Задача о распаде произвольного разрыва. Измерение числа Маха падающей ударной волны

3 Х . ~ЛРНЫЕ О Ы Л РНОИ УБЕ Цель работы — знакомство студентов с одной из современных газодинамических установок — ударной трубой. 1. Теоретическое введение Ударнал волна Ударная волна — зто движущаяся по веществу со сверхзвуковой скоростью поверхность разрыва непрерывносгн скорости течения, плотности, давления, температуры и других величин. Ударные волны — часто встречающиеся явления как в естественных, так и в искусственных, созданных человеком, условиях. Например, при вспышках молнии, при входе метеоритов в плотные слои атмосферы, при сильных взрывах, при преодолении самолетами звукового барьера и т.

д. С математической точки зрения возникновение ударных волн является следствием нелинейности основных уравнений гидродинамики. В линейном приближении возможно существование только звуковых волн. В лабораторных условиях для изучения ударных волн чаще всего используются ударные трубы. Ударнаа шруба Ударные трубы примеюпотся для получения н исследования ударных волн. Сильная ударная волна может нагреть газ до температур в десятки тысяч градусов, что позволяет использовать ударную трубу для изучения различных физико-химических процессов при высоких температурах. Ударная труба представляет собой в простейшем варианте цилиндрическую трубу, закрьпую с торцов и разделенную диафрагмой на две части: камеру высокого и камеру низкого давления 1см. рис.1.1). Камера высокою давления заполняется газом (он называется толкающим) под давлением значительно превышающим давление в камере низкого давления, которы заполняется исследуемым или рабочим газом.

Давление в толкающем газе составляет несколько или десятки атмосфер, в рабочем газе — доли или единицы мм рт.ст. (1 ат = 9.81х10' Па, 1мм рт.ст. = 1 '1'ор = 133.3 Па). В некоторый момент времени диафрагма разрушается, и толкающий газ начинает расширяться в камеру низкого давления, сжимая перед собой рабочий гвз. По рабочему газу бежит ударная волна, а по толкающему в противоположную сторону бежит волна разрежения, точнее — веер волн разрежения, который называют центрированной волной разрежения.

Более точно картину образования ударных волн и волн разрежения можно представить следующим образом. Если мгновенно убрать диафрагму, то поверхность разрглва можно рассматривать как ускоренно движущийся поршень, толкающий газ. Перед таким поршнем образуется ряд слабых нмпуль- А Р1)г О) Р(Х,С1) а) 1 — камера низкого давления, Д вЂ” диафрагма, 4 — камера высокого давления, б) распределение давлений до разрыва диафрагмы р(я,о); а) распределение давлений через время г| после разрыва днафрапаыр(л,б); г) графики лвнжения ударной волны, контактной поверхности и волны разрежения в системс координат 1х,г).

всюду 1 — обласзь невозмущснного исслелуемого газа, 2 — пробка, 3 — обласп разреженного толкмошего газа, Н вЂ” волна разрежения, 4 — область невозмущенного толкающепз газа Рие.1.1. соа сжатия, каждый из которых нагревает газ. Последующие импульсы сжатия, распространяющиеся со всей увеличивающейся скоростью звука по уже нагретому газу„будут догонять предыдущие 1скорость звука растет с температурой). Сливаясь, они образуют фронт ударной волны. Наоборот, волны разрежения распространяются в охлаждающемся газе с непрерывно уменьшающейся скоростью звука.

Они уже не будут догонять друг друга и за поршнем образуется веер волн разрежения. Приближенно мгновенная картина течения в ударной трубе до отражения волны разрежения и ударной волны от торцов может быть представлена следующим образом. Перед ударной волной находится покоящийся газ низкого давления.

В дальнейшем все величины, характеризующие состояние газа в этой области течения будем отмечать индексом 1. За ударной волной имеется область течения сжатого и разогретого рабочего газа с постоянными параметрами, так называемая «пробка», которая замыкаегся поверхностью контакта толкающего и исследуемого газов нли просто контактной поверхностью. Величины в этой области будем отмечать индексом 2.

Между контактной поверхностью и хвостом волны разрежения расположена область разреженного толкающего газа с постоянными параметрами, которые будем отмечать индексом 3. Наконец, между головой волны разрежения и торцом трубы располагается область невозмущенного толкающего газа. Величинам в этой области припишем индекс 4. Ударная волна, пробка и контактная поверхность движутся в одну сторону (на рис.1.1 направо). Голова волны разрежения распространается по покоящемуся газу в камере высокого давления в направлении, противоположном движению ударной волны. Хвост волны разрежения перемещается со скоростью звука по движущемуся газу, уже охлажденному волной разрежения, и увлекается спутным потоком. Скорость спутного потока (в области 3 за контактной поверхностью) обычно сверхзвуковая, исключая случай очень слабых ударных волн. Поэтому хвост волны разрежения движется в направленин, противоположном движению еб головы, т.е. в сторону ударной волны.

Подчеркнем, что ударная волна нагревает первоначапьный газ, а волна разрежения его охлаждает. Так как камера высокого давления обычно значительно короче камеры низкого давления, волна разрежения первой достигает торца трубы и, отразившись от него, начинает догощпь ударную волну. При изучении физико-химических процессов в газе за ударной волной все измерения проводятся до того, как волна разрежения догонит падаюппэо или встретит отраженную от торца ударную волну. Схематическое изображение ударной трубы, распределение давления по длине трубы до и после разрыва диафрагмы и графики движения ударной волны, контактной поверхности и волны разрежения даны на рисунке 1.1. Элементьг упрощенной теории ударной трубьг При описании развития течения в ударной трубе, мы неявно пользовались некоторыми упрощающими предложениями, которые, переходя к теории ударной трубы, сформулируем явно: газы, заполняющие ударную трубу, совершенные (идеальные) с постоянным отношением удельных теплоемкостей; диафрагма разрушается мгновенно н сразу же образуется ударная волна, которая движется с постоянной скоросгью; течение газа одномерно; теплопроводность и вязкость отсутствуют (их влияние считается пренебрежимо малым); перемешиванием газов на контактной поверхности пренебрегают.

В работе булут использоваться следующие обозначения: р — давление, р — плотность, Т вЂ” абсолютная температ„ и — скорость газа относительно трубы (рис.1.2), р — скорость ударной волны относительно трубы (рис.1.2)„ и — скорость газа относительно фронта ударной волны (и = иг — у ) а — скорость звука, у — отношение удельных теплоемкостей, ,и — масса моля газа, М вЂ” отношение скорости ударной волны г", к скорости звука перед ударной волной а1 (число Маха). (а) Рнс.1.2. Движение газа в окрестноствх ударной волны: а) в системс координат, смпанной с ударной трубой; б) в системе координат, связанной с ударной волной.

Выведем некоторые соотношения, которые могут понадобиться в задаче. Параметры газа в области 2 можно выразить через число Маха и параметры газа в области 1 с помощью соотношений, выражаюпшх законы сохранения потоков массы, импульса и энергии при переходе газа через ударную волну.

В системе координат, связанной с ударной волной (см. рис.1.2), зти соотно- шения имеют вид Р1 у = Рг(у — иг) — закон сохранения потока массы (1.1) р1У + р1 = рг(г' — иг) + рг — закон сохранения потока импульса (1.2) г г г — + — — = + — — закон сохранения потока энергии (1.3) у1 л (у г) у1 г 2 у1 — 1р1 2 у~ — 1рг Запишем закон сохранения потока массы, поделив обе части (1 1) на р|а1 и вводя М=г'/аю р) (1.4) Равенство (! 2) преобразуем сначала к виду р11' — рз(У- ) = рз — 1, 2 а затем, учитывая (1.1), к виду Поделив последнее равенство почленно на равенство г Р1О1 =У1Р1 получим окончательно М 2=1 (1.5) Закон сохранения потока энергии (1.3) перепишем в форме (1 -из) У1 рз р1 2 2 у1-1 1 рз р1/ а затем поделим это выражение почленно на равенство В итоге получим (1.6) (У1+ 1)М р1 (у1-1)М +2 (1.8) Равенства (1.4), (1.5) и (1.б) позволяют выразить отношения р2/р1, рз/р1 и из/а1 через число МахаМ. После простых преобразований получаем трн формулы: — = — М 2У1 2 У1 — 1 (1.7) р, У1+1 У1+1 а поделив почленно равенство ( !.7) на равенство (1.8) и пользуясь уравнением состояния в виде 22 р=р — т, р г!случаем еще одно важное соотношение: (1.1О) Из равенств (1.7) и (1.8) следует формула адиабаты Гюгонно рз р2(у!+1)-р!(у!-1) р! р!(у! +1) рг(у! 1) Как видно из рис.1.3 адиабата Гюгонно расположена выше адиабаты Пуассона т.к.

им соответствуют разные физические процессы. Адиабата Пуассона рз/р! =(рзггр!)и описывает изознтроцический процесс изменения объема (плотности), происходящий при постоянной энтропии. Адиабате Гюгонно соответствует необратимый процесс ударного сжатия, сопровождающийся ростом энтропии. Рис!.3. ! — авиабаза Гюгаиио; 2 — иаиабата Пуассона 10 Из формулы (!.!1), а также из рис.!.3 видно, что прн рг/р! -+«отношение рг/р, -+(у, + 1)/(у, — 1) Лля одноатомного газа у, = 5/3, позтому предельное сжатие соответствует рг/р! = 4.

Для лвухатомного газа (без учета колебательных степеней молекул) у! --1.4 и предельному сжатию соответствует рг/р! — — 6. Рассмотрим теперь поверхность контакта толкающего и рабочего газов. Скорость движения и давление газа с разных сторон контактной поверхности должны быть одинаковы, т.е. (1.12) аг = вз. Рг =Рз.

(1.13) Заметим, что другие параметры могут быть разными. Например„плотность и температура на контакте могут испытывать разрыв. Найдем связь между параметрами газа в области 4, которые совпадают с начальньпии параметрами в камере высокого давления, и параметрами газа в области 3, которые совпадают с параметрами в хвосте волны разрежения. Расширение газа в области 3 носит изоэитропический характер, поэтому (1.14) г Поскольку квадрат скорости звука а = —, то — = — или ур р4 р4 аз Р рз рз а4 г 2У4 (1.15) причем для идеального газа уз =у4. 2а При изоэнтропическом расширении газа величина — + и, называемая у — 1 инвариантом Римана, остается постоянной. Приравнивая значение инварианта Римана в хвосте и в голове волны разрежения, получим соотношение 2 2 а4 = — аЗ+иг (1.16) !'4 1 уз (в нерасширившемся газе 4 скоросп и4 = О).