частиц и удельная поверхность порошка перестают зависеть от продолжительности измельчения. Увеличивать степень диспергирования материала можно путем использования размольных жидкостей (ПАВ – поверхностно-активных веществ). Агрегирование начинается при размере частиц ~1 мкм и менее. Фрактальный агрегат каждого вещества формируется при определенных физических условиях, которые до конца еще не поняты. Тем не менее, то, что уже известно дает возможность, используя концепцию образования фрактальных агрегатов, создавать новые красители, наноструктуры, твердые вещества с пористостью до 95% и т. д. В последние годы получило развитие новое научное направление в материаловедении, а именно - фрактальное материаловедение. Основная задача фрактального материаловедения заключается в разработке принципов управления структурой материалов за счет целенаправленного введения и последующей реализации контролируемых обратных связей с целью получения материалов с диссипативными свойствами, необходимыми для заданных условий эксплуатации. Методы фрактального анализа, в дополнение к традиционным металлографическим методам, открыли также возможность для описания внешне неупорядоченных структур материалов в строгих количественных терминах. Теоретической и идейной основой фрактального материаловедения являются: термодинамика (термостатика и неравновесная термодинамика систем в близких к состоянию равновесия), синергетика (изучающая поведение открытых систем далеких от состояния равновесия и опирающаяся на кинетические методы), иерархическая термодинамика (макротермодинамика), теория фракталов. Использование идей фрактального материаловедения в совокупности с достижениями современных нетрадиционных технологий будет способствовать получению новых материалов с заданными комплексами уникальных свойств. Еще один пример фрактальной системы – это дислокационная структура, образующаяся при пластической деформации. В этом случае рыхлость обусловлена смещениями на уровне межатомных расстояний.

Понятие о фракталах. Геометрическая фрактальная размерность.

Характерной особенностью объектов, которые получили название фракталов, является их не целая размерность. Фрактальную размерность можно определить следующим образом. Пусть мы имеем объект, состоящий из большого числа точек, которые расположены в трехмерном евклидовом пространстве. Для расчета среднего числа точек в окружности радиуса R можно воспользоваться такой функцией

[1]

где N – общее число точек, Q – степенная функция

Если рассматриваемый объект является фракталом можно воспользоваться функцией

[2]

В реальных условиях существует конечный интервал значений R, в котором выполняется[1]. Очевидно, что R должен быть меньше Lх, и в тоже время R должен быть намного больше минимального размера между точками l_f. Существование конечного интервала для R отражает фундаментальные свойства фракталов – самоподобия на разных масштабах, и является определением фракталов. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Таким образом, основным свойством фрактала является самоподобие. Это единственное за что можно уцепиться в этой почти хаотичной структуре. И все-таки определение фрактала как самоподобного множества является скорее математическим, чем физическим.

Экспериментальные методы определения фрактальной размерности (основные понятия)

1 – геометрические

а) например определяем фрактальную размерность плоской кривой, которая является контуром фрактального кластера. Для этого изображение кривой покрывается сеткой, состоящей из квадратов со стороной L1, затем подсчитывается число квадратов, через которые проходит контур кривой. Путем изменения масштаба сетки и сторон квадрата (L2) каждый раз подсчитывается число квадратов, пересекающих контур кривой. Затем в двойных логарифмических координатах строится зависимость N(l). [4]

б) другой разновидностью метода является определение D из соотношения между характеристиками множеств с разной топологической размерностью. В этом случае для фигуры, ограниченной фрактальной границей необходимо измерить [5]. Из соотношения [6] следует

[7]

Согласно этой формуле размерность D определяется как тангенс угла наклона зависимости квадрата периметра от площади S, построенной в двойных логарифмических координатах.