В.И. Арнольд - Математические методы классической механики

\: б б р . «р й Ж О б н а брщ ~ ~* 6 щ ц~ *~~ дйп щй~ же уя В ю и ~ мм одюпицюрю жл ж~ ю р, р> ~) р р н. фр» ) И 5Л Л ) й П ~ ( ~»~~ й. Д ~Л ~ Я Я / ~ Й ~ ~ Й ОГЛАВЛЕНИЕ 6 9 Предисловие к трогьему падавию Ив предисловия к первому иаданию члст ы ньютонОВА мехлнипА 11 11 12 18 21 2'1 26 30 32 34 42 44 50 Г л а в а 2. Исследование уравнений двюкевня .

$4. Системы с одной степенью свободы... $5. Системы с двумя степенями свободы.... $6. Потенциальное силовое поле . 7. Ккнетическвй момевт $8. Исследование движения в центральном поле . $9. Движение точки в трехмерном пространство . $10. Движение системы в точек $11. Соображения подобия .. часть и ЛАГРАНЖЕВА МЕХАННПА Г л а в а 3. Варивциоввый принцип $12. Вариационное исчисление . $13. Уравнения Лагранжа $14.

Преобраэовавио Лежандра $15. Уравнения Гамильтона $16. Теорема Лиувилля .. Г л а в а 4. Лаграюкева механика на многообраеиях . $17. Голономные свали . $18. Дифференцируемые многообравпя.... $19. Лагранжева двиамическая система . $20. Теорема Нетер . $21. Принцип Даламбера Г л а в а 5. Колебания . $22.

Линеарпаация . $23. Малые колебания . $24. О поведении собственных частот... $25. Параметрический ееоианс . 52 53 56 59 61 64 70 70 72 77 81 84 Г л а в а 1. Экспериментальные факты . $1. Принципы относительности и детерминированности . $2. Галилеева группа н уравнения Ньютона... $3. Примеры механических систем . ОГЛАВЛЕНИЕ 111 Мй 115 119 127 131 136 часть н! ГАМНЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 142 143 148 152 158 164 175 175 177 181 187 191 икварп- степевя- 197 201 205 205 211 218 226 234 238 238 245 250 256 ДОПАПЛВННЯ Г л а в а 6. Твердое тело . 1 26. Движевпе в подвижной системе координат....

$27. Силы инерции. Сила Кориолиса,... 1 28. Твердое тело $29. Уравпевия Эйлера. Оаиеапве движепая по Пуапсо 1 30. Волчок Лагранжа $31. Спящий волчок и быстрый волчок .. Г л а в а 7. Дифферепциальные формы..... 1 32. Вкешвие формы . $33. Внешнее умножение 1 34. Дифференциальные формы 1 35. Ивтегрировавпе дифферекциальвых форм... 1 36. Внешнее диффорепцироваиие Г л а в а 8.

Симплектичесвие многообразия..... 1 37. Симплекшческая структура ва многообразии . 4 38. Гамильтоповы фазовью потоки и их ивтегральвые виты $39. Алгебра Ли векторных полей 4 40. Алтебра Лп функций Гамильтова.... 1 41. Симплектпческая теометрия 4 42. Парамотрический резонанс в системах со многими ми свободы . 1 43. Симплектпческий атлас Г л а в а 9. Канонический форкалиам . $44. Интегральный иквариавт Пуаккаре — Вартана .. 4 45.

Следствия из теоремы об интегральном инварпавте Пуанкаре — Картава 4 46. Привцип Гюйтепса . 1 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических ураввеиий Гамильтона $48. Производящие функции . Гл а за 10. Введение в теорию возмущений . $49. Интегрируемые системы . $50. Переменные действие — угол .. $51. Усреднение, 1 52. Усредневво воемущекий .. Добавление 1. Римаиова кривизна Добавление 2. Геодезические левоиквариавткых метрии яа группах Лп и гидродвпамика идеальной жидкости.... Добавление 3. Симплектическая структура ка алгебраических мвогообразиях Добавлевие 4. Контактные структуры Добавление 5. Дикаыические системы с симметрией . Добавление 6. Йормальпые формы квадратичвых гампльтокиалов Добавлевие 7.

Нормальные формы гамильтоновых систем вблизи неподвижных точек и аамккутых траекторий... 266 283 308 314 337 347 351 ОГЛАВЛЕНИЕ Добавление 8. 'Геория возмущений условна-периодических движений и теорема Колмогорова 365 Добавление 9. Геометрическая теорема Пуанкаре, ее обобженвя и нрнлажеиия 334 Добавление 10.

Кратности собственных частот и вллвнсоиды, зависяшде от нараметров ............., .. 393 Добавление 11. Коротковолновые асимптатпки........... 406 Добавление 12. Лагранжевы особенности............ 415 Добавление 13. Пуассоновы структуры 422 Добавление 14. Об элливтических координатах..........

435 Добавление 15. Особенности онстем лучей............. 445 Добавление 16. Уравнение Кортевега — де Фриза.......... 465 Предметный указатель 469 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Основная часть атой книги написана двадцать лет назад. За это время идеи и методы симплектической геометрии, на которых основана книга, нашли многочисленные применения как в математической физике и других областях приложений, так и в самой математике.

В особенности следует отметить бурное развитие теории коротковолновых асимптотяк, с их приложениями в оптике, теории волн, акустике, спектроскопии и даже химии, и одновременное развитие теории лагранжевых и лежандровых особенностей и многообразий, т. е. теорий особенностей каустик и волновых фронтов, их топологии н их перестроек. Необыкновенно далеко продвинулось исследование интегрируемых задач гамильтоновой динамики. Было открыто неожиданно большое число интегрируемых динамических систем, изучение которых привело к неожиданным и взаимообогащаю|цим связям этих вопросов с трудными проблемами алгебраической геометрии и математической физики.

Большие успехи достигнуты за последние годы в сн»шлектической топологии. Здесь прежде всего выделяется доказательство теоремы о неподзшкных точках симплектнческих диффеоморфизмов, обобщающей «геометрическую теорему» Пуанкаре (добавление 9), полученное в »983 г. Ш. Копли и Э. Цендером. За этим доказательством последовали работы М. Шаперона, А. Вейнстейна, Ж.-К. Сикорава, Ы. Громова, Ю. Чеканова, «Рлоера, Витербо, Хофера и др.

Я надеюсь, что в этой интенсивно развивающейся сейчас области вскоре будет достигнут еще больший прогресс, который приведет к доказательству сформулированных и открытию новых теорем си»шлектической и контактной топологии — новой области математики, вызванной к жизни вопросами механики и оптики. В настоящее издание включено трп новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустнк и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отраженияаш), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобгцений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). пРедисловие к ТРетьем» издАнию Более подробное изложение теории возмущений читатель найдет в книге «Математические аспекты классической и небесной механики» В.

И. Арнольда, А. И. Нейштадта и В. В. Козлова, составляющвй третий том энциклопедической серии «Современная математика. Фундаментальвые направления» (М.: ВИНИТИ, 1985). Четвертый том этой же серии содержит обэор современного состояния симплектической геометрии (В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь), статью А. А. Кириллова о геометрическом квантовании и обзор С. П. Новикова с соавторами о развитии теории интегрпруемых систем, лишь эатронутом в настоящей книге.

Вопросы геометрии систем лучей подробно обсуждаются в двухтомнике В. И. Арнольда, А. Н. Варченко и С. М. Гусейн-Заде «Особенности дифференцируемых отображений» (т. 1.— М.: Наука, 1982; т, 11.— М.: Наука, 1984), и в книге В. И. Арнольда «Теория катастроф» (3-е надавив.— М.: Наука, 1990, с обширной библиографией). Обэоры но снмплектвческой и контактной геометрии и нх приложениям опубликованы в трудах семинара Н.

Бурбаки (доклад Д. Беннекена «Мистические каустики» в феврале 1986 г.) и в ряде статей (А р н о л ьд В. И. Первые шаги симплектической топологии // УМН.— 1986.— Т. 41, вып. 6.— С. 3 — 18; Особенности систем лучей // УМН.— 1983.— Т. 38, вып. 2.— С. 77 — 147; Особенности в вариационном исчислении //Современные проблемы математики.— ВИНИТИ.— 1983.— Т. 22.— С. 3 — 55; Щ е рб а к О. П. Волновые фронты и группы отражений // УМН.— 1988.— 'Г. 43, вып. 3.— С. 125 — 160).

Выпуски 22 и 33 серии «Итоги науки. Современные проблемы математики» (М.: ВИНИТИ, 1983 и 1988) содержат обширный дополнительный матевиал по приложениям симплектической и контактной геометрии к исследовашпо вариационяых задач, а тем самым — ' к механике, оптвке, теории оптямального управления и т. д.

Теория бифуркаций и теория воэмущеней (не только гамильтоновых, но и общих динамических систем) рассмотрены в учебнике: Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978 (английское иэдавие: А г и о 1 4 Ч. 1. Оеошес»1са1 Ме»Ьобэ 1п »яе ТЬеогу о1 Огдшагу Ы1(егеп11а1 Ецпаг(опэ.— Зрг1пбег, 1988.— 325 р.— эначительно полвее). Новую информацию содержат также доклад «Теория бифуркаций и ее приложения в математике и механике» на ХЧ11 Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике, Гренобль, 1988 г. и обэор В.

И. Арнольда, В. С. Афраймоввча, 1О. С. Ильяшенко и Л. П. Шнльникова и также весь выпуск «Динамические системы-5» энциклопедической серии «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления» (М.: ВИНИТИ, 1986). Второй выпуск этой серии, написанный Д. В. Аносовым, Я. Г. Сипаем и др., посвящен эр. НРедисловие к ТРетьему издАнию годическим проблемам теории динамических систем, в том числе механических. Обнаруженные во всех зтих теорилх факты потенциально имеют широчайший круг прнложенвй, но, поскольку они были открыты лишь недавно, и изложены лишь в специальной литературе, их применение сдержизаетсн пока относительной труднодоступностью математических текстов для прикладников.