Рейф Ф. Статистическая физика (Рейф Ф. Статистическая физика.djvu), страница 5

После столкновения она движешься по другой прямой до следуюшего столкновения и так далее. Каждая молекула движется в соответствии с законами механики, но Ф молекул, движущихся в сосуде и сталкиваю- шихся друг с другом, представляют собой настолько сложную систему, что картина на экране кажется хаотичной (даже если А> очень малб). Рассмотрим внимательно распачожение молекул и их распределение в пространстве. Разделим лгысленно ящик с газом на две равные части (рис.

1.!). Обозначим число молекул в левой части ") Взаимодействие почти отсутствует, если полная потенциальная энергия взаимодействия между модекуламн пренебрежимо мала по сравнению с ик полной кинетической энергией, но достаточно велика для того, чтобы моленулы могли взаимодействовать и таким образом обмениваться энергией друг с другом. че) Законность такого приближения будет подробно рассмотрена в и.

6.3. гй ящика и, а число молекул в правой части и'. Конечно, сумма гг + гг' =- йг, (1) т. е. равна полному числу молекул. Если 1у' велико, то обычно оказывается, что и-и', т. е., грубо говоря, в каждой части сосуда находится половина общего числа молекул. Заметим, что это утверждение справедливо лишь в некотором приближении. Двигаясь в ящике и сталкиваясь друг с другом или со стенками, некоторые молекулы проникают в левую половину, в и',т .'г:.:: п' то время как другие покидают ее.

Поэтотгу число молекул, заключенных в левой половине ящика, постоянно флуктуирует со временем (рис, 1,3 — 1.б). Обычно эти пеп'=-йг флуктуации незначительны, так что гг рн... мало отличаетсЯ от '!зУ. ОднакО ничтО не натодктсн вдезтьньй гэзпнз К молекул. ящнк разделен на МОжЕт ПрсцятетапаатЬ ВСЕМ МОЛЕКуиаы СО- две насти воображаемой плабраться В ЧЕВСй ПОЛОВцис.

Прн ЭТОЗг Л йг гкостьщ. Чнслп молекул в ле- «он пол ване л, вмсло моле. и л =О. КОнечно, это может случитъсуг кул в правой половине п'. Но какова вероятность такого событияз Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как могут молекулы распределяться между двумя половинами ящика. Будейг называть каждое возможное распретеленпе молекул конфггг(граггггей. Одной Рнс.

г 2. На этой сьеме пгк званы зетыре разлищ ыт спосоож которыми две молекулы могут быть распределены меткду двуми половинами минка молекуле соответствуют две возможные конфигурации, т. е. она может находиться в левой либо в правой части ящика. Так как обе эти части имеют одинаковый объем и полностью эквивалентны, молекула с одинаковой вероятностью может находиться в любой половине ящика *).

Если рассматривать две молекулы, то каждая из них может оказаться в любой из двух час~ей ящика. Поэтому а) Мы предполагаем, что вероятность обнаружения одной молекулы в какой- либо половине ящика не зависит от числа других молекул. находящихся там. Вто справедливо, если обьем, занимаемый самими молекулами, значительно мень. ще объема ящика.

Таблица !.! полное числО возможных кон фигураций (т. е. число, равное всем возможным вариантам распределения молекул между обеими половинамн ящика) равно 2 х 2=2'=4, так как для каждой возможной конфигурации одной молекулы существуют две возможные конфигурапиидругой.Для трех молекул полное число возможных конфигураций равно 2х2х2=2а=8, так как для каждой из возможных конфигураций первых двух молекул существуют две возможные конфигурации третьей. Поэтому в общем случае й( молекул полное число возможных конфигураций равно 2х2х...

х2==2". В табл.!.! показаны возможные конфигурации для случая Гт(=4. Заметим, что для У молекул сугцествует только одна конфигурация, отвечающая нахождению всех молекул в левой половине ящика. Она приходится на 2М возможных конфигураций. Поэтому можно ожидать, что среди большого числа кадров нашего фильма в среднем только на одном кадре из 2гс кадров все молекулы окажутся в левой половине ящика. Если осюзначить через Рлг долю кадров, на которых все йг молекул находятся в левой половине, ительную частоту, или аеугоятлевой части, то 3 3 т а' см! Л Л Л Л 4 Л Л и ГГ 3 Л Л П Л 3 .7 П Л Л 3 П 7 Л Л 3 Л Л П ГГ 2 Л П '1 П 2 е7 г7 П Л 2 П Л .7 П 2 ГГ г7 П Л 2 П П Л Л 2 2 2 2 ! 2 2 2 Л Г? П П ! П,7 и П ! П П Л И ! и П П Л ! 3 3 3~ ! И П П П О((4~ очеса указаны (6 различных способоа (конфигурацийу, какими четыре молекулы (обозначенные (, 2, 3, 4! могут быта распределены между днумя половинами яцгика.

Буква Л показыаает, что молекула находится а леаои половине ящика, а б>кпа П вЂ” что молекула а правой половине. Число молекул а каукдой из полоаин обозначено соответственно через л н и'. Симиол С (л! обозначает число аозможных конфигураций молекул, когда и из них находятся а левой полонине сосуда . е. если через Рл, выразить относ Ость, нахождения всех ууГ молекул в т и ! Рд,= — . 2м (2! Точно так же случай, когда в левой части нет ни одной молекулы, является весьма необычным, так как он соответствуе~ только одной из 2д' возможных конфигураций, и вероятность такого события также определяется формулой ! Р =— »= 2м Рассмотрим более общий случай, когда и из й<' люлекул газа находятся в левой части ящика.

Обозначим через С(п) число возможных конфигураций, отвечающих такому случаю. !С(п) равно числу возможных способов распределения молекул, прц которых и л!олекул находятся в левой части ящика.! Так как полное число возможных конфигураций равно 2', то можно ожидать, что среди большого. числа кадров в среднем у С(п) кадров пз 2" кадров л молекул будет находиться в левой половине сосуда.

Если через Рь обозначить долю кадров, на которых и тюлекул находится в левой половине (т. е. относительную частоту, илн верояп<ость, нахождения и молекул в левой половине), то С !и) Р йл П р и и е р. Рассмотрим специальный случай, когда газ состоит из четырех люлекул. Число С (л) возможных конфигураций каждого рода указано в табл.

!.!. Предположил<, что кинограмма этого газа состоит из боль<ного числа кадров. Тогда мы ох ндаем, что доля Ра этих кадров, соответствующая и молекулзн в левой ча<ти сосуда !и соответственно л'=М вЂ” л в правой части), определяется соотношениями !б Р,. = Р !6 ч Г» 3 Р»-= — -= —; . ! !о а' (4 а) МЫ ВИДЕЛИ, Чта СнтУаЦИИ, КОГДа »!=<у' (ИЛИ 11=0), СООтВЕтСтВУЕт лишь одна возможная конфигурация. В более общем случае, если У велико, то С(п).© 2л» диже если и умеренно близко к й(.

(или к ()). Другими словами, ситуация, когда распределение 21 Рисунки, лолучгнньм с лоно<чью мыл»лип<ел»нод лашннм. На сгр. 22 н 23 показаны рисэнкн, полученные с <»о«питью электронной пирровой вычислительной машины. Исследуемая ситуация представляет собой движение нескольких частиц в сосуле. Частицы представлены маленькнми дисками, движупцо<ися в двух измерениях. Силы, действующие между любымн дг<у»<я частицами или »<ежду частицей н стен,<ой сосуда, похожи иа силы, дейстную<ние между тяжелымн объектами (т.

е. они отсутствуют, когда частицы не соприкасаются, и становятся очень большими прп соприкосновении). Таким образом, столкновения между частицами являются упругими. Вь«<исаи»ель»<ой машине задаются начальные положения «молекул» и нх скорости. Машина должна численно решить уравнения движения <молекул» для последующего (или предшествую<пего) времени н показать на осциллографе расположение «молекул» в моменты вре«енн 1=-!т», где т,— малый фиксированный интервал времени и 1=0,1, 2, 3, ... Кинокамера фотографирует экран осциллографа. Полученные кадры показаны на рисунках. Вре»<еннбс< интервал т, бь:л выбран таки»<, чтобы два последовательных кадра, показанных на рисунках.

были раап»лены несколькими молекулярными столкновениями. Таким образом, вычислительная машина была использована для исследования проблемы динамического взаимодействия между многими частицами. молекул настолько неоднородно, что и >'- ггг,у (или гг:.~ г,гвдг), соответствует всего лишь нескольким конфигурациям. Такого рода ситуация, осуществляемая относительно малым числом способов, является весьма специфичной и ее называют упорядоченной, или Оа Ог г Ог Ое ' О ! гОО зтз з с —:з з ОПОг Ог тзг схз Ог л Ог ! Ог О , Ол Ог з сп Ог Ф Ог ! Оз г Ог 'гОг Ох !Ог.

4. г Бз г ои Огг ~Ох 3 Оз Э ! Ог ~г, Ог Жг Оз Ж г ои г а ьв Гвс.!.3. Положеыы четырек частик. находпдихся в пшике, полученные с почппгыо вычяс. лительной нажниы. Пягналиать последовательных калров (обознл генных ннлексачн г —..й, г, 2, ... гез пр лстаазгяыг собой Ьотограйгни. сделанные после длительного вреи нн рнбгйы ианпгиы с загаипыии напальными условняин. Пггфры, распологкениые внизу под наждой половиной яника, указывают на числа частиц, нато гяжихся а этой половине. Пга. ленькая черточка около кажлой частииы указывает направление ее скоргжтн. нсслучаггнггй. В соответствии с формулой (4) она возникает довольно редко. С другой стороны, ситуация, прн которой распределение молекул почти однородно, так что пжп', соответствует многим возможным конфигурациям.

Действительно, как показано в табл. 1.1, С(п) достигает максимума прн и=-а'=ггхгг. Ситуация, осуществляемая многнмн различными способами, называется случайной, или беспорядочной. В соответствии с (4) она возникает достаточно часто. Таким образом, беспорядочные (нли равномерные) распределения молекул в газе образуются чаще, чем упорядоченные. Физическое объяснение этого явления состоит в следующем: все молекулы должны двигаться по строго специальным траекториям, чтобы собраться в одной половине сосуда, и точно так же, если все они оказались в одной половине сосуда, то нх движение должно носить весьма специфический характер, чтобы они могли остаться в этой половине.