В
опросы по математическому анализу

2 курс, 4 семестр, 8 факультет.

2004-5-5.

Числовые ряды.

1. Числовые ряды (ЧР). Необходимое условие сходимости ЧР. Критерий Коши. Свойства сходящихся рядов.

2. Признаки сравнения ЧР с неотрицательными членами.

3. Интегральный признак Коши сходимости ЧР.

4. Признак Даламбера.

5. Признак Коши.

6. Условная сходимость ЧР. Признак Лейбница.

7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР.

8. Теорема Римана.

9. Действия над абсолютно сходящимися рядами.

Функциональные ряды

1. Сходимость и равномерная сходимость (РС) семейства функций, зависящих от параметра.

2. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Необходимый признак РС ряда.

3. Признак Вейерштрасса РС.

4. Признаки Абеля и Дирихле РС.

5. Условия коммутативности двух предельных переходов для семейства функций, зависящих от параметра. Коммутативная диаграмма.

6. Непрерывность и предельный переход.

7. Теорема Дини.

8. Интегрирование и предельный переход.

9. Дифференцирование и предельный переход.

10. Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Теорема о характере сходимости степенного ряда.

11. Первая и вторая теоремы Абеля.

12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

13. Аналитические функции в действительной области.

14. Ряд Тейлора.

15. Формула Стирлинга.

16. Алгебры функций.

17. Банахова алгебра С(К). Всюду плотные подмножества в С(К).

18. Теорема Стоуна.

19. Комплексный вариант теоремы Стоуна.

20. Приближения непрерывных функций алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Теоремы Вейерштрасса.

Интегралы, зависящие от параметра.

1. Собственные , зависящие от параметра (ПАР). Непрерывность собственных  (ПАР). Интегрирование собственных  (ПАР).

2. Дифференцирование собственных  (ПАР).

3. Несобственные , зависящие от параметра (ПАР). Равномерная сходимость (РС). Критерий Коши РС.

4. Признак Вейерштрасса РС несобственного  (ПАР).

5. Признак Абеля-Дирихле РС несобственного  (ПАР).

6. Предельный переход под знаком несобственного  (ПАР).

7. Непрерывность несобственного  (ПАР).

8. Дифференцирование несобственного  (ПАР).

9.  Дирихле.

10. Интегрирование несобственного  (ПАР). Достаточное условие перестановочности несобственных .

11. Эйлеровы интегралы.

12. Несобственные кратные .

13. Интеграл Пуассона.

Ряд и интеграл Фурье.

1. Ряды Фурье в предгильбертовом пространстве. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

2. Ортонормированные системы векторов в сепарабельном предгильбертовом пространстве. Полные и замкнутые системы. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном предгильбертовом пространстве.

3. Гильбертово пространство. Теорема Рисса-Фишера.

4. Предгильбертово пространство

5. Тригонометрическая система на отрезке, ее свойства. Тригонометрический ряд Фурье периодической функции. Сходимость в среднем квадратичном. Равенство Ляпунова.

6. Ряды Фурье для четных и нечетных периодических функций с произвольным периодом. Ряд Фурье в комплексной форме.

7. Лемма Римана.

8. Ядра Дирихле, их свойства.

9. Достаточные условия поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

10. Достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

11. Теорема Фейера.

12. Интеграл Фурье. Теорема обращения.

13. Преобразование Фурье, его свойства.

14. Преобразование Фурье свертки..

15. Пространство Шварца S быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций. Преобразование Фурье в S.

16. Теорема Планшереля.

17. Преобразование Фурье для функций многих переменных.