Если в результате второго испытания произошло событие Q_j, а в результате первого испытания могло произойти все что угодно, то сложное событие B имеет вид: .

Вероятность сложного события B равна сумме вероятностей комбинаций вида E_iQ_j, i=1, ..., m1

, т.к. исходы первого испытания не влияют на исходы второго испытания. Из факта: P(AB)=P(A)P(B/A); P(B/A)=P(B); AB=E_iQ_j (надо доказать)

A={E_iQ₁, E_iQ₂, ..., E_iQ_j, ..., E_iQ_m2}

B={E₁Q_j, E₂Q_j, ..., E_iQ_j, ..., E_m1Q_j}

По определению произведения AB в него входят только те события, которые входят и в A, и в B. Из приведенных выше формул следует, что только событие E_iQ_j входит и в A, и в B, то AB= E_iQ_j. Следует:

Композиционное пространство имеет вид:

Общая структура независимых событий в композиционном пространстве, порожденном композицией испытаний:

т.е. в результате первого испытания произошли элементарные события: .

В результате второго испытания события: .

Сложное событие B определяет все возможные комбинации исходов двух испытаний независимо друг от друга. В результате первого испытания произошли элементарные события: .

В результате второго испытания события: .

Тогда:

, т.к. второе испытание не влияет на результаты первого.

т.к. , (надо доказать)

то

При решении практических задач, связанных с независимыми испытаниями обычно не требуется строить композиционных пространств элементарных событий, а использовать формально неверную запись: P(A×B)=P(A)×P(B).

Композиция n испытаний.

Имеется n испытаний. Зададим для i-го испытания вероятностное пространство:

i=1, ..., n

Композицией n испытаний называется сложное испытание, состоящее в совместном проведении n испытаний. Задается n испытаний, вероятностное пространство каждого из которых имеет вид:

i=1, ..., n

Композиционное пространство имеет вид:

j₁=1, ..., m₁; j₂=1, ..., m₂; j_n=1, ..., m_n;

Композиция n независимых испытаний.

Испытания (n - испытаний) называются независимыми, если неоднозначность исхода каждого из испытаний определена не связанными между собой группами факторов.

Событие A₁: в результате проведения композиционного испытания в первом испытании произошло событие . Тогда

Событие A_n: в результате проведения композиционного испытания в первом испытании произошло событие . Тогда

i=1, ..., n

Рассмотрим событие:

В силу определения независимости испытаний очевидно, что:

.

Следовательно: .

На практике не строят композиционных пространств, а записывают формально неправильную формулу: P(A₁A₂...A_n)=P(A₁)P(A₂)...P(A_n).

Композиционное пространство имеет вид:

j₁=1, ..., m₁; j₂=1, ..., m₂; j_n=1, ..., m_n;

Общая структура независимых событий в композиционном пространстве имеет вид:

Рассмотрим два вероятностных пространства.

Очевидно, что неопределенность испытания до испытания в первом вероятностном пространстве выше, чем во втором. Действительно, до испытания в I нельзя ни одному из событий отдать предпочтения, а во II событие E₃ происходит чаще.

Энтропия - мера неопределенности исхода испытания (до испытания).

Первым, кто функционально задал выражение для энтропии был Шеннон.

,

Для вероятностного пространства:

Энтропия задается выражением: . Если P₁=0, то P_i×logPi­=0.

Самим показать, что:

1. Если вероятностное пространство не имеет определенности, т.е. какое-то из P_i=1, а остальные равны 0, то энтропия равна нулю.

2. Если элементарный исход равновероятен, т.е. , то энтропия принимает максимальное значение.

0£P_i£1,

1. ,

   т.о. вероятности p₁, p₂, ..., p_s обращаются в ноль, например p_i, которая равна 1. Но log1=0. Остальные числа также обращаются в 0, т.к. .

2. Докажем, что энтропия системы с конечным числом состояний достигае максимума, когда все состояния равновероятны. Для этого рассмотрим энтропию системы как функцию вероятностей p₁, p₂, ..., p_s и найдем условный экстремум этой функции, при условии, что .

Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, будем искать экстремум функции: .

Дифференцируя по p₁, p₂, ..., p_s и приравнивая производные нулю получим систему:

i=1, ..., s

Откуда видно, что экстремум достигается при равных между собой p₁.

Т.к. , то p₁= p₂=, ..., = p_s= 1/s.

Еденицей измерения энтропии является энтропия вероятностного пространства вида:

, которая называется 1 бит.

Неопределенность исхода испытания до испытания автоматически определяет информативность исхода испытания после испытания. Поэтому в битах также измеряется информативность исхода.

Рассмотрим два вероятностных пространства:

Проводим композицию двух испытаний. Композиционное пространство имеет вид:

i=1, ..., s₁ j=1, ..., s₂

С точки зрения качественного анализа максимальная энтропия композиционного вероятностного пространства достигается тогда, когда испытания независимы. Найдем энтропию композиционного пространства для случая независимых испытаний.

Биномиальное распределение.

n испытаний называются системой испытаний Бернулли, если испытания независимы, в каждом из них происходит событие , либо с вероятностью наступления P(A) = p;

Найдем вероятность того, что в результате проведенных n испытаний событие А произошло m раз:

Рассмотрим композицию n независимых испытаний и построим композиционное пространство элементарных событий.

Общий вид элемента этого пространства следующий:

При этом вероятность наступления такого события равна:

(умножение при независимых событиях)

Найдем вероятность наступления любого элементарного события из композиционного пространства:

Рассмотрим в композиционном вероятностном пространстве событие: в n испытаниях событие A произошло m раз.

Событие A состоит из - общее кол-во элементарных событий, в которое входит событие А. А произошло m раз, - n-m раз. Вероятность каждого из этих элементарных событий одинакова и равна:

Следовательно, на основании III аксиомы теории вероятности результат равняется:

(сложение вероятностей)

Случайная величина

Пусть имеется вероятностное пространство вида .

Случайной величиной называется измеримая числовая скалярная функция , элементами которой являются элементарные события.

Числовая скалярная функция - это функция, удовлетворяющая следующему условию:

событие - алгебре и, следовательно, имеет вероятность наступления.

Если произведено испытание, в результате которого произошло некоторое элементарное событие . В соответствии с функцией этому элементарному событию соответствует число, которое называется реализацией случайной величины x в данном испытании.

В соответствии с определением случайной величины вводится числовая скалярная функция F(x), , определенная для каждого действительного x и по определению равная вероятности наступления события:

Эта функция называется функцией распределения случайной величины .

Рассмотрим три события:

где a<b, a, b - действительные числа.

Свойства:

Покажем, что из факта

A₂  -алгебре

A₁  -алгебре

и равенства следует, что A₃  .

По определению -алгебры A₃ измерима, поэтому можно принять III аксиому теории вероятности:

F(x) - неубывающая функция

Если x<y, то

т.к. , то преобразования верны.

Для всех технических приложений функцию распределения можно считать направленной слева.

В силу того, что функция распределения не убывает, она однозначно задает стчетно-аддитивную меру на поле, порожденном всеми полуинтервалами ненулевой длины.

По введенному полю построим борелевскую алгебру. Обозначим ее . Возьмем произвольное число B не принадлежащее полю. Это точка или сегмент. Т.к. множество получено с помощью счетной суммы или счетного пересечения множеств принадлежащих -алгебре, то и это множество принадлежит -алгебре и, следовательно, существует вероятность наступления события B. Следовательно, имеет место следующее эквивалентное определение измеримой функции.