31053-1 (Некоторые темы геометрии)

Некоторые темы геометрии

ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН.

Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом.

Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной величине или об истинном скаляре.

Если некоторая скалярная величина определяется одним чис­лом, абсолютная величина которого не зависит от выбора осей от­сче­та, а ее знак зависит от выбора положительного направления на осях ко­ор­динат, то тогда говорят о псевдоскалярной величине

ВЕКТОР

Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом - числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Геометрически принято изображать вектор направленным отрезком. Зная координаты начала и конца вектора и , можно найти координаты вектора, определяемого этими точками , т.е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание векторов производят геометрически (рис. 7). Этот способ называют правилом треугольника.

Математически сложение записывают или , если речь идет о вычитании векторов (рис. 7).

Если в пространстве задано несколько векторов, число которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) записывают как Геометрически этот способ называют правилом многоугольника.

Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора на скаляр получают новый вектор , совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль) которого изменяется в раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если 0, или противоположно исходному вектору, если < 0. В координатной форме, если , то .

КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Два одинаково направленных и параллельных вектора называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть разной длины

Два вектора и называют коллинеарными, если существуют такие два числа и , не равные нулю одновременно, что выполняется равенство

Три вектора , и назовем компланарными, если существуют такие три числа , и , не равные одновременно нулю, что выполняется равенство

ТЕМА 2. Действия над векторами

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух векторов и называется число S =| | | | сos ( ). Эта операция обозначается .В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е. . Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

.

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как , где - проекции вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е. .

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОРТАМ.

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора по ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае вектор является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен

.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

,

где , и есть скалярное произведение вектора с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

где , и - углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не ну­­левой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е. .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Скалярное произведение векторов в координатной форме

.

ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех

векторов.

ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ

Линейно независимые векторы , и образуют правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в противном случае говорят о левой тройке векторов

Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и образующие правую тройку векторов, называют прямоугольной декартовой системой координат.

Углом между векторами и называют такой угол , не превосходящий , на который нужно повернуть вектор , чтобы совместить его с направлением вектора , начало которого должно совпадать с началом .Угол между векторами обозначается ( , ) или ( ).

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Под векторным произведением векторов и понимают вектор , имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости ,определяемой векторами и , причем так, что векторы , и образуют правую тройку векторов (длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: или . Очевидно, что (из определения векторного произведения). . Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Смешанным про­из­ве­дением векторов , и назовем чис­ло К, равное объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да, построенного на этих век­то­рах (рис. 10) и вычисляемое как:

Очевидно, что если , и компланарны, то К = =0.

Из определения смешанного произведения следует интересный факт, что произведение не зависит от порядка следования векторов в смешанном произведении, так как объем параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит только от расположения этих векторов в пространстве (левая или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. Следовательно, можно записать

или .

Это свойство смешанного произведения служит обоснованием упрощения записи смешанного про­из­ве­дения:

.

ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования.

Уравнение , связывающее две переменные x и y называется уравнением линии L в выбранной плоской системе координат, если координаты любой точки этой линии L удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному уравнению.

По определению линия — это есть соотношение, связывающее координаты точек некоторой области пространства, и, причем только эти координаты. Уравнение представляет собой аналитическую запись уравнения любой плоской линии.

.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С ЗАДАННОЙ ТОЧКОЙ И НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ

Если вместо подставить его численное значение, от получим известное уравнение прямой

.

Известно, что уравнение прямой имеет вид:

.

По условию задачи k задан. Точка M (x₀ ,y₀) должна также принадлежать искомой прямой и, по определению линии, обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и подставим значения x₀ и y₀ в уравнение, получим _:

.

В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным преобразова­ни­ем из последнего уравнения получим

.

Найденное b подставим в уравнение и окончательно

.

Уравнение является уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Неизвестен k - угловой коэффициент наклона линии по отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная общий вид уравнения прямой ( ) и учитывая, что обе точки расположены на искомой линии, можно составить следующую систему:

,

где – координаты точек M₁ и M₂ соответственно, (из­вест­ны), а k и b – искомые неизвестные. Вычитая из первого уравнения второе, выразим k,

.

Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b

.

Подставим найденные k и b в уравнение прямой

.

Преобразуем последнее уравнение

и окончательно

.

Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

ТЕМА 5. Прямая и плоскость в пространстве.