Теория игр. Оуэн (1971) (Теория игр. Оуэн (1971).djvu), страница 5

Поэтому вопросы, связанные с оптимальным поведением сторон в конфликтах, с желательными исходами конфликтов, являются основными в теории нгр. Непосредственных вопросов такого рода три. 1) Какими принципами оптимальности следует руководствоватьея при рассмотрении конфликтов того или иного типа? Иначе говоря, в чем состоит (оптимальное) решение той или иной игры? 2) Реализуем ли применительно к данному классу игр выбранный для него принцип оптимальности? Формально этот вопрос'сводится к существованию у игр из заданного класса тех решений, которые выбранным принципом квалифицируются как оптимальные.

Предмет и еодеоигаиие 'теории иго 3) В чем состоит применение выбранного принципа оптимальности к данной игре (или к данному классу игр)? Ответом на этот вопрос должно служить нахождение решения игры в том же смысле слова, в каком принято говорить о нахождении решения применительно к любой математической задаче. Большинство выполненных работ по теории игр связано с ответами на эти вопросы. В соответствии с этим им посвящены почти все материалы, вошедшие в состав данной книги.

Немногие исключения касаются естественного обобщения третьего из сформулированных вопросов, именно, установления свойств решений игр, принадлежащих некоторому классу. Таковы теоремы !.4.5 -и 1Ч.4.2 (они имеют вид типичных теорем существования; однако в действительности в них доказывается не просто существование ситуаций равновесия, а существование ситуаций равновесия в ч истых с т р а те г и я х), а также рассуждения из $ !Ч.5 и Ъ'. 1. Факт решения игры в смысле некоторого принципа оптимальности можно понимать двояко: как нахождение хотя бы одного из решений и как перечисление всех решений (разумеется, соответствующих данному принципу оптимальности).

Сложность второй задачи по сравнению с первой нередко выходит за пределы чисто технических трудностей и приобретает принципиальный характер. Так, автор в примере 1Ч.6.3, указывая одно нз решений игры и намечая путь получения дальнейших ее решений, даже не ставит своей целью описания всех решений игры.

В случае антагонистической игры все решения являются в известном смысле «взаимозаменяемыми» (точный смысл этого утверждения содержится в формулировке теоремы П. 1.2). Поэтому в таких играх нахождение одного из решений для практических целей достаточно. Однако в общем случае зто далеко не так, и примеры Ъ"П.1.3 и ЛП.4.5 являются в этом отношении достаточно убедительными. Все перечисленные вопросы по существу связаны с исследованием отдельных игр. Однако для математики — особенно для современной — характерен переход от изучения изолированных объектов к совместному рассмотрению целых систем однотипных объектов и операций над ними, переводящих одни объекты в другие. Так, например, возникновение математического анализа связано с переходом от описаний свойств функций (в том числе их дифференциальных и интегральных свойств) к построению дифференциального и интегрального и с ч и с л е н и й, а появление функционального анализа — с введением в рассмотрение функциональных яр остр а н от в.

Теория игр также идет по этому пути. В ней используются разного рода редукции одних игр к другим, в том или ином смысле более просто устроенным. В качестве примеров можно указать на сведение многошаговых игр к матричным (см. гл. ит), а также Предмет и еодериеаиие теории игр иа введение (О, 1)-редуцированной формы кооперативных.игр (см. теорему Ч111.36). Простейшими исчислениями игр можно в известном смысле считать игры на выживание, стохастические, рекурсивные и дифференциальные игры, описанные в $ Ч.2 — Ч.5. Каждая из игр этих классов представляет собой семейство однотипных игр с фиксированным начальным состоянием.

Процесс многошаговой игры оказывается определенным образом устроенной системой переходов от одной такой игры к другой. Дальнейшее развитие этого круга вопросов выходит за рамки предлагаемого элементарного курса. ПРЕДИСЛОВИЕ Уже в течение нескольких лет ощущается заметная потребность в книге, всесторонне освещающей основные аспекты теорим игр (как двух лиц, так и л лнц) с математической точки зрения Я надеюсь, что настоящая книга в какой-то мере восполнит этотнробел. Можно считать, что главы 1 — Ч образуют первую часть книги (теория игр двух лиц), а следующие пять глав — ее вторую часть. (теория игр л лиц). Эти две части не зависят одна от другой и могут рассматриваться как отдельные односеместровые курсы. Подобным же образом можно построить общий элементарный курс (с теоретической ориентировкой), взяв только главы 1, П, Н, Ч111.

и 1Х. Так мог бы получиться хороший односеместровый цикл. Вообще, преподаватель может отобрать темы для курса по своему желанию, не испытывая особой необходимости обращаться к материалу оставшихся глав. Следует добавить, что большинство руководств по этому предмету охватывает вопросы, изложенные- в главах П, П1, ЧП1 и 1Х. При изложении материала я старался неизменно выдерживать. математическую строгость. В то же время моим желанием было, особенно во второй части книги, дать, насколько это возможно,.

также и эвристическую интерпретацию математических рассуждений. Теория игр является, в конце концов, математическим описанием определенных социологических явлений; поэтому изложение, не связывающее математику с конкретными ситуациями, было бы. поистине убогим. При подборе материала для книги моей основной целью было преподнести теоретико-игровые идеи студентам, которые только приступают к самостоятельным занятиям. Поэтому я считал, что. лучше всего было бы начать книгу с некоторых решенных задач. Это может дать изучающему приятное сознание того, что он имеет дело с завершенным вопросом; выражаясь фигурально, он получает нечто, на чем он сможет испробовать и свои зубы. С теорией нгр двух лиц дело обстоит именно так.

Я намеренно опустил некоторые стороны этой теории, особенно вопрос об информации в позиционных играх, — при чтении курса у меня неизменно возникало впечатление, что введение этих понятий не только не облегчает понимания основного материала, но скорее мешает ему„ к лучше всего оставить этот вопрос для более углубленного освоения теории игр. Изучение теории полезности отложено до. Предисловие второй части книги с той же целью: эта теория является центральной при изучении игр п лиц, ио для теории антагонистических игр она оказывается, вообще говоря, помехой.

Я думаю, что некоторые из рассматриваемых в книге вопросов появляются в систематическом изложении впервые. Это относится к дифференциальным играм '), к устойчивым множествам и к играм с континуумом игроков. Я изложил эти вопросы подробно, хотя и опуская некоторые наиболее сложные стороны каждого нз ннх. Включение их в данное изложение должно дать изучающему представление обо многих новых направлениях в теории игр. Для плодотворного чтения этой книги необходимо, конечно, некоторое знание математического анализа и элементарной теории вероятностей.

Знание абстрактной теории меры, естественно, было бы полезно, но никоим образом не является необходимым. Наконец, знакомство со свойствами выпуклых множеств и функций определенно необходимо. Однако обычно такие курсы в большинстве университетов не читаются, и поэтому я включил наиболее важные элементы этой теории в приложение в конце книги. Точно так же включены без доказательств теоремы Брауэра и Какутани о неподвижной точке, которые очень полезны во многих разделах теории игр. Задачи в большинстве случаев взяты из литературы; их значение состоит в том, что они дают контрпримеры для различных правдоподобных предположений или же наброски доказательств некоторых важных теорем, которые я не стал включать полностью.

Некоторые задачи являются просто элементарными упражнениями. Я попытался сделать библиографию достаточно подробной, с тем чтобы читатель мог легко выяснить из первоисточников, какие именно детали опущены мною при изложении тех или иных вопросов. Вместе с тем вта библиография не претендует на полноту; более подробные библиографические списки были опубликованы ранее, особенно в прекрасной книге Р, Льюса и Х. Райфы «Игры и решения» (ИЛ, 106!.— Ред.) и в сборнике Аппа!з о1 Ма))тета))се З)пб!ез № 40.

Мне хочется поблагодарить профессора Альберта Таккера (Принстонский университет) и профессора Джона Исбелла (Кейсовский технологический институт) за весьма ценные замечания и предложения по улучшению первоначального текста. Некоторые примеры и упражнения были включены по их рекомендации. Г. Оуэн ') Это утверждение автора, по-видимому, нуждается в известных корректн. .вах — достаточно напомнить книгу Р. Айзекса «Дифференниальные игры» («Мир», !96?). — Прим. ред.

Глава 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИГгРЫ !. !. ОБЩПЕ ПОНЯТИЯ С общим представлением об игре каждый из нас хорошо знаком в связи с салонными играми. Такая игра начинается из некоторого данного положения и состоит из последовательности личных ходов, при каждом из которых один из игроков совершает выбор среди нескольких возможностей. Некоторые ходы могут, кроме того, быть случайными (таковы, например, бросание кости или тасование колоды карт). Примерами игр такого типа являются шахматы, в которых совсем нет случайных ходов (кроме разыгрывания того, кто будет 'играть белыми), бридж, в котором случай играет значительно ббльшую роль, но все еще важно искусство игроков, и рулетка, являющаяся полностью игрой случая, в которой искусство не играет никакой роли.

Примеры бриджа и шахмат позволяют указать другой важный элемент игры. Именно, в шахматной игре каждый игрок знает любой ход, который был сделан до этого момента, в то время как в бридже это знание у игрока обычно весьма неполно. Таким образом, в некоторых играх игрок не в состоянии определить, какой из нескольких возможных ходов был фактически сделан, будь то ход одного из его противников или случайный ход. На практике это означает, что, когда игрок делает свой ход, он не знает точной позиции игры и должен делать ход с учетом того, что имеется несколько возможных позиций.