Теория игр. Оуэн (1971) (Теория игр. Оуэн (1971).djvu), страница 4

$5. КЛАССИФИКАЦИЯ ИРР Формальное определение игры, приведенное в й '2, оставляет весьма широкую свободу выбора конкретных возможностей для компонент, составляющих игру. Налагая на эти компоненты те или иные ограничения, мы можем получать различные классы игр. В качестве первого классификационного признака возьмем множество коалиций интересов й . Если это множество пусто, то конфликт вырождается в явление, в исходах которого никто не заинтересован. Математические модели такого рода явлений составляют содержание традиционной описательной математики. Если множество И„состоит из единственной коалиции интересов, то мы также утрачиваем конфликт в обычном смысле этого слова, а имеем дело с явлением, в котором единственная заинтересованная сторона стремится выбрать наиболее предпочтительнчю для себя ситуацию.

Математическая трактовка этого круга вопросов сводится к разного рода экстремальным задачам, классическим, как, например, решаемые в дифференциальном или вариационном исчислениях, или современным, которые составляют предмет различных отраслей оптимального программирования (линейного, дискретного, динамического, стохастического программирования и т. д.). Собственно теория игр начинается тогда, когда множество И насчитывает ие менее двух заинтересованных сторон. Далее мы будем все время считать, что имеем дело с этим случаем. Следующим признаком, по которому естественно провести дальнейшую классификацию игр, является количество коалиций действия. Прежде всего совершенно ясно, что рассмотрение игр с пустым множеством коалиций действия лишено смысла: здесь множество ситуаций состоит не более чем из одного элемента и вопрос об отношениях предпочтения вообще не возникает.

Если же в игре имеется хотя бы одна (и даже только одна) коалиция действия К, то исследование игры становится содержательным. В этом случае имеется единственное множество страте- Предмет и годер»синие т'еории иер !7 гий Бк, а множество всех ситуаций является его подмножеством: Бс: Зк. Поэтому рассмотрение игры можно начинать с этого множества ситуаций, считая их стратегиями единственной коалиции действия. Поскольку для таких игр стратегии совпадают с ситуациями, можно применительно к ним термина «стратегия» не употреблять вовсе.

В связи с этим такого рода игры часто принято называть н е с т р а т е г и ч е с к и м и. К числу нестратегических игр относятся кооперативные игры, рассматриваемые в $ Ч1П.2— Ч1П.4 и в гл. 1Х, их обобщения, описываемые в гл. Х, а также так называемые арбитражные схемы (Ь Ч11. 2), теория угроз (ф ЧП. 3) и схемы рыночного типа (одна из них — модель рынка по Эджворту — разобрана в Ч Ч11!. 5). Общая схема нестратегической игры состоит в следующем. Некоторое действующее начало (едннственная коалиция действия) способно породить любую ситуацию из заранее заданного множества. Заинтересованные начала (коалиции интересов) на основании имеющихся для них отношений предпочтения для ситуаций предъявляют к ситуациям те или иные требования, Совокупность этих требований имеет значение принципа оптимальности: ситуация, удовлетворяющая им, называется о п т и м а л ь н о й.

После этого реализуется любая из оптимальных ситуаций. За иллюстрацией обратимся к примеру из $4. Очевидно, в этом примере мы имеем дело с нестратегической игрой. Так как вовсех ситуациях х, +хт+х,=1, эти ситуации естественно понимать как д е л е ж и суммы, равной 1, между тремя индивидуумами. Можно считать, что в этой игре имеются три коалиции интересов: Км, К„и Км (причины такой нумерации коалиций интересов станут ясны из дальнейшего).

Будем считать, что дележ-ситуация х предпочтительнее дележа- ситуации у для коалиции Кни если выполняется тройка неравенств (!); х предпочтительнее у для Кнн если выполняется (2) и, наконец, х предпочтительнее у для Км, если выполняется (3). Такое представление о предпочтениях оказывается вполне наглядным, если принять, что в рассматриваемой игре имеются три игрока: 1, 2 и 3, а хь хь хз — суммы, которые эти игроки получают в ситуации х = (хь хм хе). Таким образом, неравенства (1) касаются игроков 1 и 2, неравенства (2) — игроков 1 и 3, а неравенства (3) — игроков 2 и 3. Это естественно понимать так, что коалиция Км состоит из игроков 1 н 2, Км — нз игроков 1 и 3, а Кез — из игроков 2 и 3.

Ясно, что каждый из игроков стремится увеличить свой выигрыш, т. е. максимизировать значение соответствующей координаты. Предположим, однако, что мнение каждого из игроков в отдельности не имеет значения, но нх пары составляют коалиции Предмет ы содержание теории иер интересов, определяющие отношения предпочтения для стегуацнй.

Выясним смысл отношения предпочтения ) в том случае, когда это предпочтение проявляется как предпочтение для коалиции Км, т. е. когда оно описывается неравенствами (1). Возьмем первое из этих неравенств: Х2+ Х2 — /3. Оно означает, что для того, чтобы коалиция Км могла сравнивать дележ х с каким-либо другим дележом, необходимо, чтобы суммарная доля ее членов была не слишком большой, именно, не превосходила '(2. Это число 2/2 можно понимать как сумму, получение которой коалиция К~2 может себе обеспечить при любых обстоятельствах.

Поэтому если ей будет предложен дележ х, в котором х, + х, ) 212, то ей остается только сразу согласиться на такое предложение. Выполнение оставшихся двух неравенств из (1) х, > уь х2 ) у2 достаточно прозрачно и означает, что в ситуации, предпочитаемой к к коалицией Км, каждый из членов коалиции (игроков 1 и 2) должен получить больше, чем в альтернативной ситуации.

Описанный подход к вопросу должен носить нормативный характер, т. е. должен в каждом случае указывать, какая именно ситуация является оптимальной. Однако как раз в этом отношении он страдает известной неполнотой. Во-первых, как уже отмечалось выше, коалиции интересов могут придерживаться весьма разнообразных принципов оптимальности (примеры см. в $4, а также в гл. Ч1П и 1Х). Это является одним из источников множественности ответов на вопрос об оптимальной ситуации.

Во-вторых, само решение может оказаться неединственным. Так, в примере из ф 4 в задаче в) наряду с приведенным решением 22 СУЩЕСтВУЮт И ДРУГИЕ, СКажЕМ, ПОЛУЧаЕМЫЕ И РЕЗУЛЬтатЕ ПРОИЗ- вольного незначительного сдвига прямолинейных отрезков, выходящих из центра треугольника ситуаций (см. рис. 3). В связи с этим возникает вопрос о выборе из множества всех оптимальных решений некоторого одного (в каком-то смысле «наиболее оптимальногоы). Предмет и кодержаиие теории агр В-третьих, каждое отдельное решение может состоять из больпзого числа ситуаций.

Пример тому мы уже видели. Это опять-таки порождает вопрос о таком дальнейшем уточнении принципа оптимальности, чтобы из полученного решения выбрать некоторую единственную ситуацню. Наконец, в-четвертых, решение, определяемое некоторым принципом оптимальности, может и не существовать, как, например, в задаче а) из $4. Это означает, что выбранный принцип оптимальности, являющийся на первый взгляд достаточно разумным, может тем не менее противоречить условиям конфликта, также достаточно естественным. Нестратегическим играм противостоят игры, в которых участвует более одной коалиции действия. Эти игры называются стратегическими.

В большинстве работ по теории игр рассматриваются такие стратегические игры, в которых множества коалиций действия н коалиций интересов совпадают (как те, так н другие коалиции называются в этом случае игроками), множество ситуаций совпадает с декартовым произведением множеств стратегий: 8 = Ц 5к, а отношения предпочтения (для игроков) к аз определяются, как это указывалось в $2, соответствующими функциям н выигрыша.

Такие игры называются б е с к о а л и ц и о нн ы м н. Из сказанного видно, что бескоалиционная игра может быть задана в виде системы Г=(~ РЬ~ г ЯЛ~ ~) где 1 — множество игроков, З~ — множество стратегий игрока 1 ((енУ), а Н; — его функция выигрыша, т. е. функция, заданная на множестве всех ситуаций и принимающая вещественные значения. В данной книге рассматриваются только такие бескоалиционные кгры, в которых число игроков равно 2. 0 более общем случае лишь бегло упоминается в $ ЧШ. 1. Важным частным случаем бескоалициоиной игры является тот, когда число игроков равно двум (обычно полагают 1= (1,1Ц), а значения нх функций выигрыша в любой ситуации равны по величине и противоположны по знаку: Н,(а) = — Нп (а). (4) Такие игры называются антагонистическими, нли играми двух лнц с нулевой суммой (или, короче, нулевыми играми).

Этому классу нгр посвящены первые пять глав книги. Бескоалиционные игры двух лнц, не являющиеся антагонистическими, рассматриваются в $ Ч11.1. Процесс протекания бескоалнционной игры можно представить себе следующим образом. Каждый нз игроков независимо от остальных выбирает некоторую Предмет и еодержиние теории игр 20 стратегию (перед тем, как это сделать, игроки могут, вообще говоря, вступать между собой в переговоры и заключать соглашения; однако нв те, ни другие не являются обязывающими; последнее в сущности н означает независимость выбора игроками стратегцй). После того как в результате выборов сформировалась некоторая ситуация, каждый игрок получает выигрыш, равный значению своей функции выигрыша в этой ситуации. Основным изучавшимся до сих пор принципом оптимальности в бескоалиционных играх является стремление игроков к ситуациям равновесия, описываемым определением 1.4.1 (см.

также определение 7П. 1.1). Этот принцип оптимальности иногда называется принципом осуществи мости цел и, потому что только ситуации равновесия могут быть предметом предварительных договоров, которые будут соблюдаться. (Если в договоре зафиксирована неравновесная ситуация, то хотя бы один из игроков будет заинтересован в нарушении договора и ситуация фактически не будет достигнута.) В случае антагонистической игры принцип осуществимости цели превращается в принцип ма к симина (см. $ П. 4), а ситуации равновесия становятся с е д л о в ы м и т о ч к а и и. Принцип осуществимости цели, подобно принципам оптимальности в нестратегических играх, страдает неполнотой: соответствующие ему решения игры (т.

е. ситуации равновесия) для многих игр не существуют; вместе с тем многие игры имеют н более одного решения. Отсутствие у игр решений достаточно успешно преодолевается введением так называемых «смешанных стратегий» (см. З П.З), преодоление же множественности решений является важной и нерешенной проблемой. 4 6. ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИГР В соответствии с приведенным в $1 определением теории игр она является теорией математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта (а также в условиях неопределенности).