Гидравлический удар в трубе постоянного поперечного сечения

ЛВЛИЧЕСЖЯ У Р В ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Цель задачи: Ознакомиться с явлением г авлического а а и его приближенной теорией. О е елить зкспе иментально око ость волны повышенного авления и вели- чин повышения авления. С авнить пол ченные зкспе- иментальные анные с ассчетными. Оп е елить место пов е ения т боп ово а. Гидравлическим ударом называется явление, возникающее в трубопроводе, по которому течет вода, и быст ом пе ек ытии его задвижкой. Вблизи задвижки из-за внезапной остановки воды образуется область повышенного давления. Вода вследствие сжимаемости останавливается не сразу во всем трубопроводе, а слой за слоем; поэтому область повышенного давления не сразу заполняет всю трубу, а распространяется по ней, захватывая все новые и новые.

частицы воды. В трубе существует область, где все еще продолжается течение со скоростью И. и давлением р, , и область, где течение уже прекратилось и К = О , а о=р~~/~ . Если перекрытие задвижкой трубопровода произошло "мгновенно," то граница между этими областями представляет собой поверхность, при переходе через которую частицы скачком меняют значения своих параметров ( И на И=О на Я и уо на ~0, ) /~о ). Эта пове хность называется пове хностью азвыва.

Она перемещается по трубопроводу от задвижки навстречу потоку с некоторой скоростью ~~о . За ней давление и плотность больше, чем перед ней. Такая пове хность аз ыва называетсях а ной волной или волной сжатия. Если стенки трубы могут деформироваться, то под действием повышенного давления они расширятся, а если давление возрастет очень сильно, то труба может разрушиться. Поэтому расчет трубопровода на прочность следует вести с учетом давлений, которые могут возникнуть в нем при гидравлическом ударе. Величины повышения давления ~ударного давления) и скорости ударной волны ~- можно рассчитать теоретически. Метод рассчета был предложен Н.ЕЛуковским в 1899 г., и изложен в его работе "О гидравлическом ударе в водопроводных трубах".

Основываясь на его идеях, изложим кратко теорию гидравлического удара и получим формулы для рассчета повышения давления р — Р:. и скорости фронта волны Й.. У авнения не аз ывности и вижения. Для любого состоящего все время из одних и тех же частиц жидкости объема ук итхеальнст ххиакости нри отсутствии вненник нассо- Полагая последовательно 4 равным ~ и ~~И. и замечая, что поверхностный интеграл в правой части уравнения движения можно по формуле Гаусса-Остроградского преобразовать в объе1иый, получим х,Ц ярГ ~заик ') ( д э~ зх / ,у,(с л,й3 Отсюда, ввиду произвольности ~д~ Я и Хл ® , следует ~3У~ р~:'Щ ~уГи М~ ~А ' РХ С помощью уравнения неразрывности (1) уравнение движения легко привести к обычному виду ~Ъ ра -~ Я/) (2) — ~~ъ У авнение состояния Уравнение состояния имеет вообще вид /з-- р® 1 ) ,где — абсолютная температуоа, или Р =- ~О~~~,.

5'/ , где Я вЂ” энтропия ( лЗ= -- — , осу'- — внешний приток тепла, подводимый к единице при обратимом процессе). Переход частиц через сильную ударную волну с большим перепадом давления и плотности является необратимым адиабатическим .Г ( сс~ --С ) процессом и энтропия частиц за фронтом сильной ударной волны у5~~ больше их энтропии д5'„ перед ним. аОднако вода является слабосжимаемой жидкостью, даже значительные изменения давления вызывают в ней незначительные изменения плотности При распространении ударных волн не слишком большой интенсивности в воде, ~как показывают екопериментаквные данные, ~ (( а поэтому переход частиц через волну с не очень большим перепадом ДаВЛЕНИИ В ВОДЕ МОЖНО СЧИтатЬ ИЗЭНтРОПИЧЕСКИМ (УС~~ ~лиС~Р ~="~Р ~"УУ-'Фб волну — слабой, а течение при наличии такой волны непрерывным.

(На фронте слабой волны терпят разрыв не сами характеристики движения, а их производные). Уравнение состояния воды в применении к задаче о гидравлическом ударе можно взять в виде или в виде /Э-/Э,= К где К=~~ф( — модуль обьемного адиабатического сжатия. Для воды и й="атмосферном давлении и температуре 20 С к= — 2г-~0';5 . Три уравнения (1), (2), (3) содержат в общем случае четыре неизвестные функции У ,,Ь , Я , Я от Хк (. . Если труба абсолютно жесткая, то уравнения (1), (2), (3) составляют замкнутую систему, если же нет, то систему (1)-(3) — необходимо дополнить уравнением,,определяющим изменение поперечного сечения Я трубы в зависимости от давления, действующего на ее стенки~ У авнение оп е еляю~ ее гейо м ию т бы.

При выводе этого уравнения будем предполагать, что материал трубы находится ~в авновесии под действием внутреннего давления Р (давление за волной) и внешнего атмосферного давления у~0р„~, которое примем пщблияенно равным давление ,Дт, перед волной. Выделим элемент турбы в виде полукольца (см. рис.2) и будем считать, что при деформации он испытывает простое удлинение, сле- дуя закону Гука, (4) где б — напряжения на торцах, ~. — модуль Юнга, Š— относительное удлинение ОК-.~~ О Я. Яд Я" К.

а. Ж Установим приближенно связь между силами от разности давлениИ ~Ь- О„ ; стремящимися разорвать трубу (~о> /эо ), и упругими напряжениями 0 , возникающими в материале трубы и препятствующими разрыву. Труба длинная (ее длина 42м), до деформации имеет постоянное поперечное сечение ( ЛЙ-О = 25,4 мм), давления ,Р и ~О действуют по нормали к ее поверхности и при равновесии постоянны, поэтому по принципу Сен-Вензна все сечения трубы, расположенные на некотором удалении от задвижки и фронта волны, находятся в одинаковых напряженно-деформиРис.2 руемых состояниях. Если ф — лобов севелы~нов давление, Л вЂ” тобой ~~~~н еый контур, ограничивающий поверхность 2 ' и плоскости поперечного сечения, то всегда верно равенство ~р и ЫЛ = фй~ в -~й.

К ) б = й Следовательно, сумма сил давления Р по внутренней полуокрмжнос- ти полукольца АСВ (см. рис.2) уравновешивается силами давления б распределенными по диаметру АВ или погонной (отнесенной к единице длины трубы) силой ~ОГЯ. , а суъвяа сил давления Р,„= ~О по внешней полуокружности — погонной силой -/Ъ2Ж+д) ), где Я вЂ” толщина стенок трубы. Силы упругих напряжений Я(ГР равны разности и по закону Рука (4) ,,е -р. ф+ ~'~ у.~- + 1 ° Или, так как — ф— ~Яс ~.

(р .р ) ~IТ бй ]'. р. 1Е Отсюда (5) 9 ае иа"еле (Х = Оу у еедеикки, и будем считать, кек уке укаеыеелссь выше, что давление во всей трубе в начальный момент времени постоянно, равно б и мало отличается от атмосферного давления, т.е. пренебрежем давлением ~о~А. в баке. Начало отсчета времени выберем в момент закрытия задвижки. В этом случае начальные условия будут следующими: при ~.=О (или 6 = О ) для всех Х('0(-"с'4.Х или всех У (о С~'(4~~ ) 1) Р-~(~., (или Р=~) ), 2) и.= — Р (или Й=- — ), а краевые следующими: 1) на задвижке, т.е.

при А'= 0 (или Я = О ), при любых 1. (или1) и=О (или У=О ); 2) в конце трубы, постоянно сообщающимся с атмосферой, при любых1 (или любых Г ) ~О = ~0 (или У= О ). На основании этих условий, пользуясь свойством (12 а) системы ( ), легко получить полное решение задачи.

На рис. 3 в плоскости (12) ( Я' (, ) пунктиром нарисованы характеристики системы (12), отмечены комбинации искомых функций % и Я , сохраняющие вдоль них свои значения, штрихпунктирной линией проведена прямая (конец трубы, имеющий свободную поверхность) и выписаны начаньные и краевые условия. Ноно, что если Клюбая точка в области Ойб,то, т,к. на I~М ~+~~=~бги1~ а в И'У=О и 6!=- —" то на Р1ру' ~~~+У-=- —, аналогично вдольРМ РМ+у ~/, (в /~~~ ~Я О и Я о) точке Л Й= - — У= 0 .

~сли взять Я„ точки в других областях, то одна или обе характеристики, проходящие через эти точ ки, могут не попасть на ось Я ,где заданы начальные данные, а попадут либо на линию ~.* = —,либо на ось ~= О Я В этих случа4 для определения постоянных„ которым равны инварианты Римана вдоль соответствующих характеристик, следует использовать краевые условия и серию характеристик, пересекающих ось и" \Ф ,Я С или линию у= — и попадающих в ууу ь Я конце-концов а ось ~; в области заданных е Рис.З 10 начальных денных антов Римана на жя.

Например, для точки // /~ в БАС вдольйй'Я~-2 равно неизвестной постоянной, но вдоль К"'К" О~Р=ж Ф"=- — ~ в д"' Я>- т е в Лl У=- —" и следовательно, на уу"-~+Я=+ ", вдоль/Ь У~-О= — В (по начальным данным) и, следовательйо, для любой точки М в ВАС, как ив ОАЭИ~~--О, а Й -— Г ьг / Для точки ~ в САД имеем: на:~" ~ по начальным данным ./ М ~Д~ ~/, с ~ 'З~~ в ~~ имеем / = © и ос--О . Определяя таким образом с-) постоянные во всех необходимых областник ~см. рис.4),получим: Сб) Рис. 4 в области 1 ~~+ У= —— 0~ Я..

У~ Р-6=— Й., /'/" д т.к ~~= а ~~ Ь"=~О~~ ~ У = ~о у ф — ~р Д= — — или „т,е. е,Я~р ~=Ь или / ~ *'~ в области 2 ~-~ д ~А р ц К в области 3 Р6=~ й.. Я Я Оо , т.е. У= — Ц .= 0 или /о ' ~'-' =У 4. 11 в области 4 д~ жл у~+У=- '~- ~пли,о-~». = — ~~. ~~ б~ ~'» = ~ ' » Ы :".е Р= — -— а. с в области 5 повторяются значения области 1 и т.д., так ьак построенное решение задачл имеет период ~В/~ в переменных ~-2 7: и ф~ в переменных »~ ~-.

. На правом рис.4 отмечены области решения и проведены характеристикл -Х'+4„1 = 6~1М~- в плоскости Ху С .. С помошью полученного решения легко ответить на вопрос: как будет меняться течение в данном месте трубы, например в точке Я (см. рис.4) с течением времени. ((ля ответа на зтот вопрос доста- Л »1! точно прОВ8стл прямую /м ч и проследить по ней знач8нля И» ~ в последовательности областей, соответствукщей росту Ч.

, Лз того же пештения легко пол аются Йо м лы Н Е "' для ско- рости распространения ударной волны и максимального повьппения дав- ления при гидравлическом ударе (перепада даВлений В ударной Волне). )'ейлствительно, сразу видно, что максимальный перепад давлений ра- вен /-~ /.~о ~~(у С ~~" С (13) где Я . определяется формулой (10) и представляет собой скорость распространения ударнол вольи, идущей от задвижки к баку, перед которой и.

= — и„, р =р и за которой (л =О и р=/э +(3ь/,й,, так как в любой месте трубы .4 на расстоянлл Лд от задвижки (см. рис. 4б) до момента времени ,,=;~ ~ =-,(Я)„; —..'— ." наблюдается невозмуцеыное движение, а в момент ~-у параметры те,хд у чения меняются скачком ( '~ = ~у'~~ , где ~~ — момент прихода в .Хд ударной волны). Ьиюетик также, ито толкование вели'лины Ы„.

как скорости рао- лростронении слабни вовыуи(евший (скорости ввука в Лефорт1ируеыой тру- бе, заполненной водой), легко получить сразу из системы уравнений (11). Если первое уравнение проди~ференцировать по Х' , и вы- честь из второго, предварительно продифференцированного по то для И-(Х» С) получится волновое уравнение ф ~ -~2(, ~я'= а. Р1' точке А) устанавливается постоянное давление /5 =/Э +ф44.и скорость и= О .