Гришанин Б.А., Драбович К.Н., Макаров В.А. Задачи по курсу «Статистическая физика» для студентов механико-математического факультета (Гришанин Б.А., Драбович К.Н., Макаров В.А. Задачи по курсу «Статистическая физика» для студентов механико-математического факультета.djvu), страница 2

Непосредственным вьгшслендем конфпгураппонного интеграла Я,ч ддя кдасспческого газа нейтральньпс частпп показать, что в прпбди- жешш парных стодкдовенвй внутренняя энергия и давленпе выражаются формуламп: П = (3/2)ЮйвТ + (1/2)(~Ч~/У)квТ~(д~з/дТ), Р ~ЧйвТ/1' — (1/2)(М/Ъ')~йвТД, где Д = 4кт/(ехр(-Ф(г)/ааТ) — Ц твайт, Ф(т) — потенплал взавьюдействня частик. 35. Исходя вз пеночки уравнений Боголюбова, определить двухчастнчную функшпо распределения для разреженного газа концентрации п, потенциальная энергия взашяодействпя молекул которого равна Ф(Я), в нулевом пРпблпженпп по паРаметРУ плотностп пгез « 1. ОТВЕТ: ЯЯ) = ехр(-Ф(Я)/1вТ). Зб. Исходя дз пепочкп уравнений Боголюбова, опреде.шть одночастпч- ную фуньзшю распределения для разрелсенного газа конпентраппп и, на- ходящегося во внешнем поле 1/(г), в нулевом прпблшкенпп по параметру плотности пгз « 1.

ОТВЕТ: /~Я) = Уехр( — ШД)/йвТ)//ехр( — 1/Я)/йаТ)с1г. 37. Рассчитать плотность внутренней энергии У/У, давление р п удельную энтропию 5/У для разреженного газа конпентраппн л прп следу- юппсс условиях: потенппальная энергия взапмодействпя молекул имеет +со, с<ге Ф(г)<0, г>ге, 8/У = ле я = 2я/„, 38. Рассчитать давление разреэкенного неидеального газа путем усреднения случайной силы аг", действующей на малую площадку ЬЯ сосуда (р = 2 7/1з5). Потеюшал межмолекулярного взаимодействия имеет вид: [ Ф(г) <О, г>ге, УКАЗАНИЕ: учесть, что одночастнчная фувхппя распределения /и в отличие от идеального газа, в окрестности стенки сосуда должна учпты- вать роль взаимодействия с друтльгн молекулами и рассчитываться по формуле Л(~) = //2(г,г )оУ/У.

впд Ф(г) = ствует. ОТВЕТ: [Ф[ « ЬаТ, пгез « 1, внешнее поле отсут- У/У = п~(3ЦвТ/2и — а), р = ийвТ(1+ п(Ь вЂ” а/йвТ)), — йвЬлз, где Яе = Ьвл [5/2+ 1л [(2хш1свТ)~~~/(2хй)~пЦ, !ф(г)$гзйг, Ь = 2хгоз/3 ОТВЕТ: р = пЛьУ [1 + п(6 — а/ЛьТ)), где а. 6 — параметры, определяемые соответствуюшпмп выраженпюш через функппю Ь(г). 39з По:тностью понпзованная плазма содержит положительно л отрпиательно заряженные частппы с конпентраппязш и; и уиовлетворяет условию электронейтральностп Е;е,п; = О, гпе е; — злектрическпй за- рял частлп ~ — го сорта. Записать уравнения лля олно-и двухчастпчных равновесных функшш распределения /;п /ц. 40.

Показать, что в приближении парных корреляшш двухчастпчная функппя распределения лля равновесной плазмы определяется выра;ке- вием: Я гв /ц = 1 — (е;е;~гц)ехр(-гц/ЛвЧ), гц = [г; — г=[, го = [ЛьТ/(Е;4яе~п;)] УНАЗАНИЕ: в приближении парных корреляшш Л; = 1 + дц, [дц[ ((1; /1зз / /и/зз 1+ д12+ дц+ дзр 41. Используя результат предыдушей залачп, вычислить внутреннюю знергшо и давление равновесной плазмы в прпближешш парных корре- ляшш.

ОТВЕТ: У = УЕ;(~1ЛьТ вЂ” ез/го)пц Р = Ез(йьТ вЂ” е1ез/го)по 42. Рассчитать среднюю знерппо линейного квантового гармонического осшшлятора г. ОТВЕТ: г ж йм/2+ Ты/(е~ Узет — 1) 43. На основе квантового канонического распределения Гиббса рассчитать -средние знерпш Е„Е электрического н магнитного поля в идеальном колебательном контуре с нндуктивностьа ~н.злектрнчесизй емкостью С. ОТВЕТ: Е, = Е„, = [йм/2+ Ты/(е' ~~'~ — 1)! /2, игж 1/ЛС. 44'.

Полагая, что все Л атозюв твердого тела совершают гармонпческпе колебанпя около свопх положенпй равновеспя с оппнаковой частотой и, найтп завлспмость теплоемхостп Ск от температуры. ОТВЕТ: Ся = ЗЖМфТе/Т) ехр(Те/Т) ~ехр(Те/Т) — 1!, Те = 6 /йв. 45. Получпть на основе квантового распределения Гпббса выраженпе для средней энерпш одномерного ротатора с моментом пнерппп 1. На основе этого результата рассчптатгс а) аспзштотпчесюш впд энергпп прп нпзкпх тезшературах; б) класспческое выраженпе прп высокпх температурах: в) опенку для температуры Те, нпже которой в теорпп газов можно счп- тать атомы точечньззш массамп. ОТВЕТ: а) Е = (й~/1)ехр ~ — 6~/(2ИвТ)~, б) Е йкТ/?, в) Те Ь~/(таеабйв) 3ФК, Ав~ тле тле, ае — масса электрона п радпус Бора. 4б.

Идеальный газ содержлт Ю двухатомных ьюлекул, обладаюшпх мо- ментом пнерппн 1. Учптывая квантовьш характер врашательного двпженпя, определлть его вклад в теплоемкость газа С~~к прд высозшх п нпзкпх тезшературах. ОТВЕТ: С~~ И~в прп Т >> Тс,. С~э 3??йъ(2Т,/Т) ехр(-2Т,/Т) прп Т е.

Т;, Т, = Л /(21йв). 47. Электромагнптные волны в полости, пмеюшей объем Ъ; находятся в равновеспн с оболочкой прп температуре Т. Рассчптать энергшо элек- тромагнптного поля, прнходяшуюся на пнтервел частот от ы до ы + бы. УКАЗАНИЕ: электромагнптное пзлученпе можно рассматрпвать как газ, состояппш пз фотонов — частпп с энергпей йы, двпжупшхся со ско- ростью света п подчпняюппстся статпстлке Бозе — Эйнштейна. ОТВЕТ: и(е~)йе = ~зр- ь ., (формула Планка). 48.

Нлк условпй прелылушей залачп найтл полную энергшо равновесного электромагнптного пзлучевпа п его давленпе на стенки. ОТВЕТ: У = -$ — «~(йвТ)), Р = -'О/К 49. Найти полную энерппо Ее своболньпс электронов в металле прп Т = О. ОТВЕТ: Ее = заро де = (й~/2лз)(З~.Ч~')"~~ Х вЂ” шсло свободных электронов. 50. Найти лавленпе, создаваемое свобопнымп электронамп в металле прп Т = О. ОТВЕТ: р = дЕе/Ъ' (см. залачу 49). 10 .