Fluegge-2 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 7

задачу 150): ( — о е -1- )е, + (ееТ „— Е) еР = О. поэтому интересуюшая нас собственная функция полного момента принимает вид ф=-1(г) У, .)(,, +й(г) ()', .)(„, + Р 3);,,уи„+)с'~',,~, (144.5) Выражение, стояшее в фигурных скобках в равенстве (144.5), в точности совпадает с одной из комбинаций сферических гар- моник и спиновых функций, полученных нами в предыдущей задаче (см. первую из формул (143.9)1, поэтому мы можем записать нашу волновую функцию в более компактном виде: ф = (~ (г) + — ~с5д (г) Трв) )(... (144.6) Займемся теперь условием нормировки. Из равенства (144.5) непосредственно следует В ) г' (1'е + 10йн) с(г = 1, о Для дальнейшего удобно перейти к новым радиальным функ- циям, положив 1 ( (г) = фз (г) соз ео, Ы (г) = = — ерр (г) з1п ео, (144,7) 46 111.

Частицьг со саином. Б, Дарх. и трехчастичные тгдачи Таким образом, получаем ( — Рэ+У вЂ” Е)созвчйз+1 — ( — Рэ+У,— Е) Х е 12 У2 Х згпвчрр+Угсозвэрз~ Тг»+ ~~у ! в'рр»» )(ьэ (144 10) — У з)п Т ! =О. Оператор Та», если он действует на триплетную спиновую функцию )(т, можно линейным образом выразить через оператор Тр„! а»™ (, 9 3 г») )(г' /3 2 (144.11) В этом нетрудно убедиться, воспользовавшись справедливым для одно- частичных спиновых состояний тождеством '(й)--'.'(р)=(:; - .".~"') ~") Отсюда следует, что Бе=1, н поэтому (1 !' 5р»=~ —,(а, г) (а» г) у =1.

Кроме того, мы уже знаем, что (а„а») у! =Х! (см. стр 36), следовательно в полном согласии с (!44.1!) имеем 1 Уэ 2 1 !9 2 / 1 ! таэ»=~3 У =1 — Б + = — — — ~т »» 3) 3 Р» 9 9 3( Р» 3)' Теперь уравнение (144.10) можно записать в следующем виде: ( созв ( — аз+ У,— Е) эра+2 1 2 3!п вУгчрр~ )(т,,-(- + ~з!п в ~ — ( — Рэ+ У,— Е) — — Уг~ ~р + 3 1 21'2 У2 +сов в Угчрл~ Тр»у,, = О. (144.12) Оператор Тг», стоящий здесь после второй фигурной скобки н действующий на функцию )(т „порождает только члены с 1=2, ортогональные членам с 1=0, собранным в первой скобке, что позволяет разбить уравнение (144.12) на два отдельных радиальных уравнения: соз в (тз + — тз + (Š— У,) эра) — з1п в утчрр — — 0 (144,13) 2 6 2 з!п со ~чрр + — чрр — —, чрр + ( Š— У, + — У! ) чрр~ — созв Угар =О.

(144. 14) Это и есть искомая система дифференциальных уравнений. 1ед, Электриееекий кеадруаольнмй и маги, диоольный моменоол дейтрона 47 Задача 146. Электрический квадрупольный н магнитный днпольиый моменты дейтрона Считая заданной волновую функцию дейтрона, определенную в предыдущей задаче, а) вычислить электрический квадрупольный момент дейтрона и выразить его через интегралы Ю Ю А= ~ фзфрг" е(г, В= афпг'йг1 о о (145. 1) б) найти среднее значение магнитного дипольного момента дейтрона. Решение а. Тензор квадрупольного момента (см.

задачу 61) в данном случае имеет вид 1 1;1 м — — — (Зхьть — г'6,„). В первоначальное определение этого тензора множитель '/е не входил. Появление его здесь объясняется следующим. Так как нейтрон не несет электрического заряда, то вклад в квадрупольный момент дейтрона дает лишь один протон, радиус-вектор которого относительно центра масс равен '~,г. У дейтрона в состоянии с М,= 1 распределение заряда аксиально симметрично относительно оси г, поэтому усреднение компонент тензора квадрупольного момента по углу ~р приводит к соотношениям Оке= <)ее= Юьл=О, 1к1„~=фее= — ь фее. (145.2) Следовательно, нам необходимо вычислить лишь среднее значе- ние оператора (;1„, которое определяется формулой <Я„) — ) Я„(фрее(т — — ) гь(Зсоз'6 — 1)(ф!ьйт= ) ге У ( к ( ь 1 /4ий (145.3) Подставляя сюда волновую функцию дейтрона, найденную в предыдущей задаче, ф=созтф (г) )е, „у,,+ 1 те1оь)о(г) () е ьХь ь +)' Зуь, ьХць+) 61 е,ь)(, ) (145 4) 48 1П.

Частицы со саином. Б. Доах- и азрехчасзаичизче задачи и учитывая ортонормированность спиновых функций, получаем м !ч о +з(п'в ~~(3) У,,('+6! У,,)')~ з(11. В этом выражении член, содержащий зрз, исчезает благодаря ортогональности сферических функций. С произведением фзфо связан тривиальный интеграл уз У... ( 1',, ( ' с(12 =- = . Несколько труднее вычислить три оставшихся интеграла, связанных с фа, Мы приводим лишь окончательные результаты: фУ,,(У,, ('с(14 = — )сс —, ф ! Г 3 зз( зч) 71 4 (145.5) Собирая вместе все эти соотношения, приходим к следующей простой формуле: 1 ! <!сзз> = —,— А соз аз з(п в — ~ ~ В з)пз оь (145,6) з )с2 б. Магнитный дипольный момент складывается из спиновой части, ррор, + роо„„ и нз орбитальной части, вклад в которую, разумеется, дает только один протон.

Компонента орбитального момента Ь, для рассматриваемой двухчастнчной системы дается выражением ~,=т(.й-,;+ —,„) ' оба слагаемых э!ой компоненты вносят одинаковый вклад в ор- Если в процентном отношении примесь 0-состояния к 5-состоянию мала, то малым будет и параметр в. В таком случае второй отрицательный член в формуле (145.6) будет играть роль малой поправки по отношению к положительному первому члену и величина <Я„> окажется положительной. Это означает, что дейтрон обладает вытянутой формой вдоль оси г.

Последний вывод подтверждается экспериментом. !45. Элентринегкий наадруаалоный и магн. диаолоний мамонта дейтрана бэ битальиый момент относительно центра масс. В магнитный же момент вклад дает только первое слагаемое, поэтому в выражеиие для магнитного момента оператор Е, войдет с множителем 1!,: е 1 И б=— пр ра)а э г' Среднее значение з-компоиеиты магнитного момеита определяется формулой <р> = ~ фл (ррор, -1- роопг+ р, б) фб(», (145.7) средние же значения двух других компоиеит равны нулю. Применяя операторы ор, и оог к триплетиым спииовым функциям, получаем соотношения )рогХ1, 1= Хь 1 олгХ1,1= Х1, 1 оргХ1, о Хо. о )тпгХь о Хо, о (145.8) ор Хь , = — Х, „ о„,кь , = — Х, Поэтому, кратко записав дейтроииую волновую функцию в виде )р = цХь 1+ "Х1, о+о)хь -1 получаем <р> = ~ (цокь +сок', о+яК:.

— )(рр (цХ, + оՄ— орхь —,) + +ри(цк1,1 — ох.,„— ох,,)+(л.,б(их,,+ох, .+)ох), 1))б(». С учетом ортоиормироваииости спииовых фуикций последнее выражение принимает вид <Р> = ~ (Ц Ф р+)Лп+ (горб) Ц + О Рорбп+ЦР ( (Рр Рп + Рорб) И))'11»' Далее (см. формулу (144.5)1 имеем И=)Р оо+й) го О=~ 8Ф г, О)=~ 55) 11) поэтому Е,и=О, Л,о=р)о, йр)=25»о и, следовательно, <р> = ) (((р + р о) (цо — и ' ) + — ( ' + 2 то) ~ б( = 40 О =)Р г,)~ 'О' ) г' — 11)г .).— ) ')11 .).1.61*)г о Заменяя в этом выражении функции / и д нормированными функциями п))й и 1))о, согласно (144.7), и беря в качестве еди- я !!!. егостинм со сионом. Б. Двух- и трехчостичнмс задачи ницы ядерный магнетон, еЬ((2епс), приходим к формуле 3 .

! ! 3 (Р)=(Рр+)зз) — ~ з(п'оз( Рр+)зз — ~ ). (145.9) Таким образом, поправка к магнитному моменту, обусловленная примесью 0-состояния, оказывается второго порядка малости. Его г-компонента, очевидно, имеет следующие собственные функ- ции: у (з!з) = а,а,а„ Х(з(з) = Ааза,()в+ВазР,аз-(-СРзаза„ Х ( — 'е'з) = 0зйзбз. (146.2) В качестве аргумента функции Х мы указываем соответствующее собственное значение оператора 3, а единицах Й. Собственные значения '1, и — з!', трехкратно вырождены. Чтобы устранить указанное вырождение, перейдем к рассмотрению оператора Зз=( ~ ) (о,+~,+~,)'= = ( — ) (9+ 2 (о, «,) + 2 (о, и,) + 2 (о, и,)).

(146.3) В задаче 140 мы показали, что (о, пз) а,а,=а,а„ (оз о,) а !3, = 2(3,аз — азр„ (о, и,) !3,а,= 2аз()з — (),а„(оз о,) рзрз=(Ц3„ или, более компактно, что оператор Х„= — (1+и, о,) (146,4) просто взаимно заменяет спиновые состояния частиц ! и 2: ВззХ(1, 2) =Х(2, 1), (146.5а) Другими словами, мы имеем Е„аза,=азаз, ХззазР.=Рза, и т д (146.56) Задача !46.

Спиновые функции трех частиц Получить собственные функции операторов 3, и Я для системы трех частиц, обладающих спином з/,. Решение. В данном случае оператор суммарного спина можно записать в виде о = З (из т пз + цз) $ (146.! ) И6. Саиноеззе цзуихции езрех засешц По этой причине оператор (146,4) называют обменным гпцноеым операгпором для частиц 1 и 2.

Теперь мы можем выразить оператор (146.3) через такие обменные операторы: 5*=(3) Р+4(Езз+Хзз+Хзз)). (146 6) Действие этого оператора на первую и четвертую спиновые функции сразу же дает 5зт, ('/з) = ( 3 ) 161(('/з), 5з1(( — з/з) = ( — ) . 16т ( — з/,). (!46.7) Таким образом, эти две функции уже сами по себе являются собственными функциями оператора 5' и принадлежат невырожденному собственному значению 5 (5+ 1) = "/„или 5 = '/, В векторной модели они соответствуют параллельной ориентации всех трех соннов по нли против оси г.

Не так просто обстоит дело с функциями, принадлежащими вырожденным собственным значениям '/, и — '/,. Действуя оператором (146.6) иа функцию у(з/з)„получаем 5х(/)=~ ~)*(йх(/)+ + 4 [Аа,изр, + Вр,и,из + Са,р,а,1+ + 4 [Аи,р,а, + Ва,а,р, + С!),а,а,1+ + 4 [АРзизиз+ Вяз!)лаз+ СазазРз1) = = ( — ) ((7А+ 4В+ 4С) ази,йз+ (4А + 7В+ 4С) аз(),а + + (4 А + 4В + 7С) л1,язиз)- С другой стороны, 5зх ('/ ) =зз 5(5+ 1) (Аа и Рз+ Вазр а, +Суза и,), и мы приходим к системе трех линейных однородных уравнений." 7А+4В+4С=45(5+1) А, 4 А + 7В + 4С = 45 (5+ 1) В, (146.8) 4А+4В+ 7С = 45(5+!) С. Условие обращения в нуль определителя этой системы дает нам кубическое уравнение для собственного значения 5 (5+ 1).