Лабораторная работа №3-1

№3.Игры с природой

Лабораторная работа № 3

Тема: Игры с природой

Цель работы: Ознакомиться с критериями принятия решений в условиях риска и неопределенности.

В игре с “природой” возможны две ситуации в зависимости от информированности оперирующей стороны:

1. принятие решение в условиях риска. Эта ситуация возникает, когда состояние (стратегия) “природы” - случайная величина с известным распределением;

2. принятие решения при наличии неопределенности. Известно лишь множество состояний “природы”, но нет информации о вероятностях, с которыми “природа” принимает эти состояния.

Данные, необходимые для принятия решений, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям оперирующей стороны, а столбцы - возможным состояниям “природы”. Каждому действию и каждому возможному состоянию соответствует результат (исход), определяющий выигрыш (или потери) при выборе данного действия и реализации данного состояния. Обозначим a_i (i=1,2,...m) - стратегии оперирующей стороны, _j (j=1,2,...,n) - возможное состояние “природы”, P_j (j=1,2,...,n) - вероятности состояний природы _j, (a_i,_j) - исход операции.

Критерии принятия решения в условиях риска

1. Критерий ожидаемого значения. (Случайные величины заменяются на их математическое ожидание и решение принимается как в условиях определенности.) Среднее значение выигрыша (потери) для i-й стратегии игрока - определяется как . В качестве оптимальной стратегии естественно выбрать ту из стратегий a^*=a_i, для которой величина максимальна (минимальна), если (a_i,_j) -выигрыши (потери). Принятое решение является оптимальным в среднем, т.е. этот критерий оправдан, если решение принимается достаточно большое число раз.

2. Критерий “ожидаемое значение - дисперсия”. Критерий ожидаемого значения основан на определении среднего, однако среднее не всегда адекватно отражает реальность, т.к. не учитывается разброс значений. Критерий “ожидаемое значение - дисперсия” устраняет этот недостаток.

3. Критерий наиболее вероятного исхода. (Случайная величина заменяется значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.)

Пример1. Задача о замене оборудования.

Установленное на предприятии оборудование после нескольких лет работы может оказаться в одном из трех состояний:

₁ - оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта;

₂ - некоторые детали значительно износились и требуют серьезного ремонта или замены;

₃ - основные детали износились настолько, что дальнейшая эксплуатация оборудования невозможна.

Прошлый опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что в 20% случаев оно может находиться в состоянии ₁, в 50% - в состоянии ₂ и .в 30% случаев состоянии ₃.

Для предприятия возможны три различных способа действия:

a₁ -оставить оборудование в работе еще на год, проведя незначительный ремонт;

a₂ - провести капитальный ремонт оборудования;

a₃ - заменить оборудование новым.

Потери, которые несет предприятие при различных способах действия, приведены в таблице:

Решение: Решим задачу с помощью критерия ожидаемого значения. Определим средние потери предприятия при применении стратегий a₁, a₂, a₃:

Оптимальной по критерию ожидаемого значения является стратегия a_2.

Критерии принятия решения при наличии неопределенности

1)Критерий Лапласа.

Поскольку вероятности состояний ₁,₂,...,_n неизвестны, то можно предположить, что они одинаковы. Тогда исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие a_i, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Другими словами, находится a_i, т.ч. , где - вероятность реализации состояния _j (j=1,2,...,n).

Пример 2. Рассматривается игра с природой 33 с тремя стратегиями игрока a₁, a₂, a₃ и состояниями природы ₁, ₂, ₃. Матрица выигрышей дана таблицей:

Решение: Принцип Лапласа предполагает, что ₁, ₂ и ₃ равновероятны. Следовательно, P(_j)= , j=1,2,3 и ожидаемые выигрыши при различных стратегиях равны:

E{a₁}= (4+9+7)= ; E{a₂}= (7+10+4)= ; E{a₃}= (7+6+9)= . Естественно, лучшей считать стратегию, дающую больший выигрыш. Таким образом, наилучшей стратегией в соответствии с критерием Лапласа будет a₃.

2)Критерий Сэвиджа.

Критерий основан на построении матрицы сожалений:

r(a_i,_j) - есть разность между наилучшим значением в столбце _j и значением (a_i,_j) при том же _j. По существу, r(a_i,_j) выражает “сожаление” лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшую стратегию относительно состояния _j. В матрице сожалений по принципу гарантированного результата можно найти стратегию, которая обеспечит минимальное “сожаление” при любом исходе.

Пример 3. Рассмотрим задачу из примера 2. Матрица сожалений имеет вид:

По принципу гарантированного результата: Таким образом, по критерию Сэвиджа оптимальной будет стратегия a₁.

3)Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица позволяет выбирать стратегии в зависимости от склонности к риску.

Если (a_i,_j) - выигрыш, то выбирается стратегия a^*, т.е.

В том случае, когда (a_i,_j) затраты, критерий выбирает стратегию a^*, т.е.

Параметр определяется как показатель риска: при =0 -критерий наилучшего гарантированного результата (нулевой риск), при =1 - ставка на максимальный выигрыш (максимальный риск).

Пример 4. Рассмотрим пример 2. Положим = .

Решение: Результаты вычислений приведены в таблице:

Таким образом, по критерию Гурвица с = оптимальной является стратегия a₃.

Задание к лабораторной работе № 3

Построить математическую модель следующих задач в форме матричной игры. Пользуясь указанными критериями найти решения этих задач (задачи приводятся с двумя вариантами числовых данных).

1. В производственном процессе партии товаров, имеющие 8, 10, 12 и 14% брака, выпускаются с вероятностями 0.4(0.3), 0.3(0.4), 0.25(0.2) и 0.05(0.1) соответственно. Производитель связан контрактами с тремя потребителями. В контрактах оговорено, что процент брака в партиях, направляемых потребителям А, В и С, не должен превышать 8, 12 и 14% соответственно. Если процент брака превышает обусловленный, то штраф составляет 100 долл.(120 долл.) за один процент превышения. С другой стороны, производство партий более высокого качества, чем требуется, приводит к увеличению затрат производителя на 50 долл. (45 долл.) за один процент. а)Определить, кто из потребителей будет иметь наибольший приоритет в выполнении заказа, если партия не проверяется до отправки.

б)Решить задачу а) при условии, что не известны вероятности выпуска брака. (использовать критерии Сэвиджа и Гурвица при = ).

2. Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением вероятностей:

Если булочка не продана в тот же день, она может быть реализована за 15(12) центов к концу дня. С другой стороны, свежие булочки продаются по 49(40) центов за штуку. Затраты магазина на одну булочку составляют 25(22) центов.