Гришанин Б.А., Драбович К.Н., Макаров В.А. Задачи по курсу «Статистическая физика» для студентов механико-математического факультета (Гришанин Б.А., Драбович К.Н., Макаров В.А. Задачи по курсу «Статистическая физика» для студентов механико-математического факультета.djvu)

московский гос. ЛАрственный университет ° . м.в. ломоносов~ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра обшей фпзпкп и волновых пропвсспв ЗАЛА'Чи по курсу "Статистическая физика" для студентов механико-математического факультета (отделение механики) Госгпаеитеяи: В.А. Грпшаннн, К.Н. Лрабовнч, В.А. Макаров Отеетстеенньгй редаыгпор — В.В.

Розанов Редактор-оператор ЭВМ вЂ” С.Н. Волков Отпечатано в ООП физического факультета МГУ. Заказ Л'ь 9 Псаллсаыо в печать августа 1993 г. Тираж 900 Решенпе задач, включенных в настояшее пзданпе, предназначено для закрепленпя и расшаренпя ыатерлала. пзучаеыого в курсе "Статлстпчесг ая фпзггка'. Преллагаеыый перечень представляет необходмый базовьш згпнтгузг, входяпшй в экзазгеналпонные бплеты.

Решенпе большпнства залач студенты когут найтп в разтпчных учебных дзданпях по статпстдческой фпзпке. 1. Вывестп уравнение алпабатпческого пропесса для идеального газа с фпкспрованньш числом частил Х в переменньсс (р, » = У/йв); ср и с„— улельные (в расчете на одну частицу) теплоемкостп. ОТВЕТ: ро' = сопзс,; = ср/с. 2. Нэлтл самьш обшпй влд уравнения состояния р = р(У, Т) ц кэлорпческого уравнения П = 0(У,Т) для газа с постоянныэш теплоемкостяэш Ср, С». Здесь р, У, Т, П вЂ” давление, объем, теэшература л внутренняя энергця газа; Ср п С» — теплоемкостп прп постоянном давлении и прп постоянном объеме.

ОТВЕТ: р =$~Ср — С»)/(У вЂ” В), П = С»Т, где  — произвольная кон- станта. УКАЗАНИЕ: использовать тождества, следуюпше пз а) второго начала, б) постоянства Ср, С». 3. Найти удельные (в расчете на одну частппу) изменения значешй вну- тренней энергии Ья и энтропии Ья црн равновесном переходе системы нз одного состояния в другое длю 1) идеального газа: с, = совая, р» = йвТ, 2) газа Ван-дер-Ваальса: с, = сова~, (р+ а/и~)(е — 6) = свТ. ОТВЕТ: 1) Ья = с,(Тз — Тз), Ья = с,Ы(Тэ/Т~) + йв)п(оз/оз); 2) Ья = с(Тэ — Т~) — а(тл — оз)/(о~»э), Ья = с,1л(Тз/Т~) + йв)п((ез — 6)/(»з — 6)). 4. Найти хпьшческий потенциал р идеального гада и газа Ван-дер- В вальса. ОТВЕТ: р„я рв + с,Т(1 — 1пТ) — йвТ)ло + рз, л~, = ре — а/о + с,Т(1 — 1пТ) — йвТ)п(» — 6) + рз, рзд — константы.

5. Получить выражение, связывающее внутреннюю энергию Г системы с постоянныы числом частил со статпстпчесюпя интегралом Я. ОТВЕТ: П = йвT (д1пЯ/дT)ю б. Получпть выраженпе, связывающее энтроппю 5 спстемы с постоянным чпслом частпп со статпстпческпм пнтегрелом У. ОТВЕТ: Я = 1,фо(Т) Ы)/ат),. а Показать, что ппсперспя энергпп лля канонпческого распрелеленпя Гпббса определяется соотношенпем 'зЕс = (Š— 2")з = йаТ~Сю 8. Вычлслпть срепвее значенпе велпчпн р;(дН~дрз) и д;(дгз/дд ), тле Гл п д; — обобщенные пмпульс п коорлпната класспческой спстемы, нахоля- шейся в термостате. отзкт: щн7вл=р[ы18р;)=~' ть . 9.

Найтп среднее значенпе потенппальной энергйп класспческого гармо- нпческого осппллятора. ОТВЕТ: Г = йьТ/2. 10. Опенлть теплоемкость Сг классического плеального газа, состояше- го лз: а) пвухатомных молекул; б) трехатомных лпнейнься молекул; в) трсхатомных нелпнейных молекул. Колебанпя атомов в молекулах счп- тать гармонпческшш. ОТВЕТ: а) С~ = 7!Чйь/2; б) Сг = 13Жйв/2; в) Сг = байя 11.

Найти среднюю потенпнэльную знергпю частнпы, пвнжушейся во внешнем поле с потеншяалом у(г) = ага" (п — натуральное число). ОТВЕТ: У = йвТ/(2и). 12. Опенпть теплоемкость тверлого тела. сопержашего Л' Л~ 1 атомов. Пвпженпе атомов с штать класспческпм. ОТВЕТ: Сг = ЗФйв (закон Пюлонга п Птп). 13. Рассчптать первые, пропорппональные теьшературе, поправки к удельной (в расчете на окну частппу) теплоемкостп плеального двух- атомного газа, связанные с учетом малых ангармонпческпх членов в потешшале связи атомов в молекуле П(я) = лез +,Зх + ут", а > О, !3 > О. Момент лнерппл молекулы считать постоянньп!. ОТВЕТ: с„= зйв+ ('з 9~/а~ — ~~-~/аз)ЯТ. 14. В объеме У содержится Х олпнаковых атомов плеального газа при температуре Т.

Вычислить статпстпчесьзш интеграл системы. ОТВЕТ: В ж (2ттйвТ)зо!2Уе 15. Вычислить внутреннюю энергнзо П и лавленне р плеэльного газа. ОТВЕТ: П = 3!МАТ/2; р = ИйвТ/У. 16. Выполнить расчет внутренней энергвп П н давления р идеального газа путем усреднения гаьшльтонпана Н п случайной силы ЬГ, действующей на малую плошадку Ьо сосуда (р = с!г'/Ьо). 17.

Вычислить энтрошпо и свободную энергшо идеального газа, состояшего пз Я частил массы лз, заи!пнаюшего объем У и находяшегося прн температуре Т. ОТВЕТ: 5 = ~Мйв(/+ 5/2), Р Ж/йвТ(1+ /), тле /(У/М, лз, Т) = 1п ((У/)У)(2тлйвТ)~!~/(2хЬ)~) . 18 Найти изменение энтропии при смешении двух масс олноатомных газов, первоначально занимавших объемы У! и Уз при теьшературах Т! и Тъ Массы газов оз! и лз!. Молярная масса газа р. После смешения объем газа У!+ Уъ ОТВЕТ: Ьо = (~вИд/р)Е1 !оз!)п[р!Те!~/(р7"; )~, Т = (оз!Т! + оззТз)/(тй! + тлз), Ф0 — число Лвогалро, 1, ~А !!1ъчЧй~ р (оз! + газ) МБИТ/ (И(У! + Уз)] - зь'!! з 3 19'.

Илеальный газ находптся в равновеспл в пплпндре высотой Ь п с радпусом основанпя Н. Нплпндр вращается вокруг своей осп с угловой скоростью оа Общее чпсло атомов Л'. температура Т. Найтп давлевпе газа на боковую поверхностышлпндра. ОТВЕТ: р = ЖггиРНЯд/(2И(д — 1)), где д = ехр(та~В~/2йвТ). 20. Л молекул пдеального газа находятся в сосуде, пыеющем внд опроющутого вершпной внпз конуса, образующая которого наклонена к вер- тпкальной осп под углом сс Определпть плотность газа вблпзп его верпшны. Гэз нэходптся в поле сп;ты тяжестп. Масса молекулы — т.

ОТВЕТ: л = Мтлд)з/ (2ясд~а(йвТ) ) . 21. Идеальный гэз, состояплщ дз Х зюлекул, обладаюплкс электрпчесютм дппольным моментом Н, помещен в постоянное электрическое поле с напряженностью Е. Вычпслпть велпчпну вектора электрдческой полярпзаппп Р =,У/У ) < Л > . УКЛЗАНИЕ: учесть, что потенппальная энергпя электрлческого дпполя равна Шд) = -еЕсозд, д — угол между веьторамл Ы п Е. ОТВЕТ: 'Р = (Х/Ъ')Н(двба — 1/а), а = йЕ/ЬвТ. ~~ма 22. Вычпсллть энтроппю пдеального газа шшольных молекул (см. предыдущую задачу) как фунюппо напряженностд приложенного электрдческого поля Е.

ОТВЕТ: Б(Е) = 1дйв [Ы(з)за/а) — араба+ сопке), а = с1Е/ЬвТ. стч 23. Идеальный класспчесьззй газ, состоящпй пз Ф частлп массы оз ка- ждая, находится в пнлпндре (высота Ь, объем У) в поле силы тяжестл д (ооразующая шшнндра вертпкальна). Определпть вю-реннюю энергшо газа и распределение давленняпо высоте.

ОТВЕТ:;- = ГйвТ (5/2 — а/(е+* — 1)), Р(=) = Уезда/(1'(1 — е ')) ехр(-тдх/йвТ), где а = тджх/йвТ. 24, Исходя пз расиределенпя Максвелла /(Р), нанти /(Р. ) /(Ф):/(я) (я — Рз/2,„) ОТВЕТ: /(р„) = (дктйвТ) '~дахр(-Р„/дглйвТ); ЯР)) = 4хр /(Р); /(г) = 2г(хтйвТ) ~~~ехр(-г/йвТ)Л. 25. Определить наивероятнейпше значения Р„, ф п ОТВЕТ: (Р„)„э = 0; (~Р))„~ = (2тйвТ)~~~; (к)„, = йвТ/2. 26. Рассчитать средние значения р~,р„,р,р,я я,Р ~рх~. ОТВЕТ; р„= О, р~ = тйвТ, Р = (8йвТт!г)'~, Р = ЗлзйвТ, Г = Зйв7/2 У вЂ” 15(йвТ) /4 (Р) = 0 !Рт! = (2йвТго/и)'~ . 27.

Найтл среднеквадратичное отклонение (дисперсию) энергии, пргсходяшейся на один атом идеального газа. ОТВЕТ: (ез — зз)'~з = /б йвТ/2. 28. Найти нормированное распределенде /(Е) по полной кинетической энергии Е кдасспческого газа, состоящего нз Ф частил, и с его помощью расчитать наивероятнейшее Е„, п среднее У значения энергии, а также дисперсию. ОТВЕТ: /(Е) = Е1зо зУ зехр(-Е/'явТ)/ [(йвТ)зн~зГ(ЗФ/2)]; Е„, = (ЗМ/2 — 1)йвТ; Е = ЗМ5вТ/2; (Ез — У )'~~ = ~/ЪЩ2 йвТ. 29. Рассчитать прп больших Р/ асиьштотический вид распределения /(Е) для суммарной ьлнетпческой энергии Е классического газа дз Ф частдп (см.

задачу 26). Сравнить с юшом распределения /е(Е), предсказывае- мым иентрельной предельной теоремой теории вероятностей. 30. Найти распредеденпе по 1тлам частпп максвелдовского газа, вылета- юпшс в вакуум пз небольшого (пдошадп 5) отверстия в стенке сосуда в едднппу времен~. ОТВЕТ: /(и, д, д) = Би~создэт8(т/2кйвТ)~~~ехр( — те~/2йвТ). 31. Найт~ полное число частвш ЬЛ' максвелповского газа, вылетаюпшх дз малого отверстпя пдошалп 5 за время .'зй ОТВЕТ: ЬЛ' = пБЬг(1вТ)цз/(2ктт)пз и = Л/К 32.

Вычпс:шть среднее значенде модудя относительной скоростп двух частпп кпасспческого идеального газа. ОТВЕТ: )и~ — ез( = 4(йвТ/ягп) ~~ = /2ж 3 .. зз. остояшпй пз Ч молекул, потенапал взаимодействия которых равен (/(дм ..., азу), помешен в сосуд с объемом К Показать. что в этом случае справедппво соотношение: рГ = !Ч1вТ вЂ” -' Е~'~, До'с7Р~~. Здесь д; — декартовы координаты положения частпп. УКАЗАНИЕ: восдользоваться результатамп задачи 8 д учесть, что дН/дд; = дУ/дд; — Гь где Г; — компонента силы, действуюшая со стороны стензш на молекулу в направлешш оь 34.