Курсовая_Моделирование (методическое указание по выполнению курсовой работы), страница 6

При планировании эксперимента обычно одновременно изменя­ются несколько факторов. Определим требования, которые предъ­являются к совокупности факторов. Основные из них — совмести­мость и независимость. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует воз­можности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении машинного эксперимента с моделью для оценки некоторых характеристик процесса функционирования ис­следуемой системы S экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, на­ходящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.

Для этого необходимо: отобрать факторы , влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость; установить диапазон изме­нения факторов ; определить координаты то­чек факторного пространст­ва , в которых следует проводить экспери­мент; оценить необходимое число реализаций и их поря­док в эксперименте.

Свойства объекта иссле­дования, т. е. процесса ма­шинного моделирования си­стемы S, можно описывать с помощью различных мето­дов (моделей планирова­ния). Для выбора конкрет­ной модели необходимо сформулировать такие ее особенности, как адекватность, содержательность, простота и т. д. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множе­ство уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие. Простота — одно из главных достоинств мо­дели планирования, выражающееся в реализуемости эксперимента на ЭВМ, но при этом имеет место противоречие с требованиями адекватности и содержательности.

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Пред­полагаем, что изучается влияние k количественных факторов , на некоторую реакцию η в отведенной для эксперимен­тирования локальной области факторного пространства G, ограни­ченной , (рисунок для случая k=2). Допустим, что функцию реакции можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени d от k переменных

,

который содержит коэффициентов.

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраичес­ких полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов на нескольких уровнях q относи­тельно исходной точки , представляющей центр экспери­мента.

Виды планов экспериментов. Эксперимент, в котором реализуют­ся все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель плани­рования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех k факторов на двух уровнях, т. е. д=2. Такие планы называются планами типа 2 , где N=2 — число всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения ко­эффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем и верхнем — симметрично расположенных относительно основного уровня ,. Геомет­рическая интерпретация показана на рисунке а.

Так как каждый фактор принимает лишь два значения то для стандартизации и упрощения записи условий каждого ис­пытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответ­ствовал -1, верхний +1, а основной — нулю. Это легко до­стигается с помощью преобразования вида

, где ,

где — кодированное значение i-гo фактора; — натуральное зна­чение фактора; — нулевой уровень; — интервал варьирования фактора.

Расположение точек для ПФЭ типа показано на рисунке б. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план D полно­го факторного эксперимента типа .

При этом планы можно записывать сокращенно с помощью условных буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: и т. д.

Таблица 3.1

Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытание со всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.

Геометрическая интерпретация ПФЭ приведена на рисунке, а его план ниже:

Таблица 3.2

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэф­фициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодейст­вия двух (или более) факторов появляется при одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которых находятся другие факторы.

Для оценки свободного члена и определения эффектов вза­имодействия план эксперимента D расширяют до матрицы планирования X путем добавления соответствующей «фик­тивной переменной»: единичного столбца и столбцов произведе­ний, как показано, например, для ПФЭ типа в таблице 3.2

Таблица 3.3

Как видно из рассмотренных планов экспериментов типов и , количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимен­та, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возника­ет проблема сокращения их количества.

Рассмотрим построение планов так называемого дробного фак­торного эксперимента. Пусть имеется простейший полный факторньй эксперимент типа . Используя матрицу планирования, приве­денную в табл. 3.4, можно вычислить коэффициенты и представить результаты в виде уравнения