Сыктывкарский государственный университет

Кафедра математического анализа

Методические указания по курсу “Математика”

для студентов I курса исторического факультета

(заочное отделение)

Преподаватель Попова Н.А.

Сыктывкар 2001

Учебный план по курсу “Математика”

для I курса исторического факультета (заочное отделение)

на 2001-02 уч.год преподавателя Поповой Н.А.

I семестр. Лекции (4 часа)

1. Краткий исторический очерк развития математики. Обзор литературы.

2. Множества, элементы комбинаторики, введение в теорию вероятностей и математическую логику, знакомство с графами.

Консультация (1 час). Методические указания к выполнению контрольной работы.

Задания для самостоятельной работы:

1. Контрольная работа (5 задач. См. приложение 1).

2. Подготовка (написание) реферата по выбранной теме (список тем – приложение 2).

II семестр. Практические занятия (12 часов). Решение задач.

1. Множества. Элементы комбинаторики.

2. Элементы теории графов и математической логики.

3. Элементы теории вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия, их применение в математической статистике.

4. Функции и их графики.

Семинары.

5–6. Некоторые вопросы истории развития математики (основные вехи развития общества и развития математики).

Консультации (к зачету) – 13 часов.

Зачет ставится с учетом оценок за:

1. контрольную работу,

2. реферат (по индивидуальной теме),

3. участие в работе практических занятий (общая оценка за 6 занятий),

4. ответы на вопросы зачета по двум частям (2 вопроса, приложение 3).

Список основной литературы:

1. Ловягин Ю.Н., Матвеева О.П. Математика. Учебное пособие для студентов нематематических специальностей. Ч.1. Дифференциальное и интегральное исчисления. Сыкт-р. СГУ, 1998. 73 с. Ч.2. Теория вероятностей. Графы. СГУ, 1999. 64 с.

2. Матвеев И.В. Функции и их графики. М. МГУ, 1970. 104 с.

3. Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М. Просв., 1968. 230 с.

4. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М. Просвещение, 1990. 416 с.

5. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику (Начальные понятия). М. Наука, 1965. 376 с.

6. Головач П.А. Введение в теорию графов. Сыктывкар. СГУ, 1993.

7. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Введение в теорию вероятностей. М. Физматгиз, 1982. 160 с.

8. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Т., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. М. Физматгиз, 1982.

9. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М. Наука, 1984. 320 с.

10. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. Учебное пособие. М. Наука, 1989. 576 с.

11. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М. Наука, 1978. 336 с.

12. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. Пособие для учителя. М. Просвещение, 1987. 159 с.

Приложение 1.

Контрольная работа по математике

для I курса исторического факультета СГУ (заочное отделение)

Задание 1. (Множества. Комбинаторика.)

1. Составить множества различных букв. А – своего полного имени, В – своего отчества, С – своей фамилии.

2. Найти объединение и пересечение множеств А и В.

3. Найти дополнения к С до А и к А до С.

4. Проверить на диаграммах, верно ли равенство: .

5. Вычислить, сколько элементов имеет декартово произведение множеств А и В, изобразить их точками плоскости.

6. Сколько различных аббревиатур можно составить из всех букв множества С? В каждой из аббревиатур использовать каждую букву из множества С только по одному разу (т.е. без повторений).

7. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из букв множества В, если слова составляются из разных букв (без повторений)? Что собой представляют наборы букв этих слов – сочетания или размещения?

8. Сколько различных подмножеств (всех) имеет множество А?

Пример решения такой задачи. Пусть автор – Пафнутий Львович Чебышёв (будем считать е и ё за одну и ту же букву). Тогда

1) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, И, Ч}, С={Ч, Е, Б, Ы, Ш, В}.

2) = {П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, Л, Ь, В, О, Ч}. ={И}.

1. Т.к. , то и .

2. {П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.

{П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й, В, Ч}.

Ответ: Т.к. получилось одно и то же множество, то равенство верно.

5 ) . Ч

И

О

В

Ь

Л

П А Ф Н У Т И Й

6) Так как аббревиатуры составляются из всех букв множества С и без повторений, то их количество равно множеству порядков на множестве С: .

7) Т.к. при перестановке букв в слове получаются другие (новые) слова (например, ЛОВ и ВОЛ), то наборы букв для слов – это размещения, т.к. важен порядок выбора букв. Всех размещений из букв множества В по 3 - . Но нет слов, начинающихся с буквы “ь”, поэтому такие наборы надо исключить, их количество равно . Тогда различных трехбуквенных слов .

Ответ: 100.

8) Т.к. , то количество подмножеств - .

Задание 2 (Графы)

Пусть множество А из предыдущего задания есть множество обозначений вершин для построения графов, т.е. множества точек V.

1. И зобразить вершины графа точками, обозначить их и соединить ребрами так, чтобы получился а) полный граф - , б) двудольный граф - , в) полный двудольный граф - , г) регулярный граф - (указать его степень), д) односвязный граф с одним “мостом” - , е) непростой граф - (т.е выполнить не менее шести рисунков).

2. Найти среди изображенных графов а) эйлеров граф, б) полуэйлеров граф, в) граф, имеющий циклы (если они есть на рисунках, подписать их; если нет, то изобразить такие графы).

3. Из множеств А, В и С предыдущей задачи выбрать множество с наименьшим числом букв (элементов) и, считая их вершинами графа, изобразить все возможные деревья с вершинами во всех этих точках.

Например.

b

a c полный граф с пятью вершинами; он же регулярный

(однородный), степень вершин r = 4; а также он эйлеров;

l d односвязный.

n двудольный и двусвязный граф; (двудольный -

m неполный).

l

k o

p q

s

t u непростой, односвязный с одним “мостом”,

полуэйлеров граф.

x v

z w

y

Задание 3 (Теория вероятностей)

Возьмем множества А и В из задания 1. Пусть каждая из букв написана на отдельной карточке и множества А и В – это две колоды карточек (все карточки положены буквами вниз, их не видно).

Вычислить вероятность того, что при выборе наугад по одной карточке из каждой колоды будут вынуты а) 2 одинаковые буквы; б) 2 разные буквы; в) хотя бы одна из букв такая, какую Вы задумали заранее (укажите, какую именно; если есть разные варианты решения, то покажите все решения).

Например, ) А={П, А, Ф, Н, У, Т, И, Й}, В={Л, Ь, В, О, В, И, Ч}. Тогда: а) общая буква только одна – И; вероятность ее выбора из А равна , вероятность ее выбора из В равна ; вероятность ее выбора из А и из В – (правило произведения); б) т.к. во всех остальных случаях буквы будут различны, то вероятность выбора двух разных букв равна (можно ее найти и другим способом); в) если задумана буква “И”, то вероятность ее выбора хотя бы из одной колоды – это 3 случая: “И” из А и любая другая буква из В, “И” из В и любая другая буква из А, а также “И” – из А и В; сложив вероятности, получим: . Аналогично для других букв (2 случ.).

Внимание! В заданиях 4 и 5 каждый студент должен выполнить свой вариант. Номер варианта соответствует Вашему номеру зачетной книжки следующим образом: а) если две последние цифры номера зачетной книжки составляют число не больше тридцати, то это и есть номер Вашего варианта; б) если две последние цифры составляют число большее тридцати, то из него следует вычесть 30 столько раз, сколько возможно; остаток и есть номер Вашего варианта; если две последние цифры номера зачетной книжки 60 ли 90, то Вы выполняете вариант 30. Например, номер зачетной книжки …41 – вариант 11, т.к. 41=30+11, …62 – вариант 2, …97 – вариант 7; …208 – т.е. …08 – вариант 8.

Задание 4 (Математическая логика).

А. В вариантах 1 – 15 составить таблицу истинности формулы:

1.  x  y  ( y  x  y); 2.  (x  y ) ( x  y)   y);

3. y   x  ( y  x   x); 4. x  y  ( x   y  y );

5. x  ( x   y   y   x); 6. (y   x  ( x  y))  x y;

7.  (x   y)  (x  y); 8. x  ( y  y   (x y));

9. x  y   y  ( x  y); 10. x  (  y  x y);

11. x  ( y   x ( x   y)); 12. (x y)  ( y   x);

13. ( x y)  ( x   (y  x)); 14. x  (  y  x)  ( x  y));

15. (x   y)  (  x y)   y;

Б. В вариантах 16-30 проверить, является ли формула тавтологией:

16. (y  (x  y))  ( x  ( y   x)); 17. ( x  y)  ( y   x);

18. x  ( x   y )   y); 19. x  ( x  ( y  x ));