Теория игр. Оуэн (1971) (Теория игр. Оуэн (1971).djvu), страница 2

Будем в соответствии с этим считать, что принимающие участие в конфликте стороны суть элементы некоторого абстрактного множества. (Это значит, что мы априори не предполагаем, что они наделены какими-либо содержательными или хотя бы формальными свойствами.) Часто оказывается целесообразным считать их подмножествами некоторого универсального множества; элементы последнего принято называть и г р о к а м и, а подмножества игроков, которые являются действующими сторонами в конфликте, — к о а л и ц и я м и д е й с т в и я (различные коалиции Предмет и содержание 'теории игр действия могут пересекаться и даже содержаться одна в другой).

Множество всех коалиций действия в конфликте далее будет обозначаться через его. Каждая из коалиций действия К принимает некоторое решение из некоторого множества Як доступных для нее решений .Будем пока считать, что множество Як является абстрактным, и процесс принятия решения сводится к формальному и притом произвольному выбору элемента из этого множества. Элементы множества Зк называются с т р а т е г и я м и коалиции К.

Выбор каждой из коалиций действия некоторой стратегии определяет то, что естественно назвать исходом конфликта. При этом не обязательно, чтобы этот исход понимался как однозначно определенное детерминированное явление. Допустимо, чтобы тот или иной из этих исходов был множеством физических явлений или же случайным явлением, т. е. множеством явлений с вероятностной мерой на нем. Кроме того, некоторые комбинации выбранных коалициями действия стратегий могут оказаться несовместимыми и потому неосуществимыми.

В этом случае можно считать, что конфликт ие состоялся ~в применении к салонным или спортивным играм это может выражаться в появлении некоторой помехи, воспрепятствовавшей окончанию игры). Все исходы конфликта называются ситуациями. Из сказанного выше следует, что ситуации составляют некоторое множество 5, являющееся подмножеством множества всех комбинаций стратегий коалиций действия, т. е. декартова произведения множеств стратегий: 5 с: П к жид По поводу заинтересованных в исходах конфликта сторон можно повторить почти все, сказанное в связи с коалициями действия. Их естественно называть коалициями интересов, и они считаются элементами некоторого абстрактного множества, которое далее будет обозначаться через Й„.

Обычно достаточно считать, что коалиции интересов суть подмножества того же множества игроков, что и коалиции действия. В нашем изложении множества коалиций действия и множества коалиций интересов рассматриваются как различные. Это сделано не ради одной лишь формальной общности, Во многих реальных конфликтах могут встречаться коалиции действия, не являющиеся коалициями интересов, и наоборот. Например, наблюдающий за футбольным матчем по телевидению болельщик заинтересован в исходе матча, но не может влиять на его ход.

Наоборот, судья этого матча может весьма существенно влиять на его ход, но не имеет права обнаруживать заинтересованность в его 'исходе. Рассмотрим, наконец, форму выражения заинтересованности для коалиций интересов. Эта заинтересованность проявляется 1о Предмет и содержа»ие 'теории игр в том, что каждая из этих коалиций предпочитает одни исходы конфликта другим. Это описывается в виде некоторого отношении предпочтения — абстрактного бинарного отношения )» на множестве всех ситуаций. Тот факт, что коалиция интересов К предпочитает ситуацию х ситуации у, обозначается как х)»у. Вообще говоря, никаких свойств у отношения )» (кроме его бинарности) не предполагается, хотя обычно оно считается транзитивным (т. е.

из х)»у и у)»г следует х)»г). В частности, не требуется, чтобы отношение было линейным, т. е. чтобы любые две ситуации были сравнимы друг с другом (в формальной записи для любых двух различных ситуаций х и у либо х)»у, либо у)»х), Лопускается даже, чтобы некоторые ситуации вообще не поддавались сравнению по предпочтительности с какими-либо другими ситуациями. Нередко отношение предпочтения задается следующим образом. На множестве ситуаций Я определяется функция Н», принимающая вещественные значения и называемая функцией выигрьииа коалиции интересов К.

Ее значение Н»(х) понимается как выигрыш, который коалиция К получает в ситуации х. Естественно принять, что х)»у, если'Н»(х)> Н»(у). Итак, формальное описание конфликта состоит в задании системы г-<я,, р,)..., я, й„,(),)... ~, где перечисленные в ломаных скобках множества и отношения связаны друг с другом, как это было описано выше. Такая система является формальной моделью конфликта. Она называется игрой. Теория игр занимается изучением игр именно в этом понимании.

Разумеется, приведенное определение игры является чрезвычайно общим. Фактически приходится иметь дело со значительно более узкими классами игр. Некоторые из этих классов рассматриваются в книге Оуэна. Физическая и социальная природа компонент игры и, в частности коалиций действия, коалиций интересов и игроков, может быть весьма разнообразной: юридические лица, спортивные команды, конкурирующие фирмы, воюющие стороны, биологические виды в борьбе за существование и т. д. Некоторые заинтересованные стороны могут даже не существовать реально, а являться лишь отражением определенных представлений, которые могут возникать в тех или иных условиях у реальных заинтересованных сторон. Этот случай, как это ни покажется на первый взгляд странным, является достаточно распространенным.

Предположим для простоты, что мы имеем дело с единствеи. ным субъектом, принимающим решения и притом недостаточно осведомленным об обстановке, в которой ему приходится эти Предмет и содержание теории игр делать. Он допускает наступление различных последствий в результате принятия каждого своего решения, и эти последствия имеют для него различную предпочтительность. На самом деле наступление тех или иных последствий зависит от некоторой неизвестной емузакономерности природы. Поэтомуон может допустить, что истинная закономерность природы является для него наименее благоприятной.

Это значит, что субъект представляет себе дело так, к а к б уд т о вместо объективной, но непознанной природы ему противостоит сознательный противник, стремящийся к ситуациям, наименее предпочитаемым субъектом. В этом смысле мы можем иногда причислять к участникам конфликта п р и р о д у. Очевидно, в этом не заключено никакой антропоморфизации природы. Описанная форма принятия решения обычно называется принятием решений в условиях неопределенности. Оно носит конфликтный характер и формализуется в виде игры. Таким образом, математическое моделирование принятия оптимальных решений в условиях неопределенности также можно естественным образом отнести к теории игр («игры против природы»).

Столь же разнообразной может быть и природа отношений предпочтения. Очевидно, что при рассмотрении вопроса в наиболее общем виде доказательствам поддаются лишь отдельные, и притом не слишком глубокие утверждения. В целях построения содержательной теории желателен переход к более конкретным отношениям предпочтения. Очень часто в теории игр отношения предпочтения сводятся к функциям выигрыша.

Некоторые вопросы, касающиеся возможности такого сведения, рассматриваются в гл. МЕ Вопрос о природе стратегий действующих сторон рассматривается в следующем параграфе. $ 3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ Мы рассмотрим два аспекта этого вопроса. Для того чтобы без каких-либо специальных оговорок говорить о выборестратегии пз множества всех стратегий как о выборе элемента из множества, необходимо представлять себе, в каком смысле и до какой степени эта коалиция в состоянии отличать свои стратегии как одну от другой, так и от иных объектов, не являющихся ее стратегиями. Если множество стратегий у коалиции действия конечно, то такого рода различения для нее во всяком случае потенциально осуществимы и эта сторона вопроса о выборе стратегии отпадает.

В противном же случае некритические представления о неограниченных возможностях выбора стратегии приводят кслишком большой свободе в конструировании самих игр и как следствие этоРо — к построению игр, анализ которых приводит к парадоксальяым явлениям. Следует подчеркнуть, что получаемые в теории игр Предмет и содержание теории игр парадоксы противоречат не только сложившейся математической практике, но и представлениям житейского здравого смысла; поэтому анализ и раскрытие этих парадоксов оказывается особенно важным и актуальным. Далев, в представлении о решении как об элементе абстрактного множества никак не отражается возможный динамический характер решения, когда оно принимается не каким-либо однократным актом, а вырабатывается постепенно, шаг за шагом.