Cтепаненко - Основы микроэлектроники (Основы Микроэлектроники (книга)), страница 7

При нулевой абсолютной температуре валентная зона всегда полностью заполнена электронами, тогда как зона проводимости либо заполнена только в нижней части, либо полностью пуста. Первый случай свойствен металлам, второй — полупроводникам и диэлектрикам. При температуре, отличной от абсолютного нуля, ситуация несколько изменяется. Энергетические диаграммы на рис.

2.8 построены для энергии электрона. Когда энергия электрона увеличивается, электрон занимает более высокое положение в ванной диаграмме. Если же говорить об увеличении энергии дырки, то это будет соответствовать, очевидно, продвижению дырки вглубь валентной зоны. Энергия электрона и дырки измеряется в электрон-вольтах (зВ). Ширина запрещенной зоны равна (2.1) тз =(Рс тр где у, и о„— соответственно энергетические уровни для зоны проводимости и потолка валентной зоны.

На рисунке 229 показаны основные параметры ванных диаграмм полупроводников для температуры, отличной от абсо- 2 — 3423 Глава 2. Полупроводники 34 а) б) Рик 2.2. Зониые диаграммы металла, диэлектрика и полупроводника: а — металл (зоны перекрыты и даже небольшая добавка энергии приводит к движению электронов); б — диэлектрик (очень большой энергетический зазор между зонами, проводимость невозможна); з — собственный полупроводник (расстояние между зонами не очень велико — поязляаггся электроны в зоне проводимости и равное количество дырок в валенгной зоне, возможна конечная проводимость); 1 — зона проводимости, П вЂ” аалентная зона, ГП вЂ” запрещенная зона лютного нуля.

Ширина запрещенной зоны зависит от темпера- туры: (2.1а) 'Рз = 'Рзс ззТ где»Р,о — шиРина зоны пРи Т = О, Т вЂ” абсолютная температура, з, — температурная чувствительность. Для кремния з, =3 10 В/'С, а при комнатной температуре Р, =1,11В. Энергию„соответствующую середине зоны, называют элект- ростатическим потенциалом проводника (2.1б) »Рп =з(»Р» т»Р»)' о» 9г ов а) а) Рис.

2.9. Значения анергий в зонной диагрд)»ме для а) собственного; б) электронного; в) дырочного полупроводников; Š— уровень Ферми (см. равд. 2.5) 2.4, Энергетические уровни и зоны Приведенные выше качественные соображения относительно примесных полупроводников могут быть проиллюстрированы еще раз качественно на зонных диаграммах. Электрические уровни примесей показаны на зонных диаграммах О+ (положительно заряженные ионы-доноры) и 0 (отрицательно заряженные ионы-акцепторы), рис. 2.10. 000000 1 2 ое 000000 +++++ б) а) Рис. 2.10.

Схематическое атомистическое изображение и эоннав диаграмма примесных полупроводников: а — полупроводник л-типа, б — полупроводник р-типа (1 — ионы доноров; 2 — ионы акцепторов; — — электроны; + — дырки) Ф В полупроводнике одновременно присутствуют электроны и дырки, порожденные двумя причинами: 1) возбуждением собственного полупроводника п, и р;, 2) возбуждением донорных и (или) акцепторных примесей.

При этом полные концентрации носителей заряда для примесного полупроводника будут л = л„ + п, и р = р, (донорный); р = р„+ р, и п = л, (акцепторный); при полной ионизации примесей л„= Яд — количеству доноров, а р„= Фд, т.е. количеству акцепторов. Обычно вследствие малой эйергии возбуждения эти величины значительно выше собственных концентраций, т.е. п„»п, и р„»р, концентрации основных носителей определяются выражениями п = )т" (на сад мом деле п = Лгд — )т'д, но Фд » Фд) для донорного полупроводника и р =- Юд для акцепторного полупроводника. Глава а Полтвроводииля 2.о. Распределение носителей в зонах проводимости Разрешенные зоны содержат огромное количество уровней (10м-10~э в 1 см ), на каждом из которых могут находиться электроны. Фактическое же количество электронов зависит от концентрации доноров и от температуры.

Чтобы оценить фактическую концентрацию носителей в полупроводнике, нужно знать распределение уровней и вероятность заполнения этих уровней. Энергетическое распределение электронов в твердом теле определяется статистикой Ферми-Дирака. Принципиальный результат функции распределения Ферми-Дирака дает вероятность того, что электрон занимает уровень, соответствующий потенциалу ~р: Р.(с) = (2.2) 9 эв Юв где дг = *лТ вЂ” температурный потенциал, Т вЂ” абсолютная температура, )в — постоянная Больцмана, дв — уровень Ферми.

Можно определить уровень Ферми как потенциал, вероятность заполнения которого электроном равна в точности одной второй. Функции распределения Ферми-Дирака симметричны относительно уровня Ферми. Если энергетические состояния в зоне проводимости и валентной зоне одинаковы, то уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны. Это случай собственного полупроводника (рис. 2.11, а). В полупроводнике л-типа концентрации электронов в зоне проводимости больше, чем в случае собственного полупроводника (рис. 2.11, б)„а в полупроводнике р-типа — меньше (см. рис.

2.11, в). Для потенциалов в несколько единиц ИТ выше или ниже уровня Ферми, когда экспонента значительно больше единицы, распределение Дирака-Ферми можно заменить распределением Максвелла-Больцмана. При этом вероятность заполнения уровня в зоне проводимости определяется как 2.б. Распределение носителей в зовах проводимости 1 1 ем р =-— 1 2 1/2 1 " 1!2 1 " 122 1 О О рп о + а) б) а) Рис. 2.11. Функция распределения Ферми-Дирака для собственного, л- и р-типов полупроводников: а — собственный полупроводник; б — полупроводник л-типа; е — полупроводник р-типа Вероятность незаполнения уровня в валентной зоне (т.е.

наличия дырки на этом уровне) определяется аналогичной функцией те 2 Р (гр) =е (2.4) Обозначим через Р(гр) плотность уровней в зоне проводимости вблизи уровня еь Тогда Р(гр) г(о будет количеством уровней в диапазоне йгр. Умножив это количество на вероятность заполнения этих уровней Ра (у), получим концентрацию свободных электронов с энергиями от гр до д + с(гр. Полную концентрацию свободных электронов и получим путем интегрирования по всей ширине зоны проводимости. Если принять зависимость Р(гр) -,/д, то о,— ог п =М,е (2.5) Здесь М, — так называемая эффенптивная плотность уровней (состояний) в зоне проводимости: () о, 1()1в(пт ~гп)222Уз~з где т„— эФфективная масса электрона.

Глава 2. Полулроаодаакв Аналогичным методом получается выражение для концентрации дырок: оз-ю р =Х„е (2.6) Здесь Մ— эффективная плотность уровней (состояний) в валентной зоне: Х = О,б 1916(т /'т)312 тз|з, (2.7) где т — эффективная масса дырки. Для кремния отношение У Х,/Х, = 2,8. Часто для простоты полагают Х, = Х„. Перемножая левые н правые части в формулах (2.5) и (2.6) и учитывая, что у, = р, — ц„нетрудно представить произведение концентраций электронов и дырок следующим образом: пр =Х Х е э')о" о (2.8) Как видим, при неизменной температуре произведение кон центраций — величина постоянная, т.е.

увеличение одной из концентраций сопровождается уменьшением другой. В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы. Обе они обозначаются через и, и называются собственными концентрациями. Подставляя и = и, и р = и, в (2.8) и извлекая квадратный корень, получаем выражение для собственной концентрации: ее от (2. 9) Отметим полную зависимость собственной концентрации от ширины запрещенной зоны и температуры.

Соотношение (2.8) часто записывают в более компактной форме через собственную концентрацию: ар =и,. 2 (2.10) Используя выражения (2Л) и (2.6), полагая для простоты Х, = Х„и учитывая, что дв = зз(у, + уь), нетрудно представить отношение концентраций электронов и дырок в виде: 2(оа -ор) п)р е ос (2.11) зв 2.5 Расврсделсвис носатслой в зовах проводимости Подставим в левую часть (2 11) значение р = па(п из (2 10) и прологарифмируем обе части; тогда уровень Ферми запишется через концентрацию свободных электронов следующим образом: фг = тв + <Рг1п(п(п,). (2.12а) Если подставить в (2.11) значение и = п,з/р из (2.10), то уровень Ферми запишется через концентрацию дырок: аг — — с~в — цт 1п(р/и,). (2. 126) Вторые члены в правых частях (2.12), характеризующие концентрации носителей, называются химическим потенциа лом.

Следовательно, уровень Ферми является суммой электрического и химического потенциалов. Отсюда еще одно его название — злектрохимический потенциал. Одно из фундаментальных положений в физике полупроводников формулируется следующим образом: уровень Ферми оди ников во всех частях равновесной системы, какой бы разнород ной она ни была. Это положение можно записать в виде двух равносильных выражений: дг = сопзС, ягаб (~р,) = О. (2.12в) Из условия (2.12в) в одномерном случае следует, что если концентрация электронов изменяется вдоль координаты х, то возникает электрическое поле б ~ах Е=9т Таким образом, в неоднородно-легированных полупроводниках смещение подвижных носителей, обусловленное градиентом концентрации, уравновешивается внутренним электрическим полем. Иногда его называют встроенным„а возникающее при этом равновесие называют больцмановским. Движение носителей в электрическом поле называют дрей Фом. Плотность дрейфового тока определяется известным выражением (2.13) у=аЕ, где а — удельная проводимость.

Глава 2. Полупроводники 40 Поскольку в полупроводниках имеется два типа подвижных носителей, удельная проводимость складывается из двух составляющих — электронной и дырочной: (2. 14) = Чпр + барр где ра и р — подвижности соответствующих носителей. Главной составляющей в формуле (2.14) является та, которая связана с основными носителямн. Составляющая, связанная с неосновными носителями, обычно не существенна. В собственном полупроводнике обе составляющие равноценны.

Для оценки удельной проводимости, а значит, и дрейфового тока необходимо прежде всего знать концентрации электронов и дырок. Казалось бы, значения и и р можно найти по формулам (2.5) и (2.6). Однако для этого нужно знать положение уровня Ферми в запрещенной зоне. Между тем уровень Ферми, как и химический потенциал, является функцией концентрации. Следовательно, расчет концентрации должен предшествовать определению уровня Ферми. Эту задачу можно решить, руководствуясь условиела нейтральности.

Исходя из условия нейтральности, запишем для электронного полупроводника следующее соотношение: и = А'„+р, (2.15) где М вЂ” концентрация положительных донорных ионов (имеется в виду эффективная концентрация). Выражая концентрацию дырок через концентрацию электронов с помощью (2.9) и решая получившееся квадратное уравнение относительно и, находим концентрацию электронов в виде: и„= л оп, о — ". (2.16а) Аналогичным путем можно найти концентрацию дырок в дырочкам полупроводнике: р„= — ' оп, + — ". (2.16б) 2.5. Распределение иоснтелеа а зонах проводимости Индексы л и р означают принадлежность к полупроводнику с соответствующим типом проводимости.