84048 (Скалярная проекция гиперкомплексных чисел), страница 2

2016-07-31СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Скалярная проекция гиперкомплексных чисел", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "84048"

Текст 2 страницы из документа "84048"

Поскольку раскрыв произведение ab мы получим гиперкомплексное число, рассмотрим образование его действительной части. В нее входят:

- произведение действительных частей a и b.

- произведение одинаковых мнимых компонентов a и b.

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона нельзя получить действительного числа из произведений

при

а две вышеприведенные составляющие не зависят от порядка сомножителей a и b, то, следовательно,

Для доказательства соответствия предложенной формы скалярной проекции второму свойству скалярного произведения просто преобразуем выражение:

Таким образом, если скалярному произведению (x,y) сопоставлять , то правило коммутативности скалярного произведения выполняется.

Соответствие предлагаемой формы скалярной проекции третьему свойству скалярного произведения проверяется непосредственно: если k - действительное число, то

, поэтому

Для проверки соответствия четвертому свойству используем второе и проверим:

(x,y + z) = (y + z,x) = (y,x) + (z,x)

Распишем скалярную проекцию:

Поскольку для алгебр Кэли - Диксона сложение определено покомпонентно, то для любых двух чисел a и b:

Таким образом, введенная нами форма скалярной проекции соответствует четвертому свойству скалярного произведения:

4. Гиперкомплексное произведение как ортогональное преобразование.

В стандартном курсе векторной алгебры после введения понятия скалярного произведения вводится понятие ортогонального преобразования. Будем следовать классике. Преобразование называется ортогональным, если скалярное произведение двух векторов равно скалярному произведению их образов после преобразования. Обозначив преобразование вектора как F(x), получим:

(F(x),F(y)) = (x,y)

Ортогональным это преобразование называется из-за того, что если (x,y)=0, то и

(F(x),F(y)) = 0

То есть если два вектора были ортогональны, то будут ортогональны и их образы после такого преобразования.

Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет и длину любого вектора:

|F(x)| = |x|

В алгебрах гиперкомплексных чисел одним из видов преобразования является произведение гиперкомплексного числа x на другое гиперкомплексное число a. Покажем, что в случае |a| = 1 такое произведение задает ортогональное преобразование, или что

и что при преобразовании

Для этого докажем равенство:

Re(abc) = Re(cab):

Поэтому выражение скалярной проекции равно:

Поскольку , то получим:

Таким образом, при задании преобразования числа x как умножения слева на число |a|=1 мы получаем ортогональное преобразование, сохраняющее модуль числа x и скалярную проекцию векторов ax и ay.

То же самое можно доказать и для умножения справа на число a, где |a|=1.

5. Выводы.

Нам удалось найти для гиперкомплексных алгебр аналог скалярного произведения, введенного в векторной алшебре. Его удалось дать в достаточно общей форме, распространимой на ассоциативные гиперкомплексные алгебры Кэли - Диксона. Полученная форма полностью соответствует четырем основным свойствам скалярного произведения. Проанализировав, в каком именно месте рассуждений мы отошли от классического варианта, несложно обнаружить, что мы нигде не потребовали и не использовали равенства:

Если бы мы потребовали его выполнения, то мы естественным образом сузили бы набор рассматриваемых гиперкомплексных алгебр. Точно так же, как это было сделано в теореме Гурвица: Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр - действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав. Более того, равенство у него считается очевидным.

Автор надеется, что некоторая часть этой статьи может оказаться полезной и при работе с финслеровыми геометриями.

Москва, октябрь 2001.

Список литературы

1. И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа, М, Наука, 1973.

2. Е. А. Каратаев. Скалярно - пространственные повороты в кватернионах, http://karataev.nm.ru/sclvec/index.html

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5259
Авторов
на СтудИзбе
420
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее