Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга.djvu), страница 7

Отсюда следует НЕ=гр+Т(да) )др+Т( ~~ ) 1Т, так что где использовано одно нз соотношений Максвелла из задачи 1.7, п. «а». Отсюда вытекает искомый Р результат. б) Из п. «а» и соотноп«ения Максвелла имеем а дд« Т (дв(дТ(р(др1ди(г — и(др1ди)г С р (др(йи) т Т(др(дТ)в+и (др(ди)г С,(др/ди)т Коли уравнение р = р (и, Т) ЛЬ и известно„то это соотношение .»иг. 1.(5.1. более удобно, чел«соотношение, приведенное в п. «а». в) Как показано в задаче 1.9, п. «г», имеем Тир — — — 1.

г) Исходя из соотношения 1=ОТ Ж) -"1 прямым вычислением можно получить требуемое выражение. д) Исходя из результата п. «г», получаем уравнение искомой кривой 2а За р«="$ е) Максимум кривой определяется условием Нр;(нр, = О, откуда получаем, что р, = р„= ЗЬ (фиг. 1.15.1). Соответствующее значение р« равно 2а За а Рм = —. ЗЬ» 96» ЗЬ» ' Отсюда следует, что рв» а 22»» — = — — =- 9. р, ЗЬ» а Закона гиериодинамини Кроме того, АТго = ( Ззз + — з) (ЭЬ вЂ” Ь) =9Ь и Тго 8а 27АЬ вЂ” = — — =3. г 9АЬ 8а ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ 1.16.

а) В элементарном процессе газ получает количество теплоты бг',7 при температуре Т. Показать, что для замкнутого цикла справедливо соотношение — ( О (неравенство Клаузиуса), з(г где равенство выполняется для квазистатнческого цикла. б) В общем квазнстатическом цикле газ, соьершающий работу, получает тепло при одних томпературах и отдзет тепло при других томпературах. Коэффициент полезного действия (к. п.

д.) и цикла определяется как отношение совершенной механической работы к сумме всех (положительных) количеств полученного тепла. Используя неравенство Клаузнуса, доказать, что г1( ' ' (=г)с — к. п. д. цикла Карно), т где Т, — нанболыпая температура, прн которой система получаот тепло, и Тз — наименьшая температура. при которой тепло отдаотся. в) Показать, что прп использовании в качестве рабочего тела идеального классического газа с постоянной теплоемкостью максимальный к. п. Д.

г7о ДостигаетсЯ в том слУчае, когДа газ совеР- шает работу между нзотермами с температурами Тг и Т,, разде- лепными адиабатическим расширением н адиабатическим сжатием. (Такой цикл называется циклом Карно.) г) Обобщить доказательство предыдущего пункта таким образом, чтобы оно было справедливо для любого газа, работающего по квазистатнческому циклу Карно. Решение а) Имеем бг77Т (» с(Я, где ггпу — приращение энтропии газа. Энтропия является функцией состояния газа, и при циклическом процессе ее начальное значение совпадает с конечным значением, откуда з-за аз Глппп 1 34 Для квазистатического процесса равенство имеет место для любого д() и, следовательно, для цикла в целом.

б) Разделим цикл на участки, на которых тепло поглощается Щ.ь) и выделяется (б(с ). Затем определим интегралы ПО СООтВЕтетВУЮЩИМ УЧаетКаМ; ЗДЕСЬ Гсг — ПОЛНОЕ (ПОЛОжнтЕЛЬНОЕ) количество полученного тепла и ()г — полное количество отданного тепла, которое также считается положительным.

Согласно закону сохранения энергии, совершенная механическая работа определяется выражением В' — -- (!1 — (!г; к. п. д. равен »1 = = 0;)1 — Дг)!ф. Далее ель о, 13~ф, ) Т,!Т„так ч о 11 = — 1 — (1,!13, ( Следоват ='1 — 7;! 7,. в) В обозначениях, указанных на фиг. 1.16.1, величина Тот 1 постоянна на адиабатах Ьс и ь(а (задача 1.10, п, «а»). Следовательр но, 71от-1 = 7»01-1, 71ну-1 = Тгэ~-' т. е. 'Ь пс О па Фиг. 4АВА. Из аакона Джоуля следует (задача 1.9, п. «6»), что внутренняя энергия остается постоянной на каждой изотерме, поэтому, согласно уравнению б1,') =-- Ысг+ 65', полученное тепло равно произведенной работе.

Таким образом, сь (с1 = ~ рй~= АТ1 ~ — =АТ1 1п —, п па а а и 1',сг = — ~ рс(э = — АТ»1п — =АТ,1п— пп ьь пс па с следовательно, г) = »1с. 35 Зокоии термодинамики Заметим, что работа, совершенная на адиабатах, взаимно сокращается: с с ?Р' = ~ Р с? = — ~ ??т = С, (Т, — Т,), ь ь о ?? а = — 1 с?~7 = С„(т» — Те), г) В соответствии с первым законом работа, совершенная тепловой машиной, равна теплу, полученному газом за цикл: И' = ф — (е,.

В соответствии с п. «а» имеем, кроме того, (31 (с« т т Следовательно, Ч вЂ” —— и Š— О, О, т, — 1 — — — 1— 0е Г~~ Сс«те 1.17. Рабочим телом тепловой машины является идеальный классический газ с постоянной теплоемкостью С,. Машина совершает работу по следующему квазистатическому циклу '): (1) изотермическое расширение при температуре Т, от объема до о»~ (11) охлаждение при постоянном объеме от температуры Те до Тз; (111) изотермическое сжатие при температуре Т» от объема о»до ь,; (1У) нагревапие прн постоянном объеме от температуры Тз до То Получить выражения для количества тепла ~)п полученного газом на участках (?) и (1У), и количества отданного тепла уз на участках (11) и (Ш?.

Показать, что для описанного выше цикла»1 ( (Т, — Т,~~Ты Как изменится к. п. д., если процессы (11) и (1«') заменить адиабатическим расширением до объема и» и адиабатическим слсатием до объема г, соответственно? Решение Как и в решении задачи 1.16, количество тента, поглощенного из резервуара при изотермическом изменении аЬ, равно Оаь = АТе 1п "а е) Такой цикл называется циклом Стлрлвига.— Прим. ред. Гаааа 1 Тепло, выделенное на с2), равно 1',1аа = АТ2 1п — а = АТ, 1п — ", а, 1'а так как га = гз и п» = о,. Тепло, выделенное при охлаждении Ы, есть д „= С„(Т вЂ” Тз). При нагревании 12а поглощается тепло Оаа ' Си (Т1 Т2) Следовательно, Й = 0<а + Оа» = — АТ1 "и —, + Са (Т1 — Тг), <1 ~2 А (Т1 Т2) 1п "а Ч— 01 02 ( Т1 — Т2 71+Ср(71 — 72))А!а(аа~а1) т1 Если участки (11) и (Г21) заменить адиабатнческим расширением и сжатием, как указано в условиях задачи, то получится цикл Карно; тогда применимы выводы задачи 1А6, п.

<в» и <г». 1.18. а) Два газа Р1, Г2 с фиксированными объемами и постоянными теплоемкостями С1, С2 находятся в начальных состояниях с температурами Т„Т2 (Т, ) Т,) соответственно. Они адиабатически изолированы друг от друга. Работающая квазистатически машина Карпо Е использует Р1 в качествеисточника тепла и Р2 в качестве поглотителя толпа и действует между системами до тех пор, пока они не достигнут общей температуры Та. Получить выражение для Т„и для работы, совершенной машиной Карно, б) Если общая температура устанавливается в результате прямого теплообмена между Р1 и Тю то какова будет конечная температура и каково изменение энтропии? в) Показать, что для всех положительных С1, С2 это изменение положительно. Решение а) Так как С, = — Т (дБГдТ),, потеря энтропии системой Г1 равна то — С1 ) — =С11п —.

Г Л т1 12 т', Система Г2 получает энтропию Я» — = С21п (Та/Т2). Если начальное и конечное состояния рабочего тела 21ашипы Карно совпадают, 37 Заказы термодииалеики увеличение шггропип всей системы равно Яг — Яг=1п [( — ') ( —,о ) ~ =О. то =- т.то, Следовательно, где Ь г Ь= С +Сг' Ь С -1-С Внутренняя энергия, отданная системой Рю в виде тепла, равна то о,—... — с, ~ йт=с,(т,— т,). т! Внутренняя энергия„полученная системой Р„есть 0г =-.

Сг (То тг) Полная потеря внутренней энергии равна (еэе 0г Сгтю — Сгтг (Сг + Сг) То. так что Т, = атю + ЬТ, (а + Ь ==- 1). Энтропия, потерянная системой Рп равна то (. лт т, Я=— — Сг ( — = — С,!п —. т т т, Энтропия, полученная системой Рг, равна тю г п т 8г= Сг ) — = Сг1п —. т г гг Приращение энтропии всей системы составляет Яг — Юг = (Сг+ С,) 1п ~( — ') ( — о ) 1 = (Сг+ Сг) 1п— ~ гата Следовательно, ог ог=(Со+ Сг))п т тго 1 Из закона сохранения энергии следует, что эта величина должна быть равна полному количеству работы, совершенной машиной Карно.

б) В том случае, когда работа пе совершается, из закона сохранения энергии имеем Сю (т! То) .= ( г (то тг) 38 Гла«а 1 в) Рассмотрим выражение у = аТ1 + ЪТ« — Т,Т», где а и Ъ вЂ” положительные величины, удовлетворяющие условию а + Ъ = 1. Эта функция имеет минимум при Т1 — Т, и поэтому всегда неотрицательна. Следовательно, о'« — о', ~ )О. 1.19. а) Показать, что лнобиан б) Тепловая машина работает по циклу, который изображается замкнутыми кривыми на (р, э)- и (Т, о)-диаграммах. Используя тот факт, что работа И', совершенная рабочим газом за цикл, равяа затраченному теплу Ч, получить результат п. «а».

Решение а) Имеем (дг ~ч + ( дБ )т Применяя два соотношения Максвелла иэ задачи 1.7, и. «а», получаем б) Для соответствующих областей интегрирования в плоскостях (р, о) н (Т, о) и»шем выражение И = ~~ й~ы=~ ~,'~''~, г~йб, где появление якобиана обусловлено заменой переменных. Далее, ~) — ~ ')»)Тйо. Следовательно, так как И' =- ~ для любой области, получаем искомый результат. ХИМИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 1.20. Предположим, что мы соединили две одинаковые системы так, чтобы образовалась новая система. Термодинамические величины, изменяющиеся пропорционально количеству вещества в системе, называются экстенсивными, а величины, не зависящие от количества вещества, — интенсивными.