179247 (Статистика), страница 11

Мощность критерия – это вероятность отклонения испытуемой нулевой гипотезы, когда правильною является альтернативная гипотеза. То есть мощностью критерия является вероятность того, что не будет допущена ошибка. Конечно, желательно иметь более мощный критерий, так как это обеспечит минимальную вероятность допущения ошибки второго рода.

Этапы работы по проверке статистической гипотезы:

1. оценка входной информации и описание статистической модели выборочной совокупности;

2. формирование нулевой и альтернативной гипотезы;

3. установление уровня значимости, с помощью которого контролируют ошибку первого рода;

4. выбор мощного критерия для проверки нулевой гипотезы (это даёт возможность контролировать появление ошибки второго рода);

5. вычисление по определённому алгоритму фактического значения критерия;

6. определение критической области и области согласия с нулевой гипотезой, то есть установление табличного значения критерия;

7. сравнение фактического и табличного значений критерия и формулирование выводов по результатам проверки нулевой гипотезы.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы на ожидаемый закон неизвестного распределения в генеральной совокупности. Есть ряд критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова, Ястремского. Эти критерии дают возможность установить: согласуются или нет опытные распределения с теоретическими, а также насколько существенны расхождения между распределениями.

Одним из наиболее употребляемых критериев согласия является критерий К. Пирсона («Хи-квадрат»):

,

где - соответственно частоты эмпирического и теоретического распределения в - том интервале.

Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше величина критерия Пирсона. Чтобы отличить существенные значения от значений, которые могут возникнуть в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным значением при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости.

Определив значение критерия Пирсона по данным конкретной выборки, можно встретиться с такими вариантами:

1. , то есть попадает в критическую область. Это означает, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных. В таком случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному отвергается.

2. , то есть рассчитанный критерий не превышает максимально возможную величину расхождений эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных данных. В этом случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

Табличное значение критерия Пирсона определяется при фиксированном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы.

Число степеней свободы = , где - число условий, которые предполагаются выполненными при вычислении теоретических частот, - число групп. Понятие числа степеней свободы связано с тем, что в статистических совокупностях приходится учитывать линейные связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Например, при исчислении дисперсии в совокупности мы располагаем степенями свободы, так как любое значение признака мы можем определить, зная значений и среднюю арифметическую.

Дисперсионный анализ – это метод статистической оценки надёжности выявления зависимости результативного признака от одного или нескольких факторов. Суть этого метода заключается в статистическом изучении надёжности влияния одного или нескольких факторов, а также их взаимодействия на результативный признак.

С помощью дисперсионного анализа решаются три задачи:

1. дать общую оценку существенности отличий между групповыми средними.

2. Оценить надёжность взаимодействия факторов.

3. Оценить существенность отличий между парами средних.

Решение задач дисперсионного анализа базируется на законе сложения вариации, соответственно которому общую вариацию (колебание) результативного признака разделяют на две: вариацию, обусловленную действием исследуемого фактора (факторов), и вариацию, обусловленную действием случайных причин, то есть: .

Дисперсии двух выборок сравнивают, используя критерий Фишера - - критерий. Для этого вычисляют отношение большей выборочной дисперсии к меньшей:

.

Если - критерий равен 1, то это указывает на равенство дисперсий, и вопрос о существенности их расхождений снимается. Если же величина дисперсионного отношения больше 1, то возникает необходимость оценить, случайно ли расхождение между дисперсиям. При этом очевидно: чем больше величина дисперсионного отношения, тем значительнее расхождение между ними.

Решение типовых задач

Задача № 1.

В пригородном хозяйстве испытали рацион с добавкой витаминов при мясном откорме животных. Были организованы опытная и контрольная группа по 5 голов в каждой. На протяжении месяца опытная группа животных получала дополнительно комплекс витаминов. В конце месяца для каждого животного был определён прирост живой массы (табл.1). Сравнение средних суточных приростов в двух группах животных показывает, что более высокий суточный прирост дали животные исследуемой группы. Так как выборка невелика ( ), не исключена возможность, что расхождение в суточных приростах обусловлено действием случайных причин. Необходимо статистически оценить разницу между средними двух групп животных. По результатам проверки сделать вывод о том, что разница между средними находится в границах случайных колебаний или эта разница настолько значима, что не согласуется с нулевой гипотезой о случайном характере разницы между средними. Если будет доказано второе положение и отклонено первое, можно утверждать, что условия роста массы животных опытной группы существенно отличаются от условий контрольной группы, то есть комплекс витаминов стимулирует суточный прирост.

Таблица 1

Ход решения:

Условие задачи предусматривает, что обе выборки взяты из нормально распределённой генеральной совокупности. Формирование групп является случайным (независимым), поэтому оценивать следует разницу между средними.

Определим средние суточные приросты в опытной и контрольной группах:

Фактическая разница между средними:

.

Существенность этой разницы нужно оценить. Для этого проверяют гипотезу о равности двух средних.

Рассмотрим подробно все этапы проверки гипотезы.

1. Сформулируем нулевую ( ) и альтернативную ( ) гипотезы:

. (Знак «двоеточие» означает «равно»)

1. Примем уровень значимости ; он гарантирует принятие гипотезы или отказ от неё с вероятностью ошибки только в 5 случаях из 100.

2. Самым мощным критерием для проверки такой гипотезы является -критерий Стьюдента (для малых выборок).

3. Сформулируем правило принятия решения по результатам проверки : гипотеза отклоняется, если фактическое значение -критерия будет больше его табличного значения, то есть, если . В противном случае должна быть принята.

4. Чтобы проверить , необходимо определить фактическое значение критерия Стьюдента и сравнить его с табличным.

Фактическое значение -критерия Стьюдента определим по формуле:

,

где - обобщающая средняя ошибка разницы средних.

Для определения фактического значения -критерия Стьюдента осуществим такие расчёты.

6. Определим для каждой выборки скорректированные на потерю числа степеней свободы вариации дисперсии, возводя сначала значения и в квадрат.

7.Определим квадраты средних шибок для каждой выборки и обобщающую среднюю ошибку разницы средних: