Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика.djvu), страница 2

Майера, Дж. Джоуля и Г. Гельмгольца было установлено первое начало термодинамики. Да.чее первое начало было обобщено и понято как всеобщий и универсальный закон природы — принцип сохранения энергии. Детальное изучение и анализ работ Карно привели Р. Клаузиуса в 1855 г. к открытию второго начала термодинамики. В его трудах на базе двух начал сложилась термодинамика как наука о законах движения и превращения энергии из одной формы в другую вообще и о качественном своеобразии тепловой формы движения материи в частности. Им были введены понятия внутренней энергии, энтропии, сформулирован закон возрастания энтропии.

Это позволило выразить основные положения термодинамики в математической форме. Дальнейшее развитие термодинамики шло по линии совершенствования ее методов и применения их ко все новым и новым явлениям. В 1848 г. В. Кельвин ввел представление об абсолютной шкале температур, В работах Дж. Гиббса, относящихся к 1875 — 1878 гг., был детально разработан метод термодинамических функций. В начале ХХ в. В, Нернстом было открыто третье начало термодинамики. Глубокому осмысливанию подверглись основы термодинамики и особенно второе начало. Параллельно с термодинамикой шло развитие молекулярно-кинетической теории.

Решающий шаг здесь был сделан Дж. Максвеллом, который впервые применил вероятностно-статистические методы для изучения движения микрочастиц. Большое значение имеют также труды одного из основоположников статистической физики Л. Больцмана, относящиеся ко второй половине Х1Х в. Выведенное Больцманом кинетическое уравнение для газа (!872 г.) позволило дать вероятностное толкование важнейшей термодинамической величине — энтропии.

Благодаря этому была вскрыта статистическая природа второго начала, открылась возможность статистического обоснования всей термодинамики. Наиболее общий и последовательный статистический метод, при. годный для изучения любых равновесных систем, был дан Гиббсом в 1901 г. С этого момента стало возможным широкое применение статистической физики для изучения разнообразных макроскопических систем. Существенные достижения в исследованиях свойств газов, твердых тел и жидкостей, равно как и в других областях, имели место после того, как в 20 — 30-х гг. нашего века была разработана квантовая статистическая физика. Наряду с равновеснымп системами изучались и неравновесные. Еще в начале ХХ в, в работах А.

Эйнштейна и М. Смолуховского были заложены основы теории флуктуаций и броуновского движения. Они сыграли важную роль в обосновании фундаментальных идей статисти. ческой физики, позволили выяснить границы применимости термодинамики. Позднее была детально развита кинетическая теория явлений переноса. В !931 г. Л. Онсагер опубликовал статью о соотношениях взаимности при необратимых термодинамических процессах.

Далее в работах Л. Онсагера, И. Пригожина и других сложилась последовательная макроскопическая теория неравновесных систем. В середине нашего века были разработаны весьма мощные статистические методы исследования необратимых явлений. Здесь важное место занимают работы Н. Н. Боголюбова, И. Пригожина, Р. Кубо и др. Статистическая физика и термодинамика интенсивно развиваются и в наши дни. Имеется значительный прогресс как в разработке основ этих наук, так и в разнообразных приложениях, которые охватывают все более широкий круг проблем. Получают решение задачи, которые много лет интересовали физиков и которые имеют большоетеоретическое и практическое значение.

Укажем, например, на успехи в теории фазовых переходов и критических явлений. Перспективны статистические и термодинамические исследования в области астрофизики и биофизики. Необходимо отметить заслуги отечественных ученых в развитии термодинамики и статистической физики. Среди важнейших достижений, которыми по праву гордится советская наука, можно назвать открытие явления сверхтекучести жидкого гелия П. Л. Капицей, труды Н. Н, Боголюбова по динамическим методам в статистической физике, работы Л. Д. Ландау и А. А.

Власова по физике плазмы, исследования Л. Д. Ландау по сверхтекучести и фазовым переходам второго рода и многие другие. Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 5 Е ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Исследование статистических закономерностей в системах, состоящих из болыпого числа частиц, производится с помощью математического аппарата теории вероятностей.

В связи с этим напомним чита. телю некоторые сведения из этой области математики. 1.1. Распределение вероятностей для значений случайной физической величины Вероятность есть мера возможности наступления или ненаступления какого-либо события. Это отвлеченное число. Оно может принимать значения от О до !. Нуль означает невозможность события, единица — достоверное его наступление. Как пример случайного события укажем выпадение того или иного значения случайной физической величины. Если спектр значений дискретен, то каждому значению х, приписывается определенная вероятность %'с Совокупность чисел Я7; представляет собой распределение вероятностей для значений физической величины х.

Для непрерывно изменяющейся величины х вводится понятие вероятности оВ' попадания в интервал значений Лх. Функция 1(х), аж' равная пределу Пт —, называется плотностью вероятности или дифь«сах ференциальной функцией распределения вероятностей. Из определения следует, что элементарная вероятность д(Р попадания в бесконечно малый интервал от х до х + ~(х равна саар 1 (х) дх. Через плотность вероятности легко найти вероятность попадания в конечный интервал от хг до хм 77 (х1 ~ х хз) = ~ ) (х) пх.

«, Распределение вероятностей удовлетворяет условию нормировки Е (Р, = 1 или Ц (х) йх = 1. (1.1) В тех случаях, когда важны только отношения вероятностей отдель- ных значений, можно пользоваться ненормированными распределения- ми вероятностей. 1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Вероятности сложных событий находятся через вероятности простых событий с помощью теорем сложения н умножения вероятностей, Вероятность )р (С) сложного события С, состоящего в наступлении любого из двух событий А и В, находится как сумма вероятностей Ж(А) и %'(В) событий А и В: К(С) = У (А) + кУ (В).

Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий, когда наступление одного из них исключает наступление другого. Примером является выпадение того или иного значения физической величины. Совокупность всех возможных результатов в какой-то последовательности событий образует полную систему событий. Сумма вероятностей всех событий, образующих полную систему, равна 1. (В этом и состоит смысл соотношений (1.1).) Вероятность )Р' (С) сложного события С, состоящего из одновременного наступления двух событий А и В, равна произведению вероятностей этих событий Я7 (А) н 1Р' (В): %' (С) = ))У (А) Яу (В). Теорема умножения вероятностей справедлива только для независимых событий, для которых вероятность наступления или ненаступления одного из них никак не связана с наступлением или ненаступленнем другого.

Наиболее частый случай ее применения — расчет вероятности одновременного появления заданных значений двух нли более физических величин. 1.3. Вычисление среднего значения случайной величины. Оценка разброса ее значений Среднее значение дискретно изменяющейся величины а вычисляется по формуле а = Е а,.))гь Для непрерывно изменяющейся величины среднее значение равно а = )'ай%' (а) = )'а1' (а) На. Соответственно среднее значение любой однозначной функции от а находится как или д (а) =- Я (а) 1 (а) да.

Если х и у — две случайные величины, а т — некоторое число, то для их средних значений справедливы следующие соотношения: у = у; ух = ух; (х + у) = х + у; ху = ху. Последняя формула верна только для независимых случайных величин. Среднеквадратичное отклонение случайной величины определя.

ется как Преобразуя это выражение, получаем б. = ~'Ы Ы. (1, 2) Эту характеристику будем использовать для оценки разброса значений случайной физической величины. 1.4. Многомерные распределения вероятностей Многомерные распределения вероятностей определяют вероятность одновременного попадания нескольких величин в заданные для них интервалы значений: ЫЯ7 (х, у, г) = ~ (х, у, г) г(хг(уг(г (1.3) Зная многомерную плотность вероятности, легко найти плотность вероятности для одной из исследуемых величин: ~р (х) = Ц( (х, у, г) дудг. Если х, у и г независимы, то функцию г" (х, у, г) можно представить в виде произведения одномерных плотностей вероятности: Г (х, у, г) = га (х) ф (у) д (г).