Методичка по Электротехнике № 2000, страница 3

Основные теоретические сведения. Электрическая цепь, в которой величина и направление э.д.с, напряжений и токов периодически изменяется во времени по синусоидальному закону, называются цепями синусоидального тока. Синусоидальные величины в любой момент времени (мгновенные значения) могут быть представлены в виде тригонометрических уравнений (например, для тока !(!)=1гляп(оз!<-щ)), вращающихся векторов 1 или комплексными числами 1; где 1щ — максимальное или амплитудное значение тока, он+у! — фаза мгновенного тока (рад), р! — начальная фаза в момент времени 1=0 (рад!сек), пз=2к( — угловая частота изменения тока, ! — циклическая частота (Гц). Схема замещения такой цепи„состоящей из последовательно соединенных резистивного Й.„индуктивного Ь и емкостного элементов, приведена на рис. !. Рис, ! 20 где !)(!) — мгновенное значение напряжения.

приложенного к цепи; Вк, 13„, ()с — мгновенные соответствующих элементах цепи. При изучении цепей синусоидального тока приходится совершать различные математические операции, которые удобно производить над действующими значениями токов и напряжений (1=-1пзИ2, (1=()п1Й2), рассматривая их как вращающиеся векторы. Величины векторов при этом равны действующим значениям тока и напряжения, а начальная фаза определяется положением вектора относительно положительной горизонтальной оси координат. со1 1 1р = 1з(гпр1 1а — 1сОР!л Рис. 2 Совокупность векторов, изображающих э.д.с., напряжения и токи одной частоты называют векторной диаграммой. При помощи векторной диаграммы удобно производить сложение напряжений в последовательной цепи (второй закон Кирхгофа) и сложение токов в параллельной цепи (первый закон Кирхгофа).

При построении векторной диаграммы один из векторов принимается за основной и располагается вдоль положительной оси Х. В этом случае его начальная фаза равна нулю. В последовательной цепи за основной вектор принимается вектор тока 1, что соответствует мгновенному значению !(!)=-1пь'~ г ейп(щ!ч-О) Для цепи рис. ! о= ох-оь+ис В том случае, когда сложение или вычитание векторов требуется производить не графически, а математически (расчет электрической цепи), векторы раскладывают на две составляющие, одна из которых называется активной, а вторая — реактивной.

Активной составляющей напряжения является та, которая совпадает по фазе с током, а реактивная — которая опережает ток или отстает от него по фазе на 90О 1~ ~=Ж~ь)к или разделив обе части на з3з получим уравнение для действующих значений: ° 3Ч)1 ~.р.= — "' я=1 Е .к=!к=33, 1 1 Е 3Ч' /2 ~2 (4) 33,=1 й !р рис,3 Т)' Для практических расчетов удобнее выражать векторы тока и напряжения (а также сопротивления и проводимость) комплексными числами, в которых активные составляющие являются действительными числами, а реактивные — мнимыми (умноженными на мнимое число П). Причем знак мнимой величины зависит от характера реактивной составляющей (угол -ь90' или -90').

Таким образом уравнение: 13=!в.+ 4-НЫЫ соответствует: 3м! !3 . 3нг ) 3' . 3вз! , 3ы! 3„КЕ +3.—,!(т Е )+Д'т Е б1=Т3 Е или после выполнения математических операций получим 1 Р.Е +1:3Ь31„Е +,, 1 Е =33„Е 3ьз! . » 303! 1 ° 3сд! ° 3ь3! (2) Сократив уравнение на оператор поворота получим уравнение электрического состояния для ! = 0 в комплексной форме: 1м ~+3Ь33'1т 3ОЗС1т 33т ' 3.' (3) где 1т'н - максимальное (амплитудное) комплексное изображение напряжения на участке с резистором й, т.е. 22 — закон Ома для участка цепи с резистором.

Комплексное изображение действующего значения тока 1 называют просто комплексом тока. Аналогично для участков цепи с индуктивностью 3. и емкостью С: разделив на -гз получим 3ь33' 1гп 03пА. 1= —. ° 13!. 3ь33'1=!3ь или 3ь3~ (5) пМ - имеет размерность сопротивления и его называют реактивным сопротивлением индуктивности Хы ° Ц. Тогда 1= х, - закон Ома для участка цепи с индуктивностью. 3 ~~с — 3 ~~ 1~= 03ы) с или -3 —,,с тт = !' 3ас ! Йс - также имеет размерность сопротивления и называется реактивным сопротивлением емкости Хс. Хс и Хь называются реактивными сопротивлениями, так как представляют мнимые части с противоположными знаками. Таким образом уравнение электрического состояния примет вид 33=1 К-ь3хь1 — 3хс1 (7) где !3 - комплекс напряжения на входе цепи; 1 п=33н - комплекс напряжения на участке с резистором; 1.3ХЬ=33ь - комплекс напряжения на участке с индуктнвностью; 23 +!! х Рис.4 или Е »»=1 2 (9) Ук= 1'к; Пь=1 С»».; »»с — 1'~~С (10) г=й+)(с»1,— -~)=к+)(х,— х,) Ф = агс»8— ср--~! Чс «0 прпХ«0 Р=Ч вЂ” »1~, = 0,рп Х=0 25 1'( )хс)=»»с- комплекс напряжения на участке с емкостью ! или»»= Ъ.»)"О.

(8) то есть уравнение электрического состояния неразветвленно й цепи (1) в комплекснои форме полносз ью эквивалентно неразветвленной цепи постоянного тока, Из уравнения (7) получим 1»=1Жч)эгь )хс)=1(к-р!(х~. хр)! Величина к+)(х' ~')тоже имеет размерность сопротивления и называется полным сопротивлением цепи 7.. Комплексное изображение полного сопротивления цепи обозначают Е, тогда Выражение (9) представляет закон Ома в комплексной форме для всей цепи. Таким образом: Общая мнимая часть Хь-Хс=Хр называется реактивным сопротивлением всей цепи, которая в зависимости от соотношения 1„ С, а»может быть больше нуля (х~эхс), меньше нуля (х~Рх~) или равна (х =хс) нулю.

/ 3 2 Модуль полного сопротивления г,= ~ к+х Из формулы (4) следует, что напряжение на резисторе ()к и ток ! имеют одинаковый фазовый угол, т.е. совпадают по фазе. Из (5) следует, что напряжение на иидуктивности опережает фазовый угол тока на ~т/2, что соответствует умножению на + ), а из (6)— напряжение на емкости отстает от тока иа и/2, что соответствует умножению Х на (-)) Таким образом, с учетом приведенных формул, действующее значение тока ! и напряжений на участках цепи ()к, 1 ы Ис определяются следующими выражениями: г» 1=— Начальные фазы».

!)к, Ры ()с связаны между собой следующим образом: Ч~„— Ч~,='Р=арс1п — Х Ч'1»„-'Р, Ч»(„— Ч~,+00' Ч'с — -Ч~,-00,если Ч',=0,тогда 'Р1»р=0 Ч'11„=-+ 00 'Рт» =-00' Заметим, что для цепи, схема которой приведена на рисЛ: 'Р =-Ч'„— Ч; < 0 при Х~ 0 Режим гармонических колебаний в цепи, состоящей из последовательно соединенных участков с разнохарактерными реактивными элементами (Е, и С) при котором сдвиг по фазе между током 1 и общим напряжением (), равен нулю (р= О), называется резонансом напряжений. напряжение'на конденсаторе 118) (12) Для рассматриваемой цепи напряжение на резисторе Х = Х„-Х = Ы, - 1/аС = 1) (19) ог<вэ=1/Х/1.аС С учетом (12) при резонансе: (16) г д '+С<,-х,) - напряжение на индуктивности Рис.5 1<ьо 1о З<ьа с Условием возникновения резонанса напряжений является равенство нулю общего реактивного сопротивления цепи: можно получить путем изменения !., С, <о При неизменных !., С, <орезонанс наступит при частоте питающего напряжения: индуктивное сопротивление: < .

Г~ ', (14) ьо оо с - емкостное сопротивление Хс = -з- = Е; (15) оэо с - ток в цепи достигает максимально возможного значения Величина Я, определяемая выражением <1= (ЮС)/К, называется добротностью последовательного контура. В случае когда (ч1/С ) > В., т.е, <) > 1 напряжения на индуктивной катушке и конденсаторе будут больше напряжения на входе цепи.

По этой причине резонанс в последовательной цепи с К, !., С элементами называют резонансом напряжений. На рис.5 приведены частотные (резонансные) характеристики 1(<о), Уь!<л), 1ЗсВо), Ща1), <р(с4 для цепи с К, 1., С (рис.1) при Б=-сопя!. Векторная диаграмма, совмещенная с комплексной плоскостью, при резонансе показана на рис.б. Рис.б Для рассматриваемой цепи: полная мощность а) б) в) Измерительный комплекс К 505.

Рис.7 28 29 активная мощность Р= 1) ! соз 4> = 1) 1е В/2= 1' К (Вт) реактивная мощность 1)=и 1 з)п р = и 1еха = 1> Х = 1>1Х„-Х ), (Вдр) Отметим, что прн резонансе напряжений С) = 1'1Х,-Хс) =0 Следовательно, при резонансе напря>кений колебания электрической энергии между источниками и цепью нет, мгновенная мощность цепи > О, т.е. в этом режиме происходит непрерывное преобразование энергии в тепловую. Задание по работе: 1. Изучить руководство к лабораторной работе № 3.

2. Составить протокол выполнения лабораторной работы и записать данные используемых электроизмерительных приборов. 3. При неизменном напряжении, приложенном на входе, экспериментально исследовать электрические цепи, содержащие отдельно резистор 1К), индуктивную катушку 1К, 1.) н конденсатор С. 4. По полученным результатам 1п.3) рассчитать параметры используемых элементов 1В, 1., С) и построить в масштабе соответствующие векторные диаграммы. 5. Экспериментально исследовать цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, индуктивной катушки и конденсатора, величина емкости которого изменяется.

б. По экспериментальным данным полученным в п.5 построить Резонансные кРивые 1=Г1С); 1)ь=Г(С); 1)с=Г1С); <Р=т(С) и Рассчитать параметры цепи К, 1„С. 7. По полученным данным 1п. 5,6) построить в масштабе на миллиметровой бумаге векторные диаграммы напряжений и токов для трех значений емкости, когда Хь>Хс', Хь=Хс и Хь<Хс.