Fluegge-2 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 8

Решая это уравнение, находим 5(5+1)= 4, 4 з 4 или 5= 3, 3, —. (146.9) 13 3 3 з 2' 2' 2' Тот же результат получился бы у нас и при действии оператора 5' на функцию )(( — '/,), только вместо буквы а всюду была бы буква 6. 52 П1. Чосглицы со тином. Б. Двух- и глрэхчпсюичныв задачи Для первого из собственных значений (146.9) решение системы (146.8) однозначно принимает вид А=В=С. Используя при записи спиновых функций более подробную символику )((В, 5,), мы получаем следующий квартет четырех полностью симметричных функций: /3 1! 1 Х ( 2 2 ) )г-. (~газ16з + ~збз~з+ 6заз~з) (!46,10) Х(3, — ! )= ! Ма,+б,а„(),+а,(),()з), 3 Это решение соответствует в векторной модели четырем возможным ориентациям спина з/,. После подстановки двухкратного корня В=з/, в систему (146.8) все три ее уравнения приводят к одному н тому же соотношению: А+В+С=О, что позволяет нам написать С= — (А+В), но не дает никакой информации относительно А и В.

Таким образом, имеем )( ( —, — ) = Аа,а,б, + Ва,б,аэ — (А + В) ~,а,аю (!46.!1) )(( —, — — ) = А'Ц),а, + В'6,а,6, — (А'+ В') а,(3,6ю Эти формулы все еще описывают смесь двух различных дублетов, для каждого из которых Я=з/и Чтобы разделить указанные дублеты н снять оставшееся вырождение, обычно предполагают", что либо А=В==, либо А= — В==. (146.12) 1 ! 1' 6 )2 В первом случае мы получаем дублет К,( 2, 2 )= — (а, (аз!),+~,а,) — 2~, а,а,), /1 11 1 (146.13) " Наличие вырождения связано с тем, что дли трехчастичной системы операторы оз и Я не образуют полного набора наблюдаемых. ЧтОбы иметь такой набор, надо присоединить к згим операюрам один из обменных спиновых операторов Ега.

Волновые функции, приведенные в тексте, получаются в том случае, когда выбирается обменный оператор Езз. — Прим. ред. И7'. Раееевние нейтронов мовекуеерннм водородом симметричный по отношению к перестановке спиноз частиц 2 и 3 символически 1,23), а во втором случае — дублет р! !х ! 2 71 !'! ! Хв( 2 ° 2 ) '= =ре 6~'"в яв()в) 2 (146.14) антисимметричный по отношению к перестановке спинов частиц 2 и 3 (символически 1,23). Требуя, чтобы именно для спиноз частиц 2 и 3 имела место простая симметрия, мы, разумеется, поступаем совершенно произвольно.

Другой выбор постоянных А и В, например В= — '/,А, привел бы к спиновой функции с симметрией 12,3, Только дополнительные условия, налагаемые на решение в той или иной конкретной задаче, могут снять это специфическое вырождение. Задача 147. Рассеяние нейтронов молекулярным водородом Пусть частицы 1 и 2 предыдущей задачи — это протоны, входящие в состав молекулы водорода, а частица 3 — медленный нейтрон с длиной волны де Бройля, значительно превышающей размеры молекулы. Определить сечение рассеяния нейтронов молекулами пара- и ортоводорода, считая, что пр-взаимодействие имеет центральный характер (см.

задачу 140): У 4 (ЗУ,+1',)+ — (У,— У,) (а„пр). (147.1) где Ортоводород и параводород характеризуются соответственно симметричной и антисимметричной спиновыми функциями, по- Чтобы связать длины рассеяния с потенциалами, в качестве грубого приближения предположите, что длина рассеяния пропорциональна глубине потенциальной ямы. Решение. Характер движения нейтрона определяется его взаимодействием с двумя протонами. Если длина волны нейтрона велика, то практически оба протона расположены в одном месте и для описания движения достаточно одной относительной координаты г.

Будем обозначать нейтрон индексом и (вместо индекса 3), тогда взаимодействие нейтрона с молекулой водорода, согласно (147.1), можно записать в виде У= 2 (31''+У)+ 4 (У,— У,)(ов (и,+и,)), (!47.2) 64 !П, Частицы со саином. Б, двух- и трвхтгстичцыв мгдачи этому в нашей трехчастичной проблеме, согласно результатам предыдущей задачи, имеются следующие восемь спиновых функ- ции Квартет, спин '/ч, ортоводород, 12л (147.3) 1 Дублет, спин '/„ ортоводород, Г2,п (147.4) /! !Х ! Хр ( —, + —,/! = = (агрг — (),ах) а„, 2 /1 1Х ! Дублет, спин '/1 параводо- (147 5) род, 12сп Все эти восемь функций суть собственные функции операторз ос=(п, +и,+нв)', принадлежащие собственным значениям 15 и 3 соответственно для квартетных и дублетных состояний. Так как ов =и', +-пг, + о„'+ 2 (о, о,) + 2 (п„(п, + и,)), (147.5) причем каждый из первых трех членов равен трем, а для четвертого имеем (147.7) — 3, параводород, то окончательно получаем 15 = 9 + 2+ 2 (о„(о, + о,)) квартет, ортоводород 3 = 9+ 2+ 2 (п„(п, + о,)) дублет и 3=9 — 6+2(п„.(п,+и)), параводород, дублет.

Таким обра- зом, имеем Х(-',, Х(-',. /з Х~2 Хо(2 г 3 ! + 2 ) гага"' + 2) = -- (агаг0ч+агряга +рягага ) 2 $'"3 2) (~1'* "+~' 11 1 3 — —,') =М,1. + 2 ) .= = «а,(), + рга,) а„— 2а гав))„), ! У 1 б — — ) = = ((сс,р, -1- р,сс,) ))„— 2рг,р,ав). 11 ! 6 2, ортоводород, квартет, (о„. (о, + о,)) = — 4, ортоводород, дублет, (147.8) О, параводород, дублет. 55 !47, Рассеяние нвйглранов молекулярным водородом Отсюда в силу формулы (147.2) мы приходим к следующим трем типам взаимодействия между нейтроном и молекулой водорода: 1 й (Ут — Ув) У=--,(ЗУ,+У.)+1' (У, У)— О 2Уо квартет, ортоводород, з — У, + — У„дублет, ортоводород, (147.9) з — Ут -!- — У„дублет, параводород. Возвратимся к вопросу о рассеянии нейтронов и рассмотрим предельный случай нулевой энергии.

В этом пределе длина рассеяния а линейным образом связана с глубиной потенциальной ямы, если последняя „мала". Следует, однако, подчеркнуть, что для реального пр-взаимодействия это довольно грубое приближение. С учетом указанного приближения мы для упругого рассеяния нейтронов получаем -4и ( 3 (2ог)~ + 3 ( 2 а!+ 2 пв) ~ 1З ! 1з о„р,— — 4тт ! — а!+ — а, у, или, (147.10) о,р„—— — и ((За! + а,)' + 2 (аг — а,)'), Замечание. Лучшие значения для длин рассеяния а~ и ав в двухнуклонной задаче равны соответственно +5,39 ферми и — 23,7 ферми. Подставляя эти значения в формулы (!47.ГО), мы получаем аорта 55 бари и парра —— = 1,77 бари т>. Характерной особенностью этого до некоторой степени грубого результата является удивительно малое значение сечения рассеяния на пара- водороде.

Тем не менее этот результат полностью подтверждается экспериментами по рассеянию тепловых нейтронов. Если бы выполнялось равенство ав = — Заь то сечение рассеяния на параводороде было бы в точности равно нулю. Как бы то ни было, но его малость показывает, что величина ав должна быть большой и ее знак должен быть противополодген виану велйчины аь С другой стороны, для существования связанного зз-состояния дейтрона трнплетная длина рассеяния должнз быть положительной. Следовательно, ав < О, и поэтому существование связанного '3-состояния невозможно. Необходимо отметить, что этот знак можно определить только в интерференпионных опытах описанного типа, но не в экспериментах по рассеянию нейтронов на изолированных протонах, где приходится иметь дело с некогерентными волнами. Наши результаты непосредственно относятся к предельному случаю нулевой энергии, в то время как в эксперименте нейтроны могут иметь энергию порядка нескольких сотых электронвольта.

Следовательно, нх длина волны не т> ! ферми=10 тз см, ! бари 10 зв авз. 66 77Е Части<о са олином. Б. Двух- и трехчасшичлме задачи так уж велика по сравнению с размером молекулы, Это вызывает появление неупругих переходов с изменением четности между вращательными состояниями ортоводорода с е = ! и состояниями параводорода с 7=0. укаэанные переходы появляются благодаря тому, что гаа ~ гаж Если ввести обозначение 1 (Рг Уе) = (7 (г) то для части взаимодействия, зависящей от спиноз, можно написать 1 (1 (геа) (оа от)-)-(1 (г„,) (о„о,) = — ((7 (геэ)+ (7 (г„)) (о„.

(о, + оч)) + 1 + — ((1 ( „,) — (7 (г„,)) (о„(о,— Из-за последнего члена в правой части этого равенства спнновые функнии (147,3) — (147.6) больше не являются собственными функциями оператора энергии взаимодействия; именно этот член в энергии взаимодействия и вызывает орта — пара-переходы. 1Ч. Многочастичные задачи А. Малое число частиц Задача 148.

Две отталкивающиеся частицы на окружности Две одинаковые точечные частицы находятся на гладкой окружности радиуса г и взаимодействуют по закону У (ф„!р,) = 1~„сов (ф,— ф,), (148. 1) Решение. Уравнение Шредингера Ь ~д1и ди~ — ~,, ~ —,+ —,)+р, ов(ф,— ф,)(у=Е (у (148.2) З дф,' допускает разделение переменных, если перейти к новым координатам 2 (ф~ +ф~)' ! (148.3) описывающим относительное н „абсолютное" движение частиц. Действительно, подставляя выражения д д ! д д д ! д — = — + —— + дф, ди 2 др' дфй да з д)3 в уравнение (148.2), приходим к уравнению Ь ГдО !ди! — ( — + — — )+Р сова (у =Е У тг' ( да' 4 дР2) о > решение которого можно искать в виде (у(а, р) =и(я)о(р). Теперь мы имеем Ь Ри — — — + 'г' сова. и = Е и тки дих е а' (! 48.4) (148.