Курсовая_Моделирование (методическое указание по выполнению курсовой работы), страница 7

Таблица 3.4

Если в выбранных интервалах варьирования уровня процесс можно описать линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: и . Таким образом, остается одна степень свободы, которую можно использовать для минимизации числа испытаний. При линейном приближении и вектор-столбец (табл. 3.4) можно использовать для нового фактора . Поста­вим в табл. 3.4 этот фактор в скобках над взаимодействием . В этом случае раздельных оценок, которые имели место в ПФЭ типа 2 , уже не будет и оценки смещаются следующим образом: при постулировании линейной модели все парные взаимодейст­вия не учитывают. Таким образом, вместо восьми испытаний в пол­ном факторном эксперименте типа необходимо провести только четыре. Правило проведения дробного факторного эксперимента формулируется так: для сокращения числа испытаний новому фак­тору присваивается значение вектор-столбца матрицы, принадлежа­щего взаимодействию, которым можно пренебречь.

При проведении эксперимента из четырех испытаний для оценки влияния трех факторов пользуются половиной ПФЭ типа , так называемой «полурепликой». Если приравнять и , то мож­но получить вторую «полуреплику». Для обозначения дробных реплик, в которых d линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются условным обозначением . Напри­мер, «полуреплика» от записывается в виде , а «четвертьреплика» — .

Когда модель планирования анализируется методами дисперси­онного анализа, применяют планы дисперсионного анализа. Если при постановке эксперимента реализуются все возможные совокуп­ности условий, то говорят о полных классификациях дисперсион­ного анализа. Если проводится сокращение перебора вариантов — это неполная классификация дисперсионного анализа. Сокращение перебора может проводиться случайным образом (без ограничения на рандомизацию) или в соответствии с некоторыми правилами (с ограничениями на рандомизацию). Чаще всего в качестве таких планов используют блочные планы и планы типа латинского квад­рата.

ОБРАБОТКА МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМ

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Пред­полагаем, что изучается влияние k количественных факторов , на некоторую реакцию η в отведенной для эксперимен­тирования локальной области факторного пространства G, ограни­ченной , . Допустим, что функцию реакции можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени d от k переменных

, (4.1)

который содержит коэффициентов.

Соотношение (4.1) может быть представлено как

, (4.2)

где — вектор с элементами , входящими в исходный полином;

— вектор коэффициентов, которые соответственно имеют такой вид:

.

Введем фиктивную переменную , а также переменные

,

.

Тогда (4.1) запишется как однородное линейное уравнение вида

, (4.3)

где .

Для оценки коэффициентов в (4.3) можно применить методы линейной регрессии.

Аппроксимация полиномов второго порядка функции реакции в однофакторной модели планирования может быть представлена в виде:

.

Более сложные объекты требуют применения полиномиальных моделей плани­рования большего порядка. Так, модель второго порядка в k-факторном эксперимен­те будет иметь вид:

.

На практике часто стремятся к использованию линейной модели планирования, преобразуя исходные полиномиальные модели. Например, модель второго порядка

может быть преобразована к линейному виду путем введения фиктивных переменных . Тогда в результате получается модель множественной линейной регрессии вида

.

Функция реакции может иметь и более сложную зависимость от факторов. В этом случае некоторые из них удается привести к ли­нейному виду. Такими моделями являются мультипликативная, регрессионная, экспоненциальная и др.

Если выбрана модель планирования, т. е. выбран вид функции и записано ее уравнение, то остается в отведенной для исследования области факторного пространства G спланиро­вать и провести эксперимент для оценки числовых значений кон­стант (коэффициентов) этого уравнения.

Так как полином (4.2) или (4.3) содержит коэффициентов, подлежащих определению, то план эксперимента D должен содержать по крайней мере различных экспериментальных точек:

,

где — значения, которые принимает i-я переменная в u-м испыта­нии, , .

Реализовав испытания в N точках области факторного простран­ства, отведенной для экспериментирования, получим вектор наблю­дений, имеющий следующий вид:

где — реакция, соответствующая u-й точке плана , .

При незначительном влиянии неуправляемых входных перемен­ных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями упра­вляемых переменных в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

,

где — ошибка (шум, флуктуация) испытания, которая предпола­гается независимой нормально распределенной случайной величи­ной с математическим ожиданием и постоянной диспер­сией .

Выписав аналогичные соотношения для всех точек плана получим матрицу планирования

размерностью .

Рассмотрим особенности планирования эксперимента для линей­ного приближения поверхности реакции, причем построению плана предшествует проведение ряда неформализованных действий (при­нятие решений), направленных на выбор локальной области фак­торного пространства G (рис. 4.1).

Вначале следует выбрать границы и области определе­ния факторов, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта, т. е. на основе анализа априорной информации о системе S и вне­шней среде Е. Например, такая переменная, как температура, при термобарических экспериментах принципиально не может быть ни­же абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, из которого изготовлена термобарокамера.

После определения области G необходимо найти локальную подобласть для планирования эксперимента путем выбора основ­ного (нулевого) уровня и интервалов варьирования .

В качестве исходной точки выбирают такую, которая соот­ветствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе S, причем эта точка не должна лежать близко к границам области определения факторов и . На выбор интервала варьирования , накладываются естественные ограничения снизу (интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, так как в противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми) и сверху (верхний и нижний уровни не должны выходить за область опре­деления G).

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраичес­ких полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов на нескольких уровнях q относи­тельно исходной точки , представляющей центр экспери­мента.

После проведения машинного эксперимента необходимо определить коэффициенты

алгебраического полинома, представляющего собой модель планирования. Для достижения этой цели можно воспользоваться методами матричной алгебры. Матрица- столбец коэффициентов полинома определяется по формуле:

,

где В – матрица-столбец коэффициентов полинома; Х – матрица планирования эксперимента; – транспонированная матрица планирования эксперимента; У – матрица-столбец реакции исследуемой системы.

Если принять во внимание, что матрица планирования двухуровневого плана первого порядка с эффектами взаимодействия является ортогональной, что говорит о независимости всех факторов, то коэффициенты полинома могут быть определены по формуле: .

Полученный полином позволяет определить оптимальные области значений факторов исследуемого объекта. Для этой цели могут быть использованы как аналитические так и поисковые методы. Из аналитических методов можно воспользоваться определением частных производных по всем факторам и приравнивания их к нулю. Из решения полученной системы уравнений определятся оптимальные значения факторов.

Из поисковых методов можно воспользоваться одним из градиентных методов, позволяющих с помощью ЭВМ достаточно быстро определить область оптимальных значений факторов

ПРИЛОЖЕНИ Е 1

ЯЗЫК ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ GPSS

1 ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СТРУКТУРА GPSS

Система GPSS ориентирована на класс объектов, процесс функционирования которых можно представить в виде множества состояний и правил перехода из одного состояния в другое, определяемых в дискретной пространственно-временной области. Примерами таких объектов являются вычислительные системы, сети ЭВМ, системы передачи сообщений, транспортные объекты, склады, магазины, предприятия и т.п. В качестве формальных моделей таких объектов используют системы массового обслуживания, автоматы, стохастические сети, сети Петри и макросети, агрегаты и т.п.

В состав GPSS входят следующие типы объектов: транзакты, блоки, списки, устройства, памяти, логические ключи, очереди, таблицы, ячейки, функции, переменные. Любую модель на языке GPSS можно представить в виде комбинации компонентов, взятых из числа названных объектов. Модель имеет три уровня представления:

• верхний уровень, определяемый комбинацией основных функциональных объектов:
  устройств, памятей, ключей, очередей;

средний уровень, представляемый схемой из типовых блоков, между которыми
перемещаются транзакты;

- нижний уровень - уровень физической реализации языка GPSS в виде программ и наборов данных, составляющих основу моделирующей системы.

1.1 БЛОКИ