ref (Распределенные алгоритмы), страница 9

2.1.3 Системы с синхронной передачей сообщений

Говорят, что передача сообщений синхронная, если событие отправки и соответствующее событие получения скоординированы так, чтобы сформировать отдельный переход системы. То есть, процессу не разрешается посылать сообщение, если назначение сообщения не готово принять сообщение. Следовательно, переходы системы делятся на два типа: одни соответствуют изменениям внутренних состояний, другие соответствуют скомбинированным коммуникационным событиям двух процессов.

Определение 2.7 Система переходов, порожденная распределенным алгоритмом для процессов p₁, …, p_N при синхронной коммуникации, это S = (C, , I), где

(1) C = {(c_P1, …, c_PN) : p  P : c_p  Z_p}.

(2)  = (_pP _p)  (_{p,qP:pq} _pq), где

• _Pi это множество пар

(c_P1, …, c_Pi, …, c_PN), (c_P1, …, c’_Pi, …, c_PN),

для которых (c_Pi , c’_Pi )  ⁱ_Pi ;

• _PiPj это множество пар

(…, c_Pi, …, c_Pj , …), (…, c’_Pi, …, c’_Pj , …),

для которых существует сообщение m  M такое, что

(c_Pi , m, c’_Pi )  ^s_Pi и (c_Pj , m, c’_Pj )  ^r_Pj .

(3) I = {(c_P1, …, c_PN) : (p  P : c_p  I_p)}.

Некоторые распределенные системы допускают гибридные формы коммуникации; процессы в них имеют коммуникационные примитивы для передачи сообщений как в синхронном так и в асинхронном стиле. Имея две модели, определенные выше, нетрудно разработать формальную модель для этого типа распределенных систем. Конфигурации такой системы включают состояния процессов и набор сообщений в процессе передачи (а именно, асинхронных сообщений). Переходы включают все типы переходов представленных в определениях 2.6 и 2.7.

Синхронизм и его влияние на алгоритмы. Уже было замечено, что во многих случаях синхронная передача сообщений может рассматриваться как специальный случай асинхронной передачи сообщений. Набор исполнений ограничен в случае синхронной передачи сообщений исполнениями, где за каждым событием отправки немедленно следует соответствующее событие приема [CBMT92]. Мы поэтому рассматриваем асинхронную передачу сообщений как более общую модель, и будем разрабатывать алгоритмы в основном для этого общего случая.

Однако, нужно быть внимательным, когда алгоритм, разработанный для асинхронной передачи сообщений исполняется в системе с синхронной передачей сообщений. Пониженный недетерминизм в коммуникационной системе должен быть сбалансирован повышенным недетерминизмом в процессах, в противном случае результатом всего этого может стать тупик.

Мы проиллюстрируем это элементарным примером, в котором два процесса посылают друг другу некоторую информацию. В асинхронном случае, каждый процесс может сначала послать сообщение и впоследствии получает сообщение от другого процесса. Сообщения временно накапливаются в коммуникационной подсистеме между их отправкой и посылкой. В синхронном случае, такого накапливания невозможно, и если оба процесса должны послать их собственные сообщения перед тем как они могут получить сообщение, то никакой передачи вообще не будет. В синхронном случае, один из процессов должен получить сообщение перед тем как другой процесс отправит свое собственное сообщение. Нет нужды говорить, что, если оба процесса должны получить сообщение перед отправкой их собственных сообщений, опять же не будет никакой передачи.

Обмен двумя сообщениями будет иметь место в синхронном случае, только если одно из двух нижеследующих условий выполняется.

1. Заранее определено, какой из двух процессов будет отправлять первым, и какой процесс будет первым получать. Во многих случаях невозможно сделать такой выбор заранее, потому что это потребует выполнения различных локальных алгоритмов в процессах.

2. Процессы имеют право недетерминированного выбора либо отправлять сначала, потом принимать, либо получать сначала, потом – посылать. В каждом исполнении один из возможных порядков исполнения будет выбран для каждого процесса, т.е. симметрия нарушается коммуникационной системой.

Когда мы представляем алгоритм для асинхронной передачи сообщений и утверждаем, что алгоритм может также использоваться при синхронной передаче сообщений, добавление этого недетерминизма, который всегда возможен, предполагается неявно.

2.1.4 Справедливость

В некоторых случаях необходимо ограничить поведение системы так называемыми справедливыми исполнениями. Условия справедливости вводят исполнения, где события всегда (или бесконечно часто) применимы, но никогда не встречаются как переход (потому что исполнение продолжается с помощью других применимых событий).

Определение 2.8 Исполнение справедливо в слабом смысле, если нет события применимого в бесконечно многих последовательных конфигурациях без появления в исполнении. Исполнение справедливо в сильном смысле, если нет события применимого в бесконечно многих конфигурациях без появления в исполнении.

Возможно включить условия справедливости в формальную модель явно, как это сделано Манна и Пнули [MP88]. Большинство алгоритмов, с которыми мы имеем дело в этой книге, не полагаются на эти условия; поэтому мы решили не включать их в модель, а устанавливать эти условия явно, когда они используются для конкретного алгоритма или проблемы. Также, существует спор, приемлемо ли включать предположение справедливости в модели распределенных систем. Было выдвинуто утверждение, что предположение справедливости не должны производиться, более того алгоритмы не должны разрабатываться с учетом этих предположений. Дискуссия по некоторым запутанным вопросам, относящимся к предположению справедливости может быть найдена в [Fra86].

2.2 Доказательство свойств систем перехода

Рассматривая распределенный алгоритм для некоторой проблемы, необходимо продемонстрировать, что алгоритм есть корректное решение этой проблемы. Проблема указывает, какие свойства требуемый алгоритм должен иметь; должно быть показано, что решение обладает этими свойства. Вопрос проверки распределенных алгоритмов получил значительное внимание и есть большое количество статей, обсуждающих формальные методы проверки; см. [CM88, Fra86, Kel76, MP88]. В этом разделе обсуждаются некоторые простые, но часто используемые методы для демонстрации правильности распределенных алгоритмов. Эти методы полагаются только на определение системы переходов.

Многие из требуемых свойств распределенных алгоритмов попадают в один из двух типов: требования безопасности и требования живости. Требования безопасности накладывают ограничение, что определенное свойство должно выполняться для каждого исполнения системы в каждой конфигурации, достигаемой в этом исполнении. Требования живости определяют, что определенное свойство должно выполняться для каждого исполнения системы в некоторых конфигурациях, достигаемых в этом исполнении. Эти требования могут также встречаться в ослабленной форме, например, они могут удовлетворяться с некоторой фиксированной вероятностью над множеством возможных исполнений. Другие требования к алгоритмам могут включать ограничения, которые основываются только на использовании некоторого данного знания (см. подраздел 2.4.4), что они гибки по отношен ию к нарушениям в некоторых процессах (см. часть 3), что процессы равны (см. главу 9), и т.д.

Методы проверки, описанные в этом разделе, базируются на истинности утверждений в конфигурациях, достигаемых в исполнении. Такие методы называются методами проверки утверждений. Утверждение это унарное отношение на множестве конфигураций, то есть, предикат, который принимает значение истина на одном подмножестве конфигураций и ложь – на другом.

2.2.1 Свойства безопасности

Свойство безопасности алгоритма это свойство в форме «Утверждение P истина в каждой конфигурации каждого исполнения алгоритма». Неформально это формулируется как «Утверждение Р всегда истина». Основной метод для того, чтобы показать, что утверждение Р всегда истина, это продемонстрировать, что Р инвариант согласно следующим определениям. Нотация P(), где  это конфигурация, есть булево выражение, чье значение истина, если Р выполняется в , и ложь в противном случае.

Определения зависят от данной системы переходов S = (C, , I). Далее, мы будем писать {P}  {Q}, чтобы обозначить, что для каждого перехода    (системы S), если Р() то Q(). Таким образом {P}  {Q} означает, что, если Р выполняется перед любым переходом, то Q выполняется после этого перехода.

Определение 2.9 Утверждение Р инвариант системы S, если

1. для всех   I, и

2. {P}  {P}.

Определение говорит, что инвариант выполняется в каждой начальной конфигурации, и сохраняется при каждом переходе. Из этого следует, что он сохраняется в каждой достигаемой конфигурации, как и формулируется в следующем теореме.

Теорема 2.10 Если Р это инвариант системы S, то Р выполняется для каждой конфигурации каждого исполнения системы S.

Доказательство. Пусть Е = (₀, ₁, ₂, ...) исполнение системы S. Будет показано по индукции, что Р(_i) выполняется для каждого i. Во-первых, Р(₀) выполняется, потому что ₀  I и по первому предложению определения 2.9. Во-вторых, предположим P(_i ) выполняется и _i  _i+1 есть переход, который встречается в E. По второму предложению определения 2.9 P(_i+1) выполняется, что и завершает доказательство. 

И наоборот, утверждение, которое выполняется в каждой конфигурации каждого исполнения, есть инвариант (см. упражнение 2.2). Отсюда не каждое свойство безопасности может быть доказано применением теоремы 2.10. В этом случае, однако, каждое утверждение, которое всегда истинно, включено в инвариант; отсюда может быть показано, применением следующей теоремы, что утверждение всегда истинно. (Нужно помнить, однако, что часто очень трудно найти подходящий инвариант Q, к которому можно применить теорему.)

Теорема 2.11 Пусть Q будет инвариантом системы S и положим Q  P (для каждого   С). Тогда Р выполняется в каждой конфигурации каждого исполнения системы S.

Доказательство. По теореме 2.10, Q выполняется в каждой конфигурации, и так как Q включает P, то P выполняется в каждой конфигурации также. 

Иногда полезно доказать сначала слабый инвариант, и впоследствии использовать его для доказательства более сильного инварианта. Как можно сделать инвариант более сильным демонстрируется в следующем определении и теореме.

Определение 2.12 Пусть S будет системой переходов и P, Q будут утверждениями. Р называется Q-производным, если

1. для всех   I, Q()  Р(); и

2. {Q  Р}  {Q  Р}.

Теорема 2.13 Если Q есть инвариант и Р – Q-производное, то Q  P есть инвариант.

Доказательство. Согласно определению 2.9, должно быть показано, что

1. для всех   I, Q()  Р(); и

2. {Q  Р}  {Q  Р}.

Т.к. Q это инвариант, Q() выполняется для всех   I, и т.к. для всех   I, Q()  Р(), P() выполняется для всех   I. Следовательно, Q()  P() выполняется для всех   I.

Предположим    и Q()  Р(). Т.к. Q это инвариант, Q() выполняется, и т.к. {Q  P}  {Q  Р}, Q()  Р(), откуда Р() вытекает. Следовательно, Q()  Р() выполняется. 

Примеры доказательства безопасности, основывающиеся на материале данного раздела, представлены в разделе 3.1.

2.2.2 Свойства живости

Свойство живости алгоритма это свойство в форме «Утверждение Р истина в некоторой конфигурации каждого исполнения алгоритма». Неформально это формулируется как «Утверждение Р в конечном счете истина». Основные методы, используемые, чтобы показать, что Р в конце концов истина – это нормирующие функции и беступиковость (или правильное завершение). Более простой метод может быть использован для алгоритмов, в которых разрешаются только исполнения с фиксированной, конечной длиной.

Пусть S будет системой переходов и Р – предикат. Определим term как предикат, который истина во всех терминальных конфигурациях и ложь во всех нетерминальных конфигурациях. Мы сначала предположим ситуации, где исполнение достигает терминальной конфигурации. Обычно нежелательно, чтобы такая конфигурация достигалась, в то время, как «цель» Р не была достигнута. Говорят, что в этом случае имеет место тупик. С другой стороны, завершение позволено, если цель была достигнута, в этом случае говорят о правильном завершении.

Определение 2.14 Система S завершается правильно (или без тупиков), если предикат (term  Р) всегда истинен в системе S.