Fluegge-2 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 10

Что же касается потен- д и, дк, М д озз дк, М д д д — + —— дХ ди до ' д д дХ до ' — + —. НУ. ТГмхотомнил линеднил молекула циальной энергии, то при таком преобразовании она не меняется: иг ! ог — и'г 1 о'г Уравнение Шредингера в новых переменных принимает вид -Г, И' дг . дг 1 — — г!( — + — !~сов'а „вЂ” 2соваяпа,,+яп'а 2 1(, т, т,,)(, ' ди * ди'до' до'г 7 дг , д' +( — + — ) ( з1п'а —,+ 2 сова япа,, + созга —, )— ди'до' до' ) 2 Г . д' .

де д' — — ~сов а з(п а —,-1-(сов'а — зш' а),, — соз а яп а —,7!1 -1- тг ди г ди'до' до ~ + 2 7 (и" + о") — Е ~ Ч" = О. (149.5) Члены со смешанной производной исчезнут, если положить ( ! ! 'г . 2 — — — ) вгп 2а= — сов 2а, тг т,) т, или 2т,т, т,(т,— т,) (149.6) Введя массовые константы А н В, определяемые соотношениями / ! — =- ( — + — ~ сове а — — сов а яп а + ( — -+ — ) яп' а, А ( т, т 7 тг тг ) — = ~ — + — ~ в!п'сг+ — сов аз1па+ ~ — + — 1сов'а, д (,т, т, 1 т, (,пгг тг ! (149.7) Ч" (и', о') =-гр(и') ф(о'), Е= Ел+Ел, (149.9) и мы получаем йг гнф и' + 2А ди'г 2 4 йг дгф + 2 !о гф = Ев'р. 2В до'г (149,10) мы можем придать уравнению Шредингера значительно болев простой вид: йг дг ! ., ! Г Ьг дг ,,+ )и"~ +~,—,—,,~-,1'1 =-~~.

(~Е~,Й Теперь переменные разделяются: 64 т"т'. Многочастичиме задачи. А. Малое число частиц Ел=лгал(вл+ 2)' атл=Р 1!А; ВВ = ЛСОВ (ЛВ+ 2 ) и',В = т' 1/В (149.11) Равенства (149.6) и (149.7), позволяющие найти константы А и В по известным массам, совместно с равенствами (149.11), определяющими энергии н частоты колебаний, полностью решают поставленную задачу. Теперь мы более подробно проанализируем нормальный случай, когда еп, =т„ (в состав молекулы входят одинаковые изотопы кислорода). В этом случае, как следует из формулы (149.6), сх = я!4 и для констант А и В мы, согласно (149.7), получаем ! ! ! ! 2 — = — +— А т, ' В лц т, и, следовательно, атв= 1+2 — 'отл, тэ оэл -— — )с )!о~, (149.12) Так как частота отл не зависит от тн, то отсюда можно сделать вывод, что при колебаниях с такой частотой атом углерода остается в покое. Поскольку, кроме того, центр масс молекулы 0 С 0 ° -~ ° -ч-Е а 0 С 0 ° -э б Фиг.

62. Даа нормальных колебания молекулы СО,. Пореречние колей»не» н этой эна»че не рессинтрнееютс» предполагается неподвижным, то колебание рассматриваемого типа должно быть симметричным, что схематически изображено на фиг. 62,а. С другой стороны, колебания с частотой отв, в которых принимает участие и атом углерода, как можно показать, являются антисимметричными (см. фиг. 62, б). Чтобы выяснить, чтб соответствует этой классической картине нормальных колебаний в квантовой механике, рассмотрим свойства волновых функций (149.9). Волновая функция основного состояния (нормировка произвольная) имеет вид тр (и', в')=ехр ! — — тли"1! ехр ! — ыв о"! (149.13) Энергетические уровни этих двух гармонических осцилляторов мы можем написать сразу (см.

задачу 30): Иу. т)»ехал»омнал лакеакал молекула где и' = = (х,— х, — 2а), о' = = (х»+ х» — 2х,). (149. 14) 1 1 Оба сомножителя в (149.13) имеют резкий максимум соответственно при и'=О и о'=О. Таким образом, нулевые колебания совершаются вблизи положения х, +х, = 2х, (при этом атом углерода находится точно посередине между атомами кислорода) и вблизи положения х,— х,=2а (т. е. расстояние между атомами кислорода равно 2а). Мы видим, что наиболее вероятное положение атомов в основном состоянии молекулы как раз совпадает с нх классическим равновесным положением.

Рассмотрим теперь первое возбужденное состояние колебательной моды А. В этом случае к волновой функции Ч'е добавится лишний множитель и'. Так как функция 1 ф (и') = и'е где 1=в лео е имеет два экстремума противоположных знаков в точках и'= ~1-н», то теперь наиболее вероятные положения атомов определяются условиями х,— х,— 2а=4- 1/ —, х,+х,— 2х,=О. (!49.15) Классическим аналогом наиболее вероятного положения осциллнрующей частицы являются точки поворота„вблизи которых частица проводит наибольшую часть времени. Таким образом, два значения и' в (149.15), отвечающие экстремумам волновой функции, соответствуют чему-то вроде амплитуд классических колебаний. Условие о'=О показывает, что атом углерода, вероятнее всего, располагается как раз посередине между атомами кислорода, расстояние же между самими атомами кислорода попеременно то увеличивается, то уменьшается, как это схематически показано на фнг.

62,а. Если же возбуждена колебательная мода В, то положение экстремумов волновой функции определяется соотношениями х,— х,— 2а=О, х +х,— 2х = ~ "1е — р= —. (149.16) -/ 2 В»ов » е 1/ Мы видим, что наиболее вероятное расстояние между атомами кислорода (х,— х,) остается, как н прн равновесии, равным 2а, причем сами онн сдвигаются то влево, то вправо по отношению к атому углерода, что схематически показано на фиг. 62,б. 3 еа ыга 66 Лг.

Миогочааиичиые задачи. А. Малое число частиц Задача !50. Движение центра масс В классической задаче многих тел движение центра масс отделяется от относительного движения, если в системе действуют только одни внутренние силы. Показать, что такое отделение возможно и в квантовой механике.

Специально рассмотреть случай двух частиц. Решение. Мы начнем с гамильтониана системы из гч' частиц, на которые не действуют внешние силы: гг и и Н= — —,~ — Ро+ —,~ ~ Угч(х; — хч, д,— Ух, гг — г ) (150.1) е=! ' е=! е=! и заменим Згчг координат хе, уе, г! координатами центра масс Х, У, Л н координатами ал, Чл, ~л, определяющими положение частицы Х (Х = 1, 2, ..., Дг — 1) относительно частицы )ч'. Мы имеем ег л ! к~ Х= м г и!хе, М=~~' глг, (150. 2) е=! е=! $л =хл — хл, (Л=1, 2, ..., У вЂ” 1) и соответствующие формулы для У, Л, з)л, ~л. Использование этих координат, разумеется, нарушает естественную симметрию гамильтониана (150.1), так как частица !ч' искусственно выделяется из числа других частиц.

Из формул (150.2) легко получаются следующие операторные соотношения: — = — ' — + — о=1 2 ..., гчг — 1, д тч д д дх М дХ д д тгч д ч-ч д дхсч М дХ Ли д$л ' !ч л!-! з де ! !' тг„де тл дз де .). — — =.)'., — (,— * — +' лг + )+ т! дхз т! ( Ме дХе дХд$л дхле) е де ! ! д' д' где суммирование по греческому индексу проводится от 1 до )ч* — 1. Мы видим, что все смешанные пРоизводные д'(дХдч~л взаимно сократились и не вошли в окончательный результат. 1вО.

движение центра масс 67 Это позволяет разбить гамильтониан на две части: Н =Н,+Н„ где первая часть (150.3) (150.4) описывает движение центра масс, а вторая О .= — — е — 7'-~ — е е е 7„).~.е (авве) Ь( х ~х ~~ х а — относительное движение частиц. Входящая сюда потенциальная энергия ! е — ~~, рха(Ь, $ Чх Ч Ьх ~а)+~',)е (Ь Ч ° Ь) х (150.6) разумеется, также не зависит от координат центра масс.

Теперь уравнение Шредингера (Н,+Н)У=Е У допускает разделение переменных. Полагая У = р(Х, У, 7) и(Ь„Чх, Ь)' (150.8) получаем ле — — у'~р= Е„р, 2М Н,и =Е,и, Е, -1- Е, = Е. (150.9) (150.10) (150.11) Решение уравнения (150.9) имеет вид плоской волны: йаКе (150. 12) где Я вЂ” вектор с координатами Х, У, 2. Полученный результат находится в полном соответствии с классическим законом движения центра масс: центр масс движется как материальная точка с массой М и постоянным импульсом йК. Характер относительного движения частиц определяется уравнением (150.10) и совершенно не зависит от движения центра масс. Наличие в выражении (150.5) третьего члена препятствует дальнейшей факторизации функции и($ы т)ы ~х) Только в двух- частичной задаче, когда %=2 и е.=р= 1, часть гамильтониана, связанная с относительным движением, упрощается и принимает 68 ПД Многочосшичные задачи.

А, Малое число часшии вид Н,= — — ~ — 91+ — „, Р,'~+Утз(й„т)т, ~ ) (150 13) Вводя сюда приведенную массу пт*, определенную, как и в клас- сической механике, соотношением 1 1 1 — + — = —. и и ш" (150.!4) и опуская индексы в обозначениях относительных координат и потенциальной энергии Утю мы приходим к уравнению лз — „у'и+УЙ, Ч, ь)и=Еги, (150.15) представляющему собой уравнение Шредингера для эквивалент- ной одночастичной задачи.

Сравнивая для примера частоту красной линии Н„(л=3- н'=2) в спектре атома водорода бш ез ч(Н )= —— 36 28 ай с частотой соответствующей линии в спектре атома дейтерии 5 шоьл ч(17 )= —— 36 2йзй н учитывая при атом, что Мр и 2Мм, мы для разности частот получаем шо-тн ш т(1З ) — ч(Н ) —, т(Н ) = — т(Н ).

шн Указанное различие не очень трудно обнаружить. При длине волн!а 6563 А оно составляет 4,12 см-'. Тяжелый водород был открыт Юри, Брикведде и Марфи в 1931 г., наблюдавшими у линии Но в спектре естественного водорода слабый сателлит В„Ягер, Зг1сйннг1г1е, Мнгрду, Рьуз. йеч., 40, ! (!932)]. Замечание. В задаче 67 мы рассматривали атом водорода в ранках одно- частичного подхода и считали, что ядро атома покоится. Согласно уравнению (150.!5), правильнее было бы вместо массы электрона т ввести приведенную массу ядра и электрона шч. Кроме этого, никаких других изменений, учитывающих участие ядра в относительном движении около центра масс, вносить не требуется.

Так как масса ядра М значительно больше ш, то вместо равенства (150.14) можно пользоваться приближенным соотношеннем 1дд Теорема еириала Задача 151. Теорема вириала Доказать, что для любой квантовомеханической системы частиц, удерживаемых вместе кулоновскими силами, справедлива теорема вириала: 2Е„„, + Е„„„= О.

Решение. Волновая функция системы 1Ч частиц с массами т! и электрическими зарядами с! удовлетворяет уравнению Шре- дингера а' ее !е — Х=,' Ч'+з ХХ вЂ”... Ч'=ЕЧ' е=! е=! л=! и емл! (151.1) и условию нормировки ~ пт, ~ бт,... ~ Ч ЧЧт„- 1. (151. 2) Средние значения кинетической и потенциальной энергий системы в состоянии Ч' определяются формулами — — — 3 еет! 3 е(те... ) Ч'*71% е(тли (151.3а) е=! Е„„,„= —,л ~Ч' ~, есауле(т,~с(те...