Integraly (Интеграл и его свойства)
Описание файла
Документ из архива "Интеграл и его свойства", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Integraly"
Текст из документа "Integraly"
Теоретические вопросы
-
Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..
Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x)+C, где С – постоянная.
-
Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.
-
Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
-
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
-
Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
-
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
-
Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
где u – дифференцируемая функция.
-
Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).)
Интегралы 1 – 17 называют табличными.
Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.
-
Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), откуда dx=φ’(t)dt.
Теорема. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:
d(uv)=udv+vdu. – (3)
Интегрируя обе части равенства (3), получаем:
Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.
В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.
Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.
-
Интегралы вида , , (Pn(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=Pn(x) и применить формулу (4) n раз.
-
Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn(x).
-
Интегралы вида , (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.
-
Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:
Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n≥m), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n≤m), то дробь называется правильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):
где R(x) – многочлен-частное (целая часть) дроби ; Pn(x) – остаток (многочлен степени n < m).
-
Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование простейших дробей. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:
Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p2/4-q < 0.
Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:
Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:
Интегрирование рациональных дробей.
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого типов. Для разложения на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Qm(x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение:
Теорема. Правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:
(A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns – некоторые действительные числа).
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm(x) и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn(x).
Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.
Правило интегрирования рациональных дробей. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:
где n < m; R(x) – многочлен;
-
Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.
Интегралы вида Универсальная подстановка. Будем рассматривать интегралы вида: