Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 7

Воспользоваться формулой г(г+1+ — ) г(г+1 — — ') задачи 8. Определить в борновском приближении дифференциальное и полное сечение рассеяния в поле а) (У (г) = йе б) (У(г) =ЕУое- "', в) (У(г) =- (Узе-"'. 9. Используя борновское приближение, найти дифференциальное и полное сечение упругого рассеяния быстрых электронов а) атомом водорода; б) атомом гелия. 10.

Рассмотреть столкновения одинаковых частиц с энергией взаимодействия (У(г). Найти эффективное сечение рассеяния медленных одинаковых частиц в случае кораткодействующих сил. 11. Рассчитать сечение упругого рассеяния электрона на электроне и а-частицы на а-частице. 12. Рассеяние нейтронов на протонах зависит от суммарного спина нейтрона и протона. При малых энергиях сечение в случае триплетного соотношения (5=1) равно ач'""." =.

4я )Д ~з — 2 ° 1О сма, а в случае синглетного (Я=-0)Фипгл= 4я ! У ~а 78 ° 10 с.ве Введем оператор у =- У + У „У вЂ” У- (; й ). 4 4 Как легко видеть, в случаях трнплетного и синглетного состояний его собственные значения равны Уз и У; соответственно. Для того чтобы определить сечение рассеяния при произвольной поляризации нейтронов, необходимо усреднить оператор Уе: е =- 4яуз. Пусть спиновое состояние падающих нейтронов описывается /е ысозр~ функцией ~ . ( (направление спина нейтрона задается ~ е'"сйп р,/ полярными углами Й=-2~, Ф=-2а+-,-'; см. задачу 11 й 4), 2 ' У'1'~ а спиновое состояние протонов функцией ~ ) (спины протонов направлены по оси г). Определить для этого случая сечение рассеяния нейтронов на протонах.

Рлссяяния 13. Найти вероятность того, что рассеянный на протоне медленный нейтрон изменит ориентацию своего спина, если до столкновения спины нейтронов были направлены по оси г, а спины протонов †противоположном направлении. 14. Амплитуда рассеяния мелленных нейтронов с энергиями заметно меньще тепловых (Х ) 10 сж. т. е. длина волны падающих нейтронов велика по сравнению с взаимными расстояниями протонов в молекуле) на молекуле водорода равна сумме амплитуд для обоих протонов. Таким образом, у у1+Зуз+)ъ+Ь ~" (" +" >) Протоны в молекуле водорода могут находиться как в состоянии с параллельными спинами (ортоводород), так и в состоянии с антипараллельными спинами (пароводород).

Определить сечение рассеяния нейтронов на пароводороде и ортоводороде. 1б. Определить полное сечение упругого рассеяния непроницаемой сферой радиуса а для быстрых частиц (длина волны де Бройля )(~(а). 16. Локазать следующие свойства амплитуды рассеяния при энергии Е-+0 (длины рассеяния): а) в поле отталкивания длина рассеяния отрицательна; б) в поле притяжения, если нет дискретных уровней, длина рассеяния положительна; в) длина рассеяния обращается в со, если при углублении потенциальной ямы появляется новый уровень.

Указание. Если от уравнения Шредингера перейти к эквивалентному интегральному уравнению (Е= О) ф= 1 — —, ~, г(т', Г (у (г') р (Г) 2яйв .) 1г -- г'1 то для асимптотического вида ф получаем Ф=1+ —. а г ' где длина рассеяния а= — — ~ у1(/г(т Г 2кйз ~ выражена через потенциальную энергию и фл я. зхллчи 17.

Рассмотреть упругое рассеяние частиц со спинам >/я на скалярной (спин равен нулю) частице. Найти дифференциальное сечение рассеяния с переориентацией спина. Рассмотреть рассеяние 8 и Р волн. 18. Доказать, что в общем случае неупругого рассеяния имеет место следующая формула, связывающая величину полного сечения а=-п, р+е„„рпр и амплитулу упругого рассеяния при О = О е = — 1п>ДО). /г Указание. Воспользоваться разложениями этих величин в рялы по орбитальному моменту: У(й)= ~,~,~~(21+1)(Ъ вЂ” 1)Р (стжй) 3-0 'гпр= — лп,'~~Ф+ 1) ~1 — ЪР, г=о и> епетпр ~ (21 + 1 )(1 ~ тя >Р) 19.

Рассмотрим предельный случай так называемого ччерногоп ядра. Радиус ядра 11 пусть будет велик в сравнении с де-бройлевской длиной волны нейтронов. Будем считать, что все нейтроны, попадающие в ялро, поглощаются. Определить полные сечения рассеяния и поглощения. 20. Рассмотрим ялерную реакцию А+а- С- В+Ь.

Как будет выглядеть угловое распределение пролуктов ялерной реакции в системе центра инерции или, что то же сачое, в системе промежуточного ядра С в нижеперечисленных случаях. Если равен нулю: а) спин промежуточного ядра„ б) орбитальный момент относительного движения проауктов реакции; в) орбитальный момент относительного движения сталкивающихся частиц (спин промежуточного ядра не равен кулю). влссвяние /1 1 ега ~ 'й<- — по) 21л —;,).

Здесь ко принимает значения: л;==- 1 для и+-мезона, т„. =О для ио-мезона, пг=- — 1 для к--мезона, о1п — 1) = р,, о (и) = 'Ро 61я+ 1) =.- с~ принимает значения: 1 т, — — — для протона, 2 1 -, = — — для нейтрона, 'Ф 2 о(а — — ) = ф„. '(.+й=-' Разложить падающую валку по собственным функциям операторов .1е, .1„Р, У,. Уьазпние. В системе мезон — нуклон интегралами движе- ния являются четнзсть 1 — 1)', полный момент Л изотопиче- ский спин 1. 1 Так как полный спин з такой системе равен —, то 2' сохраняется также и орбитальный момент 1. Поэтому при разложении падающей волны по собственным функциям опе- раторов сохраняюгцнхся величин можно вместо суммирова- ния по 1.;1 суммировать по 1, У.

23. Найти амплитуды рассеяния я-мезонов на нуклонах, выраженные через фазы, для следующих реакций: и++1 -к++р, и — +р-+я +р, +р яо я) См. приложение П. 4 зз . газ и. и„гю анон, в, д Ке ченцов 21. Найти собственные функции операторов квадрата и проекции полного изотопнчзского спина 1з и У, системы нуклон — мезон о).

22. В системе центра инерции рассеяние мезонов на нуклонах сводится к рассеянию частиц на неподвижном рассеивающем центре. Тогда вдали от центра падающая волна с определенным значением проекции спина 5, и проекции изотопического спина т, запишется в виде ЗАдАчй 24. Показать, что амплнтуды рассеяния для всех воз- можных реакций мезона с нуклоном выражаются через на- писанные в задаче 23 в силу гипотезы об изотопнческой ннвариантностн. Выразить их через амплитуды рассеяния для состояний с изотопическнм спнном в/ и '/ . 2б. Выразить через фазы полные сечення реакций: и++ р-ь па +Р, и-+Р --+р, +р -ь по+ и, 26. В области малых энергий, когда длина волны мезона значительно больше радиуса сил взаимодействия между мезоном и нуклоном, основной вклад в рассеяние вносят лишь 8- и Р-волны.

Найти дифференциальное сечение рассеяния, выраженное через фазы, для реакций: я +р-+к +р, -+Р -+' +Р и +р — Фаз+и 27. Пучок и-мезонов рассеивается на неполярнзованной мишени из протонов, т. е. в мишени число протонов с Я,= — '/з равно чнслу протонов с 5,= — '/з. Оказывается, что при рассеянии неполярнзованные вначале протоны поляриауются.

Определить величину поляризации протонов, учитывая только Я- н Р-волны. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ $1. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СПЕКТР ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ ФУНКНИИ 1. та111, Г 2 . вл Еи= — аа, т1' (х) = ф' — 51п — х. 2ра~ ' " У а а 3. ра 4авха 1 сова — при а нечетном, 211 ~ а(р) ~а — рваз,11, ра ( — — паев~ Мпе — при и четном. ь ) 2)) Вводя обозначения 3' 2Н (К1 — Е) ')р — 2ИЕ р 2И (К1 — Е) Я1 = 11 " Ь ' 11 а= ве =-- находим, что общее решение в каждой области имеет сле- дующий вид: йаан1 2)1 ахе , +(Е 1/И=О 1 —,' " Я+Ц=-О й1 атр — — ' + (Š— ЧД (1 = 0 2р. иха ф = А,е-ч +-В1е" ф=Ае- +Ве" ф =- Аве-'~ '+ Еве~т (х(0), (О <.

~а), (х ~ а). (х ~ О), (О ( х С а). (х' а). ответь1 и Рз швний РаССМОтРИИ ДИСКРЕтЯЫИ СПЕКТРЕ С, $1х. ТОГДа Х, И Рх — ДЕйствнтельные величины. Полагая в области О < х < а х =. га, где Й вЂ” действительно, запишем решение в виде ф = з1 и (Йх+ В) (О ( х ( а). В силу конечности волновой функпии А,=О, Вх=О- Дф Условие непрерывности ф и — удобнее записать как ах 1 Л6 условие непрерывности логарифмической производной — — ' ~) ал хг=йс18В, — х = йс18(да+В).

Перепишем последние два условия, выразив х, и хх через Й 2~"" — 1 = с18 В, ЬФФ вЂ” ~/ Я вЂ” 1 = с1гг (да+ В). Поскольку с1и является периодической функцией с периодом и, величину В и ма-+ В можно представить в следующем виде: йд- В == агс яп — + пгп, ргдр д г' 2р'х'г йл Фа+В= — агсяп — +л: г. Р .. 1а 1/ 2рггя Причем значения агс з1п лежат в области от О до —. Исклю- 2 чая В, находим трансцендентное уравнение для определения уровней энергиИ з дискретном спектре ЬА . Ы Фа = пгг — агс яп — агс яп а =- = > О. )г2РРг )г2, 1; ' й Значения й, удовлетворяюшие этому уравнению, удобно находвть графически. Эти значения определяются точками пересечения прямой у —.— ай и кривыми м .

Вл у=-пн — агсяп — агсяп (см. Рис. 18). У 2РРг )г2РХх % 1) одномвгнов движения Рассмотрим симметричную потенциальную яму Г1=$' =Ь'. Легко вилеть, что в этом случае при любых к' и а всегда имеется по крайней мере один уровень. Если — а~ 1, г'2Ф~ й то нетрудно найти значение единственного дискретного энерге' гетического уровня.

Производя разложение я — 2 агс 21п у У в рял, получим Е=~' —,—.,Ув. Число уровней при любых ил2 21й значениях Г и а будет равно И, где И находится из соотно- шения у'2рВ'а яй б. б) Собственные значения оператора П' всегда положительны. Поэтому если 6 — волновая функция, соответствуюшая состоянию с минимальной энергией, то Я+1Р)ф =О или ~ — +Я) фе — — О, гд Отсюда находим, что Р '~12 = Сев г. 1 ер — — — . 2 ' Таким образом, энергия осциллятора равна е„= н+ —, (и ~~ О), 1 а соответствуюшая волновая функция имеет вид о' 1)„= — А ( — — Я) е д() Нормировочную постоянную А„определяем из условия 11 1л(1;1)~Й',1 — -- 1. Дла основного состонниЯ ноРмиРовочнаЯ 1 постоянная А, равна ответы $! гашения ф.М) = с.(Π— 'Р)ф.—,ю) где с„ определяется из условия с,', [ (Я вЂ” 1Р) е„! Я) ) е сйэ = 1.

. д Заменяя Р на — 1 — и интегрируя по частям, находим: д!3 сэ ~ )„, (РЯ+ Яэ+ 1) 6„, й~ = с' ° 2м = 1, ! откуда с„= — н У2л ф =- с„[1~ — — ) )„, = а д'", =с„° с„„... с, ~Я вЂ” — ) фэ=А„(Я вЂ” —,) фш Окончательно получаем: л и Е ".=-,='.,Л(' — 4) ' ' Полипом степени н П„(Я)=-е' (9 — — ) е называется эолиномом Эрмита — Чебышева. в) Ф = — и (о')" Ф ' а а+ — ач-а = 1; г) (Р ( !())э . [(р ц)н ~'= 2н. Волновые функции ф„выбраны нами действительными, по- д этому матричные элементы !) и !Р= — будут тоже де!1- д9 ствительные К>)„, =)/ 2 ° Гп Волновую функцию л.-го состояния можно выразить через волновую функцию л — 1-го состояния следующим образом: 5 1) одномягное даижвнив или, возвращаясь к прежним переменным.