Лабораторная работа №2, страница 2
Описание файла
Документ из архива "Лабораторная работа №2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели в естествознании и экологии" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лабораторные работы", в предмете "математические модели в естествознании и экологии" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лабораторная работа №2"
Текст 2 страницы из документа "Лабораторная работа №2"
Решение: Строим платежную матрицу:
| A\B | B1 | B2 | B3 | i |
| A1 | 0.5 | 0.6 | 0.8 | 0.5 |
| A2 | 0.9 | 0.7 | 0.8 | 0.7 |
| A3 | 0.7 | 0.5 | 0.6 | 0.5 |
| j | 0.9 | 0.7 | 0.8 |
Находим нижнюю и верхнюю цену игры
,
.
Игра имеет седловую точку (α2;β2). Оптимальными стратегиями для A и B будут соответственно A2 и B2.
Задание к лабораторной работе № 2
Построить математическую модель следующих задач в форме матричной игры. Пользуясь принципом минимакса найти решения этих задач или установить, что они не решаются в чистых стратегиях (задачи приводятся с двумя вариантами числовых данных).
1.Два противника А и В ведут борьбу за два стратегических пункта. Под командованием А находится два (три) полка, под командованием В - три (три). Обе стороны должны распределить свои силы между двумя пунктами. Пусть n1 и n2 числа полков, посланных со стороны А на пункты 1 и 2 соответственно. Аналогично, пусть m1 и m2 - распределения полков противника по соответствующим пунктам. Выигрыш А подсчитывается следующим образом: если n1>m1, то он получает m1+1, и, если n2>m2, он получает m2+1. С другой стороны, если n1
2.Два предприятия предполагают выпустить конкурирующие товары. Первое - А или В, второе - С или D, причем одновременный выпуск двух типов товаров каждым из предприятий признан экономически невыгодным. По прогнозам специалистов найдет сбыт 1(2) тысяча изделий. В случае выпуска товаров двумя предприятиями спрос на них распределится в соответствии с данными таблицы:
| A | B | C | D | |
| A | — | 40(35)% | 70(60)% | 90(85)% |
| B | 60(65)% | — | 30(25)% | 50(50)% |
| C | 30(40)% | 70(75)% | — | 20(30)% |
| D | 10(15)% | 50(50)% | 80(70)% | — |
т.е. при выпуске товаров A и D, 90(85)% покупателей отдадут предпочтение товару D. Определить оптимальные стратегии руководства предприятий. (В качестве выигрышей взять прогнозируемый спрос (число изделий)).
3.Распределение сил в наступлении и обороне.
Сторона А, располагающая тремя(четырьмя) батальонами пехоты, стремится захватить некоторый объект В; сторона В, располагающая четырьмя батальонами пехоты, стремится воспрепятствовать этому. Каждый из наступающих батальонов может быть направлен к объекту по любой из двух дорог: I и II. Сторона В также может расположить любой из своих батальонов на любой из дорог. Если на дороге силы стороны В встречаются с превосходящими силами стороны А, последние оттесняют оборону, проходят к объекту и занимают его; если же на дороге оборона численно превышает нападение, атака отбивается, силы стороны А отходят и больше не возобновляют нападение. Если на дороге встречаются силы одинаковой численности, сторона А с вероятностью 0.4(0.3) побеждает и проходит к объекту, а с вероятностью 0.6(0.7) атака оказывается отбитой. Определить оптимальное количество батальонов, которое следует направить на каждую из дорог.
(обозначить выигрыш А - вероятность захвата объекта В)
4.Две конкурирующие фирмы собираются освоить два новых рынка сбыта продукции. Фирма А имеет возможность вложить в освоение рынков 10(12) тыс. долл., состоящие из двух неделимых пакетов по 5(6) тыс. долл., фирма В - 14(10) тыс. долл., состоящие из двух неделимых пакетов по 7(5) тыс. долл. Считая, что прибыль с продажи продукции на рынках пропорциональна вложенным средствам, но не превосходит максимально возможной прибыли с 1-го рынка -130(120) тыс. долл., со 2-го - 120(140) тыс. долл., определить оптимальные стратегии вложения средств для фирм А и В.
5.Сторона А планирует нанесение удара по одному из 4-х объектов стороны В, которая в силу ограниченного количества защитных средств может организовать эффективную оборону только одного объекта. Ценность объектов представлена в таблице:
| Номер объекта | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Ценность (усл. ед) | 10(9) | 7(8) | 9(7) | 6(5) |
Определить оптимальные стратегии сторон, если вероятность уничтожения обороняемого объекта - 0,4(0.3), необороняемого - 1. (В качестве проигрышей стороны А взять математическое ожидание ущерба).
6.В одном из трех районов акватории находится подводная лодка стороны В. Для поиска этой подводной лодки сторона А имеет 3 противолодочных кораблей, которые могут быть распределены по районам различным образом. Вероятность обнаружения подводной лодки одним противолодочным кораблем в каждом районе зависит от размеров и физико-гидрографических условий района. Данные о вероятностях представлены в таблице:
| Район | 1 | 2 | 3 |
| Вероятность обнаружения | 0.3(0.4) | 0.5(0.2) | 0,6(0.5) |
Считаем, что обнаружение подводной лодки каждым из противолодочных кораблей является независимыми событиями. Сторона А должна распределить противолодочные корабли по районам, а сторона В - выбрать район действия подводной лодки. (В качестве элементов платежной матрицы взять вероятность обнаружения подводной лодки).
7.Фирма А производит некоторый сезонный товар, который имеет спрос в течение 4-х (3-х) единиц времени. Этот товар поступает на рынок в момент i {i=1..4}( i=1..3). Конкурентная фирма В производит аналогичный товар, который поступает на рынок в момент j {j=1..4}(j=1..3). Качество конкурирующих товаров зависит от времени их поступления на рынок - чем позже товар выбрасывается на рынок, тем качество его выше. Реализуется только товар более высокого качества. В том случае, когда на рынок одновременно поступают оба товара, считаем что эти товары имеют одинаковый спрос. Определить время поступления товара фирмы А на рынок, обеспечивающее максимальный доход, если прибыль от продажи товара в единицу времени одинакова для обеих фирм и равна 20 (30) усл.ед.
8.Бомбардировщики и истребитель.
Сторона А посылает в район расположения противника В два(три) бомбардировщика I и II(I, II и III); I летит спереди, II - сзади(I летит спереди, за ним II, III - сзади). Один из бомбардировщиков, заранее неизвестно какой, должен нести бомбу; другие выполняет только функцию сопровождения. В районе противника бомбардировщики подвергаются нападению истребителя стороны В. Все бомбардировщики вооружены пушками. Если истребитель атакует последний бомбардировщик, то по нему ведут огонь пушки только этого бомбардировщика, поражающие истребитель с вероятностью 0.3. Если истребитель атакует первый(второй) бомбардировщик, по нему ведут огонь пушки как первого(второго) так и последнего бомбардировщика. (Если истребитель атакует первый бомбардировщик, по нему ведут огонь пушки всех трех бомбардировщиков.) Если истребитель не сбит ответным огнем бомбардировщиков, то он поражает выбранную им цель с вероятностью 0.8. Задача бомбардировщиков - донести бомбу до цели; задача истребителя - воспрепятствовать этому. Определить оптимальные стратегии сторон.
9.Сторона А - средства ПВО - обороняет от воздушного налета участок территории, располагая орудиями №1 и №2(№1, №2 и №3), зоны действия которых S1, S2 (S1, S2 и S3) не перекрываются. Каждое орудие может обстрелять только самолет, проходящий через его зону действия, но для этого оно должно заранее (до входа цели в зону) следить за ним и вырабатывать прицельные данные. Если цель обстреляна, она поражается с вероятностью p=1, иначе не поражается. Сторона В располагает двумя самолетами, каждый из которых может быть направлен в любую зону. В момент, когда сторона А осуществляет целераспределение - назначает, какому орудию за каким самолетом следить, сторона В решает какому самолету в какую область лететь. Задача стороны А - обратить в максимум, а стороны В - обратить в минимум число пораженных целей. Найти оптимальные стратегии для обоих сторон.
10.Предположим, что в некотором городе имеются два предприятия, которые выпускают продукцию одного и того же назначения. Первое предприятие (А) может выпускать продукцию типа Д1, Д2,...,Д5. Второе (В)- продукцию типа М1, М2,...,М5. Себестоимость и продажная цена всех видов продукции одинакова. Социологи установили, что в городе найдет сбыт 10000(5000) единиц товара всех видов, причем, если первое предприятие будет выпускать продукцию Дi, а второе - типа Мj, то вероятность спроса товара Дi равна рij. Прогнозируемая доля товаров предприятия А:
| М1 | М2 | М3 | М4 | М5 | |
| Д1 | 0.5(0.3) | 0.5(0.6) | 0.4(0.5) | 0.5(0.4) | 0.2(0.6) |
| Д2 | 0.5(0.1) | 0.4(0.5) | 0.7(0.3) | 0.1(0.7) | 0.6(0.3) |
| Д3 | 0.2(0.5) | 0.3(0.7) | 0.4(0.3) | 0.1(0.6) | 0.7(0.4) |
| Д4 | 0.3(0.4) | 0.6(0.2) | 0.7(0.1) | 0.3(0.7) | 0.2(0.5) |
| Д5 | 0.4(0.6) | 0.4(0.3) | 0.3(0.2) | 0.1(0.4) | 0.2(0.3) |
Определить оптимальные стратегии руководства предприятий по выпуску продукции.
11.Авианосное ударное соединение “зеленых” планирует нанесение ударов по авианосному ударному соединению “синих” в период Т, который состоит из 4-х (3-х) единиц времени. Удары, начиная с момента i, наносятся в каждую последующую единицу времени. В свою очередь, “синие” для защиты кораблей предполагают в тот же период Т использовать средства радиоэлектронного противодействия (РЭП), которые после постановки в момент j создают противодействие в каждый последующий момент времени без изменения своих характеристик. Допустим, что средства РЭП, поставленные до начала нанесения ударов, обнаруживаются средствами разведки, в результате чего эффективность этих средств снижается до нуля. С другой стороны, если удары наносятся ранее постановки РЭП, то эти средства снижают эффективность оружия до нуля. Кроме того, будем считать, что запланированное время нанесения ударов и постановки средств РЭП, не может быть изменено, а удары наносятся с одинаковой интенсивностью. Пусть математическое ожидание числа уничтоженных кораблей “синих” в единицу времени при нанесении ударов без противодействия средств РЭП равно с=0.4 (0.6). Кроме того, примем, что если удары наносятся одновременно с использованием средств РЭП, то математическое ожидание числа уничтоженных кораблей “синих” в единицу времени равно с/2 и остается постоянным для соответствующего отрезка периода Т.
12. Пусть игрок В для уклонения от самонаводящихся торпед может применить j-е {j=1,2,3} средство гидроакустического противодействия (ГПД), а сторона А - использовать в устройстве самонаведения i-e {i=1,2,3} помехозащитное устройство. Считаем, что помехозащитное устройство i снижает эффективность средства i гидроакустического противодействия до нуля. В остальных случаях будем полагать, что 1-е помехозащитное устройство “проигрывает” по 20(30) единиц 2-м и 3-м средствам ГПД, 2-е помехозащитное устройство “проигрывает” по 10 (20) единиц 1-м и 3-м средствам ГПД, а 3-е помехозащитное устройство “проигрывает” по 1 (2) единиц 1-м и 3-м средствам ГПД. Определить оптимальные стратегии использования помехозащитных устройств и ГПД.
4
