Гидродинамическая неустойчивость и переход к турбулентности в замкнутых гидродинамических течениях. Сферическое течение Куэтта

Практикум Гидродинамическая неустойчивость и переход к турбулентности на примере сферического течения Куэтта. ВВЕДЕНИЕ. Возникновение турбулентности в гидродинамических течениях представляет собой одну из фундаментальных проблем механики. Согласно современным представлениям, переход к турбулентности с ростом управляющего параметра гнапример, числа Рейнольдса) происходит через последовательность бифуркаций. Эту последовательность бифуркаций принято называть сценарием перехода к турбулентности.

Бифуркации соответствует переход от одного режима течения к другому. Первый из этих переходов - потеря устойчивости стационарного движения ясидкости. Одним из наиболее распространенных подходов к изучению всей последовательности бифуркаций являются экспериментальные исследования переходов от ламинарных ремсимов течения к турбулентным в замкнутых модельных течениях, а именно, по терминологии [1], ив гидродинамических движениях в ограниченных объемах», Именно к таким модельным течениям относится рассматриваемое в данной задаче сферическое течение Куэтта, ЦЕЛЬЗАДАЧИ. Полу чение общих представлений о сценариях перехода к турбулентности в замкнутых гидродинамических течениях и способах экспериментального изучения таких сценариев. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Хорошо известны два предельных случая движения жидкости: при очень малых числах Рейнольдса наблюдаются, как правило, стационарные течения; при больших числах Рейнольдса — турбулентные течения.

Как ухсе отмечалось во введении, переход от стационарного режима течения к турбулентному происходит через последовательность бифуркаций. В замкнутых течениях бифуркации могут представлять собой скачкообразный переход от одного режима течения к другому с соответствующими изменениями пространственной структуры, частотных и других характеристик течения. Первый такой переход (или первая бифуркация) связан с потерей устойчивости стационарным движением жидкости. Под устойчивостью в гидродинамике понимается восприимчивость течения к возмущениям заданного вида. Принято считать, что течение остается устойчивым по отношению к возмущениям заданного вида в том случае, если внесенные возмущения с течением времени затухают, и течение возвращается к своему прежнему состоянию.

Если же внесенные возмущения с течением времени нарастают, и течение переходит в другое состояние, то именно этот процесс называется гидродинамической неустойчивостью. Минимальное число Рейнольдса, при котором течение теряет устойчивость по отношению к какому-либо возмущению, соответствует границе устойчивости. В свою очередь, возмущения условно принято разделять на бесконечно малые (амплитуды которых малы до такой степени, что их начожение на исходное течение ие меняет его осредненные во времени характеристики) и конечно-амплитудные.

Течение, неустойчивость в котором развивается под влиянием бесконечно малых возмущений, принято называть системой с мягким возбуждением, а под влиянием конечно-амплитудных возмущений — системой с жестким возбуждением. В последнем случае наблюдается гистерезис. т.е. положение границы устойчивости зависит от направления изменения числа Рейнольдса: его увеличения или уменьшения. В данной задаче рассматриваются потеря устойчивости и переход к турбулентности в сферическом течении Куэтта. Сферическим течением Куэтта (СТК) принято называть течение вязкой несжимаемой жидкости в слое между двумя коаксиальными концентрическими сферами, возникающее под действием соосно вращающихся границ (с постоянными, но различными скоростями). СТК является замкнутым гидродинамическим течением. Геометрия течения представлена на фиг.1. г> и г> - радиусы внутренней и внешней сферических границ, й и Йз - их угловые скорости вращения П - внутренней, 2 - внешней).

Течение характеризуется тремя параметрами подобия (или управляющими параметрами); это числа Рейнольдса для внутренней Ке1 = й1 т1 / ч и внешней Кез = йз гз ! ч границ слоя, а также относительная толщина слоя б = (гз — г|) ! г1 [2~ Здесь ч - кинематическая вязкость жидкости в слое, Иногда вместо Кез используют отношение угловых скоростей вращения границ слоя а = йз! Йь в этом случае индекс у числа Рейнольдса для внутренней сферы опускают.

Основное течение При относительно малых числах Рейнольдса формируется основное течение единственное стационарное течение, к которому при 1-+ со стремятся все нестационарные течения с любыми начальными данными. Существование такого стационарного течения возможно лишь при ограниченных значениях числа Ке < Кео.

Для СТК Ке зависит от значений двух других параметров б и вх Ке = Ке„(д, оз). Отсутствие аналитического решения даже для основного течения значительно усложняет изучение течения во вращакпцихся сферических слоях. Отметим, что до настоящего времени большая часть закономерностей для СТК бьша установлена в результате экспериментальных исследований, численный анализ, как правило, опирается на сравнение с ранее полученными экспериментальными результатами (2,3].

Основное течение в сферическом слое симметрично относительно плоскости экватора и оси вращения и включает в себя дифференциальное вращение вокруг оси и меридиональную циркуляцию. Амплитуда и форма меридиональной циркуляции определяются относительной толщиной слоя д и соотношением чисел В.е~ и Кев Для описания СТК естественно использовать сферическую систему координат (г, 0 гр), оси вращения соответствует В = О. Основное течение в СТК не зависит от азимутальной координаты гц но зависит от двух других координат г и О, н имеет все три компоненты скорости И,, И >, И (фиг.1).

Последнее означает, что в СТК всегда присутствует меридиональная циркуляция. При вращении только одной из сферических границ меридиональная циркуляция одновихревая, направление циркуляции от полюса к экватору вдоль вращающейся сферической границы. При вращении сферических границ в противоположных направлениях возможно образование течения с двумя вихрями, внутренним и внешним, причем вдоль каждой сферической границы сохраняется то же направление циркуляции, что и при вращении только одной сферы.

В этом случае в сферическом слое существует поверхность раздела (кривая 1 на фиг.2 а,б), которая разграничивает в радиальном направлении области течения с разнонаправленной меридиональной циркуляцией. Эта поверхность на всем своем протяжении может быть удалена от обеих сферических границ, как на фиг2„а, а может на некотором участке совпадать с одной из границ. Например, как на фиг.2,б, касаться внешней сферы на экваторе, Фиг.2 вторичные пиечении Интенсивность меридиональной циркуляции сильно зависит от относительной толщины слоя б, и это оказывает существенное влияние на устойчивость течения.

По виду вторичного течения на пределе устойчивости при вращении только внутренней сферической границы (Кез = О) сферические слои условно принято разделять на тонкие и толстые (вторичное течение — течение возникающее после потери основным течением устойчивости).

Тонкие слои. В тонких слоях при вращении только внутренней сферической границы относительно малая интенсивность меридиональной циркуляции (а) в приэкваториальной области по сравнению с азимутальным вращением приводит к образованию условий течения, аналогичных условиям в цилиндрическом течении Куэтта 1ЦТК). На пределе устойчивости может образоваться стационарное осесимметричное вторичное течение в виде пары кольцевых вихрей Тейлора вблизи экватора (б), с оттеснением основной меридиональпой циркуляции от экватора к полюсам.

Циркуляция в одной паре вихрей Тейлора направлена вдоль экватора от неподвижной внешней сферической границы к вращающейся внутренней. Вихри имеют почти прямоугольное поперечное сечение, и на пределе устойчивости отношение ширины вихря к толщине слоя, называемое относительной длиной волны, как правило, меньше единицы. Возможность существования кольцевых вихрей Тейлора в сферических слоях при квазистатическом увеличении числа Ке подтверждена экспериментально вплоть до относительной толщины сферического слоя б < 0.25.

Рассчеты показали, гго вторичное течение в тонких слоях образуется в результате нестационарного переходного режима и, так же, как и основное течение, симметрично относительно оси вращения и плоскости экватора Переход к вторичному течению в тонких сферических слоях может сопровождаться гистерезисом, не превышающим 0.08"~о для 5=0.1096, и возрастающим с увеличением относительной толщины слоя б.

Гистерезис бьш получен как в расчетах, так и в экспериментах. Толстые слои. В толстых слоях при вращении только внутренней сферической границы интенсивность меридиональной циркуляции су.щественно больше, чем в тонких слоях при тех же числах Ке. С возрастанием Ке меридиональная циркуляция меняется качественно: на сферических границах образуются пограничные слои, интенсивность циркуляции возрастает, ее центр смешается в сторону плоскости экватора.

Интенсивная меридианальная циркуляция деформирует азимутальную составляющую скорости, и это может служить причиной потери устойчивости основного течения. Экспериментально установлено, что в толстых сферических слоях 0.54 < б < 1.33 при вращении только внутренней сферической границы вторичное течение на пределе устойчивости неосесимметрично и несимметрично относительно плоскости экватора. Оно представляет собой — периодическое по времени и азимутальной координате го волновое движение с одной частотой в спектре, состоящее из равного числа вихрей ш в каждой полусфере.