Рейф Ф. Статистическая физика (Рейф Ф. Статистическая физика.djvu), страница 6

а Е3 гг л [о3 ю гп С0 и в БН гу ув ДГ3 гг уу [ г 3 аз унс. 1.4. Положения 40 частиц в ящике, полученные с помощью вычислательиой машины. Восемь последовательных кэлров 1обозиа ~синих индексами 1=-0. 1, 2, ., 71 прелстэяляют собой фотографии, сделанные после ллительного времени работы машкам с заланными начальнммн условиямн. цифры, расположенные внизу, пол «ажяой половиной ящика, указы. вают нз число частиц в этой половине. Скорости частиц не поназаны. Чтобы придать сделанным выше рассуждениям количественнык характер, следует воспользоваться равенством (4). Оно позволяет вычислить вероятность возникновения ситуации, когда любое число л молекул находится в левой части сосуда.

Отложим вычисление числа молекулярных конфигураций С(л) для общего случая до следующей главы. Однако уже сейчас довольно легко исследовать предельный случай и спросить, какова вероятность того, что все молекулы окажутся в левой половине сосуда. Уравнение (2) показывает, что подобная сптуапия возникает в среднем на одном из 2УР кадров нашего фильаиа. Рассз!Отри!! несколько специальных примеров, которые позволят сделать количественные оценки.

Если газ состоит только нз н гг-г,'г~ 00 /О р0 00 ,/ Л/1 Л-4 г /0 00 00 ./ Л! 1 / Л/=-40 0 /О 00 00 ,/ Рн«. 1 6. О н ггвюгаююе чнсло и/д' часпгн в леноа полонное гшпп а в аавнснмостн от номера кадра ! алг! тскункго времеян г=-!т, Этн графнкясодернгат ту же ннсюривдгг!о, что в ряг.1 о Рнс. 1 5 '!нсло и часгнн в лева!! полпанна яшнка в аанаснч|остн от но. мер» ! гара! нлн текуп!его врелггни Г. 1,. Чгмло частнп ва кадре пред.

стн лево горнаооталлноа чертов простнрающепся от /до/-1-1 ГраФи. н нллюстрнруют рнс !.3 для А=1 н рнс. 1.4 лля Дг =40,ао содержат ян. Формакню о 6олвжем чнсле калров чс покяаяао на тгнт он< чона, *) и году -3,!й.!От сед, а возраст Вселенной оценивается в !О'влет. четырех молекул, асе они будут находиться в левой половине сосуда в среднем только на олпом кадре из !б. Флуктуация такого рода будет на!еть умеренную частоту.

С другой стороны, если газ состоит из 80 молекул, то все они будут находиться в левой половине сосуда в среднем только на одном кадре из 2н' 1Оаа кадров нашего фильма. Это означает, что если мы даже делаем миллион кадров каждую секунду, то, чтобы получить реальную возможность найти кадр, на котором все молекулы будут в левой половине сосуда, нам понадобится для съемки фильма время существенно большее, чем возраст Вселенно!! "). Теперь предположим, что у нас есть сосуд объемом в 1 ем*, содержащий воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре. Такой сосуд содержит около 2,5.1Ртз молекул 1см.

уравнение (27) этой главы!. Флуктуация, при которой все молекулы окажутся в одной половине сосуда, в среднем возникает в одном кадре пз 2".'"" 1Р (Это число кадров так фантастически велико, что нх не почучпть даже в том случае, если бы мы снимали фильм в течение времени, которое значительно превосходит возраст Вселенной.) Такие флуктуации, когда не все, а только большая часть молекул находится в одной из половинсосуда,будутвозннкать чаше, но их частота будет все же чрезвычайно малой. Теперь мы можем сделать следующий общий вывод.

Если полное числа чаггиии велико, та флуктуаг(гги, сгОтветствугащие существенно неоднородному расиределенига, почти никогда не возникагаиг. Итак, подведем итоги обсуждению проблемы изолированного идеального газа, который оставался невозмушеиным в течение длительного времени. Число молекул и в одной половине сосуда флуктунруЕт ВО ВРЕМЕНИ ОтНОСИтЕЛЬНО ПОСтОНННОГО урОВНя т/,Лг, КОтарЫЙ является наиболее вероитным. Частота возникновения какого-то определенного значения и быстро уменьшается по мере роста абсолютного значения разности И И 'узтк', т.

Е. ПО МЕРЕ РО- ста величины 'г г'у ) йи ) == ~ и — —,, йг ~ . (5) Лля больших ттг доста- Рнс. 7.7 диаграмма, на которой показана флу«- тОчнО часто Осушеств гягог тулина числа молекул л а ленок полонине сосуаа ся только такие значения а загогснмости от крем«ни г гйглиое число молекул и, для которых ~би) Яггг. Положительные и отрицательные значения Луг возникают одинаково часто. Характер зависимости и от времени показан на рис. 1.7. Поведение газа может быть описано во всех деталях, если известно его микроскопическое агстояние (микрасогтолние) в любой момент времени, т. е. если мы располагаем максимумом возможной информации о молекулах (например, о расположении и скорости каждой молекулы).

С этой микроскопической точки зрения наш воображаемый фильм о газе кажется очень сложным, так как на каждом кадре фильма расположение молекул различное и движение каждой молекулы сложным образом меняет микроскопическое состояние газа. Однако при крупномасштабном, или макраскаиичееком, рассмотрении этой проблемы мы описываем газ в меньших деталях и нас не интересует поведение каждой отдельной молекулы.

Действител но, микроскопическое окталние (или макрасасигоя- ние) газа может быть достаточно точно определено указанием числа молекул, находящихся в какой-то части сосуда в данный момент *). С такой макроскопнческой точки зрения изолированный газ, который в течение долгого времени находился в невозмущенном состоянии, является очень простьж! объектом, так как его макроскопнческое состояние не меняется со временем. В самом деле, допустим, что, начиная с момента времени 1„мы наблюдаем за поведением газа в течение достат.чно длительного интервала времени т и снимаем кинограмму поведения газа.

Предположим далее, что, начиная с момента времени (ю мы опять наблюдаем за поведением газа в течение такого же интервала времени т и также используем для этих целей кинокамеру. С макроскопической точки зрения два этих фильма не должны отличаться др)т от друта. В обоих случаях число и частиц в левой половине сосуда будет флуктуировагь относительно одного н того же уровни ' .,М и наблюдаемые флуктуации будут одного и того же характера. Если не обрацщть внимания на некоторые исключительные особенности (они будут рассмотрены в следующем параграфе), то наблюдаемое макроскопическое состояние газа не зависит от момента начала наблюдений.

Это означает, что макроскопнческое состояние газа не меняется со временем. В частности, и тот уровень, относительно которого флуктуирует л (пли. более точно, его среднее значение), также не меняется со временем. Говорят, что система, состоящая из многих частиц (такая, как наш газ), находится н рааноассии, если ее макроскопическое состояние не имеет тенденции к изменению со временем.

3 а м е ч а и и е. з1аднм точное опречеленне понятию о среднем во времена. Обозначая через и (1) число молекул в левой половине ящика в какой-то момент времена 1. Среднее во времени значенне и (1), нзятое во временном ннтсрвале т, збозначается через (п (1)), н определяется как ! [а (1)1-, = — — ~ и П') г(1'. (6) Соответственно, еслн съемка, начатая но время 1, продолжалась в тсченне всего ннгервзла времена т и содержала Ьт=тгта кадров, снятых в последовательные моменты вРеменн 1, =.

1, 1, = 1 Р та, 1з == 1+ 2те,..., 1,= 1+ (д — !)т„, то выРаженне (б) причет внд ) л(1)),= — («(1,1+л(1,)-!....-(-п(1,)). ! (( Если не указывать, какой ннтервал времени т рвссмвтрнвается, то под гГ(1) поннмают среднее значение в течение каного-то разумного интервала времена т. Для служа равновесного состояння газа л почти все время равно '1еМ. !.2. Необратимость и приближение к равновесию Рассмотрим изолированный газ, состоящий из большого числа Лг молекул. Флуктуации, возникающие в газе, который находится в состояния равновесия, таковы, что и мало отличается от наиболее ') Чтобы быть точныын, мы должны представить, что сосуд разделен га множество равных ячеек, нмеющнх достаточный объем для вмещення большого числа молекул. Тогда макроскопнческое состояние газа будет определено точным заданнелг числа молекул, находящихся в каждой ячейке.

Рнс. З В. Лнвгрвм нс нсзквзвзввк)озвя редка вазникямсяне балыияе Фт>ктувцяи янслв молекул л в одное наловнн» сас>дв относительно рввиовоснота тня и ння ЧН, вероятного значения з/„М. Нас будет интересовать, при каких условиях ь>о>кис ожидать ситуации, когда и значительно отличается от т/,М. Такие ситуации могут возникать в двух различных случаях, которые мы и рассмотрим. Редко вазникаюи(ие большие флуктуации в равновесном состоянии. Хотя в газе, находящемся в состоянии равновесия, и обычно близко к з/.Лг, все же, хотя и редко, значения п могут отличаться от з~',Л'.

Наблюдая за газом достаточно долго, мы можем обнаружить, что в некоторый момент времени значение п сушественно отклонилось от т/,й/. Предположим, что в какой-то момент времени /, мы обнаружили такое большое отклонение )йп1 от т,зЧ, т. е. что и, намного больше, чем т,'.,М. Что можно сказать о наиболее вероятном л ~ Х У поведении и, с течением ° , времениу Прн очень боль- 1 шох значении разности а зу 1п, — з/,%1 величина и, со- ~! ответствует весьми неравномерному распределению молекул, которое в равновесном состоянии возникает крайне редко. Наи. более вероятноп причиной появления такого и, является флуктуация, максимальное значение которой близко к и, (на рис. 1.8 этот максимум обозначен буквой Х).

Однако такое большое значение п, может возникнуть в результате еше большей флуктуации с максимумом, значитечьно превышающим Х (на рис. 1.8 максимум такой флуктуации обозначен буквой )'). Однако возникновение такой большой флуктуации значительно менее вероятно, чем возникновение уже достаточно редкой флуктуации Х. Таким образом, наиболее вероятно, что время /„при котором п=п„соотвегств)ет пику Х, при котором и максимально.

Повеление и в зависимости от времени показано на рис. 1.8. С течением времени и стремится к уменьшению (этот процесс сопровождается небслыпими флуктуациямн) до тех пор, пока не будет достигнуто обычное состояние равновесия, при котором величина и будет флуктуировать относительно сРеднего постоанпого УРовнЯ з/зМ.