Fluegge-2 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 9

5) Ь дйо — — — = Ев.о, 4аи~ дР~ (148.8) это может, например, служить моделью кулоновского отталкивания электронов в основном состоянии атома гелия. Вывести закон сохранения момента количества движения и рассмотреть относительное движение частиц. 58 1'г'. Многочастичньи задачи. А. Малое число частиц причем Е„+Ей = Е.

(148.7) Абсолютное движение частиц определяется уравнением (148.6). Учитывая, что оператор проекции суммарного орбитального момента нашей двухчастичной системы на ось г дается выражением мы можем переписать уравнение (148.6) в виде ! 28 1-*"=Ев о* (148.6а) где !9 = 2тгз — суммарный момент инерции обеих частиц. Послед- нее уравнение позволяет определить собственные значения опе- ратора вращательной энергии.

Так как решение уравнения (148,6) имеет вид о = егма 1К = (), ~ 1, -ь 2, (148.8) то допустимые значения вращательной энергии будут равны Еэ = 28 (148.9) Гораздо сложнее вопрос об относительном движении частиц, так как оно определяется дифференциальным уравнением Матье (148.6). Чтобы упростить последующие рассуждения, преобразуем уравнение (148.6) к стандартной форме, положив Таким образом, получим —,+() — 24 сов 2р) о= О. (148.!!) ч Здесь искомые решения принципиально отличаются ог решений уравнения Шредингера с периодическим потенциалом в теории кристаллической решетки. Там решения, не будучи периодическими, при переходе от одной ячейки ешетки к другой умножаются на фазовый множитель (см.

задачи 28, 29). теории кристаллической решетки энергетический спектр имеет ванную структуру, в нашем же случае спектр собственных значений а дискретен. Мы будем интересоваться периодическими решениями" с периодом 2п по переменной сс или, что то же самое, с периодом я по переменной !р.

Так как в уравнении (148.11) коэффициент при функции и четным образом зависит от угла !р, то решения этого уравнения будут либо четными, либо нечетными функциями <р. )48. Двв отталкивающиеся чвстияы нп окружности 69 Периодичность решений позволяет разложить их в ряды Фурье, поэтому мы имеем пчет= Ае+ Аа сов 21Р+ А соз 4ф+...; авачвт = Вв З!П 2ф + Ва З1П 4ф +... Обычно принято обозначать собственные значения ).

посредством ао, а„а„... в случае четных решений и посредством Ь„Ь,, Ь„... в случае нечетных решений'1. В теории уравнения Матье показыд вается, что собственные значения можно расположить в следующем порядке: )з а„< Ь, < ав ( Ьа ( аа ... (148.12) р На фиг. 61 приведена зависимость собственных значений от -)р переменной д. Благодаря неравенствам (148.12) кривые на фиг.

61 -гр не пересекаются. В случае д==О имеем "ой ао(0)=0 Ьа(О)=аа(0)=2я Ь, (0) = а„(0) = 4' и т. д. (148. 13) Ф и г. 61. Зависимость собственныХ значений в от глубины потенциальной ямы д. аелячянм Д н е даян а беврвамерямк едянкцвк в соответствия с определе. вяямя 11ЧЗ.101 Прямммя линиями отмечены положвявя мянямума н максимума потенциальное анергяя. В случае же очень больших гу справедливы асимптотические со- отношения а (д) — 24+2(2г+!) Уд 4 [(г+1) +г~1, (148.!4) Ьвг (д) — — 24+ 2 (2г — 1) )' д 4 [(г — 1)к + г'1.

Смысл соотношений (148.13) и (148.14) можно понять с помощью следующих элементарных рассуждений. Если г)=0, то уравнение (148.11) приобретает вид ото — +),п=О лфа и Наскольно зто возможно, мы придерживаемся обозначений, принятых в справочнике Абралювичв и Стегуна (Абготаагиз М., Иейия А Е., Напдьоой о! Мащетапса) Гппспопз, Ротег Риы., )Чецг Уогй, !965, СЬ. 26). Кривые, приведенные на фиг. 6), также построены согласно данным указанного справочника.

с"т'. Многочостичиыо аадачи. А. Малое число часачии и оба его периодических решения и„„= А„соз 2гф, и„„„= В„з)п 2гф принадлежат одному и тому же собственному значению Х = (2г)*. Это полностью согласуется с соотношением (148.13). Если, с другой стороны, значение д очень велико, то вблизи точки а=и мы будем иметь очень глубокую потенциальную яму, что практически почти полностью зафиксирует наши частицы на противоположных концах диаметра. В этом случае вместо переменной ф удобно ввести новую переменную 1 и 2(Р' Рч ) ф 2' (148.15) Из соотношений соз 2гф = ( — 1)' соз 2гт), з(п 2гф = ( — 1) айп 2гт1 следует, что функции пч„и п„,„„будут соответственно четными и нечетными функциями и по отношению к переменной т).

Если потенциальная яма очень глубока, то в уравнении (148.11) можно написать соз 2ф = — соз 2т) ж — 1+ 2ич, и оно приближенно перейдет в дифференциальное уравнение для гармонического осциллятора: ачо — „, + 1(Х + 2д) — 4дтЯ и = О.

йч Как хорошо известно (см. задачу 30), собственные значения для этого уравнения равны )„+24=2)с 4 (2п+1), п=О, 1, 2, ..., (!48.17) а собственные функции, относящиеся к четным (нечетным) и„ четны (нечетны) по переменной и. Соотношение (148.17) почти полностью совпадает с соотношением (148.14), если отождествить решения при малых т) с решениями при больших д по схеме: =о 3 4 Четные (а„) Нечетные (Ьчс) с=о г= 2 2 ! 1 д п ии льные постоянные, фигурирующие в формулах (148 14)' можно получить, удержав в разложении сов 2т) еще один член, 61 149.

Трехатомная линейная молекула а затем воспользоваться теорией возмушений. В результате получим ) „+ 24 = 2 $"~~ (2л+ 1) — — д л,п ~ т!' ~ и>. (148.18) Как оказывается, этот дополнительный член обеспечивает полное согласие между формулами (!48.!8) и (148.14). Замечание 1. На фиг. 61 мы изобразили диагонали двух координатных углов: нижняя диагональ отмечает положение минимума потенциальной энергии ( — 29), верхняя — положение ее максимума (+29).

Собственные значения, разумеется, всегда располагаются выше линии минимума потенциальной энергии. Вели онн лежат ниже верхней диагонали, то соответствующие ин состояния являются колебательными состояниями внутри потенциальной ямы. Так, например, при 9=10 имеются четыре таних колебательных состояния, пятое же собственное значение (а,) соответствует состоянию либрационного типа. При лийрации движение частиц захватывает всю окружность, так что временами положения обеих частиц совпадают. Первые четыре состояния можно было бы назвать аигармоническиин колебаниями.

Начиная же с пятого состояния по мере роста энергии движение все более и более приближается к движению невзаимодействующик независннмх частиц, Замечание 2. Относительное движение двух частиц происходит в потенциальном поле того же вида (г, соз и), что и в случае натематического маятника. В классической механике зта задача сводится к эллиптическим ннтегралаы, квантовая же задача требует для своего решения, как мы видели, функций Матье. Это снова показывает (см также задачу 40), насколько сложнее в математическом отношении ситуация в задачах квантовой механики по сравнению с аналогичными задачами классичесной механики. Задача 149.

Трехатомная линейная молекула В положении равновесия молекула двуокиси углерода имеет форму линейной цепочки О=С = О. Пусть независимо от того, одинаковые или разные изотопы кислорода, равновесное состояние между атомами в комплексе С= О равно а, а соответствующая упругая постоянная валентиых сил равна (. Пренебрегая поперечными колебаниями, рассмотреть в гармоническом приближении одномерную модель молекулы СО, и определить частоты ее колебаний. Решение.

Обозначим через х„ х„ х, положения атомов на оси х, а посредством ты и„ та в их массы, тогда для линейной модели в гармоническом приближении уравнение Шредингера будет иметь вид з аз ч-ч 1 дзч' 1 — ~~ — —, + — ( [(х,— х,— а)'+(х,— х,— а)'1 ч(г = ЕЧ", (149.1) 62 з"з'.

Многочастичние задачи. А. Малое число частиц Чтобы отделить движение центра масс от относительного движе- ния, мы перейдем к новым переменным: и=х — х — а, з о=х,— х,— а, Х = — (т,х, + т,х, + т,х,), 1 (149.2) М = тз + те + тз. Старые производные связаны с новыми производными соотноше- ниями: д д дХ ди ' озз дзз Повторное применение этих соотношений дает 3 Таким образом, движение центра масс действительно отделяется, и мы приходим к уравнению Шредингера, содержащему только две независимые переменные и и о, + — 1(и'+о') — Е)(зр=О. (149,3) ! При этом выше мы переопределили энергию Е, и она теперь в отличие от (149.1) означает одну лишь энергию относительного движения. Наличие в операторе кинетической энергии смешанной производной дз(дадо делает дальнейшую факторизацию невозможной. Однако если мы введем „повернутую" систему ко- ординат и' = и соз сс + о з(п сс, о' = — и з)п а + о сов а, (149.4) то надлежащим выбором угла а член со смешанной производной дз(ди'сЪ' можно будет обратить в нуль.