Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика.djvu), страница 3

Геометрически распределение (!.3) можно истолковать как вероятность попадания некоторой частицы в элемент объема Й'г' = йхг(уг(г вблизи точки с координатами х, у, г в условном пространстве, где по осям декартовых координат откладываются значения трех указанных величин: х, у и г. 1.5.

Гауссовский закон распределения вероятностей Функция плотности вероятности 1'(х) =- сопз1 е "" (1.4) называется функцией Гаусса или нормальным законом распределения. 1В Нормированное распределение (1.4) записывается в виде 1 Ьх* з ьм д(р'(х) = —: е ~"'йх; Лх = х — х, )' 2~тьхз (1.6) 1,6, Теорема об относительной флуктуации аддитивной физической величины е, Ч ъ Пусть закон распределения вероятностей для состояний всей системы и ее подсистем один и тот же. С каждым состоянием указанных объектов связывается определенное значение величины Ь. Так как 7. = ~7.~, то У 7.

= ~~" Хл. (1.6) Найдем теперь среднее квадратичное отклонение б„. Рассмотрим сначала систему, состоящую из двух частей: Л7,з = (А (Е, + (,з))' = К(.', + 2Ы гЫ г + Л7.з~ Вследствие независимости подсистем ЫтА И = А(чй(.г. Но для любой случайной величины Я, = — (Š— Ц = О. Отсюда следует, что Яе,Я2 1 672 1 2' Обобщая зтот результат, для У независимых частей имеем л Л). = ~дЬ|. (1.7) з=! Допустим, что по порядку величины Хь и М' одинаковы для всех подсисзем. Тогда К и Ыа пропорциональны числу слагаемых в (1.6) и (!.7); Физическая величина называется аддитивной, если ее значение для сложной системы равно сумме ее значений для всех независимых частей. Относительная флуктуация величины Ь обозначается как и, .

Она равна по определению 1, йг Йз йг и, следовательно, (1.8) Итак, отклонения аддитивных величин от средних значений тем менее существенны, чем из большего числа независимых частей состоит система. 5 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ 2.1*. Вывод распределения Максвелла Основным понятием статистической физики является распределение вероятностей для различных состояний отдельных частиц или всей системы в целом. Для ознакомления с таким способом изучения систем, состоящих из большого числа частиц, воспользуемся максвеллов.

ской теорией идеального газа. Пусть каждая молекула представляет собой материальную точку массой т. Изменение скорости ее движения происходит вследствие упругих соударений с другими частицами. Поставим целью найти распределение вероятностей для скоростей частиц. Предположим, что все направления движения молекулы в пространстве являются равновероятными. Это утверждение вытекает из представлений о полной неупорядоченности движения частиц в равновесном состоянии газа. Допустим также, что все три проекции скорости о, о и о, представляют собой независимые друг от друга случайные величины.

Запишем распределение вероятностей для о„, о и и;. г()(у (о ) = / (о„) до, (2.1) с1)р' (о ) = / (з,) г(о„ (2.2) ж~ (о',) = / (,,),Ь,. (2.3) Отметим две характерные детали в этих формулах. Во-первых, плотность вероятности для всех проекций выражается одной и той же функцией / в силу их полного равноправия. Во-вторых, распределение вероятностей может зависеть лишь от модуля проекции, но не от ее знака. Молекулы со значением проекции о = 100 м/с должны встречаться столь же часто, как и со значением проекции о„= — 100 м/с. Поэтому аргументом функции / во всех трех формулах служит квадрат проекции.

Вероятность того, что молекула будет двигаться с некоторой скоростью о, равна вероятности того, что три проекции скорости примут соответствующне значения о„ о н о,. 1((Р' (о) = ЙВ' (о„, пг, о,). 12 Запишем распределение в виде е((Г(о) = Р (о„, и,, и,) е(п,«(и,!(п,.

(2.4) Вследствие равновероятности всех направлений движения функция Р может зависеть непосредственно только от о = о„+ от + о„но не л 2 2 от и„, о и о, в отдельности. (При иной, не симметричной зависимости от проекций формула (2.4) давала бы преимущество каким-то направлениям в пространстве.) Поскольку проекции о„, о и г» являются независимыми случайными величинами, по теореме умножения вероятностей «()Г (о, и, о,) = е(К (и„) «(К (о„) «(Ю' (о,) и, следовательно, Р ( ') = ~ (о.') 1 (и',) 1 (о!).

(2.5) Чтобы найти вид функций Р и 1, сначала прологарифмируем равенство (2.5): 1п Р (о«) = 1п ( (о„) + 1п )".(п') + 1п 1 (о,'), полученный результат продифференцируем по и„'. д 1и Р(п') = —— 1 дд д(о«) 1 де д(о«) Р д(о') д(о«) Р д(о«) Проекции скорости являются независимыми переменными, поэтому получаем 1 ~К 1 д) (') ! д(',) Равенство двух функций различных независимых переменных имеет место тогда и только тогда, когда они равны одной и той же постоянной.

Полагая ! дЕ 1 д( Р д (ы) ' 1 д (о») из решения полученных уравнений находим Р(о) = Ве ""; ~(ц,) = Ае В».. Очевидно, что р > О, иначе, чем больше скорость, тем больше была бы ее вероятность. Постоянные А и В определяются из условия нормировки, причем из (2.5) следует, что В = Ан. — а» Ае "«(и, = 1. Используя (П, б)', находим ' См, «Прнложенне». 13 А = ((1) Тогда распределение (2А) для скоростей примет вид ЫГ(о,, о, о,) = ~ — ) е "г(о„йп г(п„ / я ~зм (2.6) а распределения для проекций — вид ,(ф/(о ) = ' ' е- х,(п ах (,л) ~И'(о„) = ( — ) е ггпу~, 1 й ~ из — йРа с%'(о,) = ( †) е ' Ыи,. (2.7) (2.8) (2.9) 2.2'. Вычисление давления газа на стенку сосуда.

Физический смысл параметра (3 Рассмотрим упругое соударение молекулы со стенкой. При столкновении нормальная проекция скоростнменяет знак, а касательнаясохраняет свое значение. Если ось Ог перпендикулярна стенке (рис. 1), то оы "ы "а~ пы "зу п~т и, и оз есть скорость частицы до и после удара. Соответствующее изменение им- пульса йр = 2ти„й, (2.!О) где й — единичный вектор по оси Ог.

Прн каждом соударении стенка получает равное по модулю, но противоположное по направлению приращение импульса. Пусть оП вЂ” импульс, полученный стенкой площадью 5 за время М. Учитывая законы механики, имеем оП = РМ, где Р— средняя сила давления со стороны молекул на стенку. По определению Р отношение — есть давление.

6 0 Ряс. 1 14 Для полученных формул характерно наличие постоянного параметра который определяет число молекул с различными скоростями. Это специфическая характеристика состояния газовой системы. Ее появление связано с особенностями статистического метода исследования. Для выяснения физического смысла параметра распределения вычислим давление газа. Основная трудность расчета давления заключается в том, что молекулы имеют разные скорости. Если бы у всех молекул была одна и та же проекция скорости о„то можно было бы рассуждать так: за время Л( все частицы в слое толщиной о,Л1 дошли бы до стенки.

Их среднее число равнялось бы объему этого прилегающего к стенке слоя о,Л15, умноженному на плотность газа л, т. е. ио,Л(5. (Время Л1 возьмем настолько малым, что произведение о,Л1 будет меньше длины свободного пробега. Тогда столкновениями молекул друг с другом можно пренебречь.) На самом деле только часть молекул имеет заданное значение о,. В единице объема число таких частиц согласно распределению (2.9) будет равно да(о) = пййг(и,) = и( — ) е 'до,. ~р ьх з2 Л Отсюда среднее число частиц, имевших скорость о, и ударившихся за время Л( о стенку, равно г(п(и,) о,ЗЛ( = а( — ) е *о,ЯЛЫо,.

/ргп2 зз Частицы передадут стенке импульс, равный 2лгл ( ) е 'о,сЬ,ЙЙ. Проинтегрировав это выражение по о, в пределах от 0 до оо (молекулы, двигающиеся от стенки и имеющие о, < О, не учитываются) и разделив результат на ЯЛ1, получим: з 2 Р = 2та( — ) ~)о,'е Но,. о С помощью формулы (П.8) находим давление газа на стенку сосуда: Р= — = ви вМ зр 2ру Сравнивая это соотношение с уравнением Менделеева — Клапейрона Р7 = ~' КТ = й)т'Т, и устанавливаем, что 2зт (2,1 1) С помощью формулы (2.11) раскрывается физический смысл параметра р, входящего в закон распределения молекул по скоростям, а также выявляется статистический характер одной из основных термодинами- !б ческих величин — температуры.

Из сказанного следует, что температура есть особая мера интенсивности внутреннего движения: от температуры зависит, какая часть из всех молекул имеет те или иные скорости, а следовательно, и энергии. ут 2.3. Распределение Максвелла для модуля скорости. Энергия идеального газа Распределение вероятностей для скоро"к отей (2.6) допускает геометрическое истол.

Ри.2 ис. 2 кование: оно определяет вероятность попа. дания конца вектора скорости в элемент объема условного пространства скоростей, где по осям декартовых координат откладываются о„, о и ва (рис. 2). Перейдем к сферическим координатам о, 9 и ~р. и„= он!п О сов <р; оз =- аз!п 9 з!п гр; пе = всозО; 3 (""' ею "з) = пз з!п О д(е, в, ф) (мы воспользовались здесь формулой (П.!)). Распределение Максвелла по скоростям в новых переменных примет внд ц~ 1згз ЖГ(н, 9, ~р) = ( — ~ е пзз!пОгЬс(Ог(гр.