Пестряков Б.В. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации (1973), страница 6

Следовательно, при распознавании многих сигналов схема содержит р,.каналов, в которых должны вычисляться отношения правдоподобия для всех возможных сигналов (или логарифмы отношения правдоподобия) и принимается гипотеза о действии того сигнала, для которого выход (отклик) соответствующего канала в конце времени наблюдения больше, чем у остальных каналов. 23 В реальных условиях часто встречаются более сложные случаи распознавания многих радиосигналов. При этом наблюдается смесь сигнала и помехи и должно быть принято решение„ какой из сигналов действовал в течение времени наблюдения. Согласно основным выводам теории решений в общем случае минимальный риск обеспечивается, если выбирается гипотеза о действии того сигнала, для которого апостериорная вероятность максимальна [2.1!. В случае, представляющем наибольший интерес в системах передачи информации, когда сигналы равновероятны, имеют одинаковые энергии, цены переименования и степень неортогональности, правило решения упрощается.

При этом должна выбираться гипотеза о действии того (1-го) сигнала, для которого отношение Следовательно, во всех случаях обнаружения и распознавания оптимальные схемы должны вычислять отношения правдоподобия (или логарифмы этих отношений) и сравнивать их с порогом либо между собой и принимать соответствующую гипотезу (решение). 2.3. Оптимальные алгоритмы и схемы обнаружения и распознавания шумоподобных радиосигналов. Достоверность приема Модели сигналов, для которых в настоящем параграфе будут рассмотрены оптимальные алгоритмы и схемы, обоснованы в 3 2.1.

Предполагается, что сигналы имеют случайную или известную фазу. Амплитуда сигнала будет рассматриваться как известная, неизвестная и случайная величины. Частота и задержка рассматриваются как известные. Незначительные изменения (или отклонения) частоты и задержки учитываются в модели сигнала со случайной фазой и не требуют отдельного рассмотрения. Будем предполагать, что никаких ограничений на функцию времени, описывающую сигнал, и на его спектр не накладывается. Такой общий подход необходим, так как позволяет получить результаты, пригодные для разных радиосигналов, включая ШПС.

2.3.1. Обнаружение сигнала с неизвестной амплитудой и известными остальными параметрами Такой сигнал может быть записан в виде з (1 0~ рз ") = про (1). (2.3.1) ш (х, х, ... хь /а, зп) = т, 1 ехр — — 1 (х(1) — а,з, Я)'г(1 1 (' (2яол) н~ 'чп ! Поскольку наблюдение смеси целесообразно вести в течение всего вре- мени действия сигнала, то приняты пределы интегрирования от О до Т„т, полагаем равной нулю. Логарифм условного отношения правдо- подобия будет равен т, 1п1(х/а,) = — '+ —" ~ за(г) х(г) г(г, ~~л т4» ) о где Е, — энергия сигнала.

24 (2.3.2) Сигнал с известной фазой при обнаружении практически не встре- чается. Но рассмотрение этого случая полезно в методическом отно- шении. Многомерная условная функция распределения смеси будет иметь вид Если амплитуду сигнала а, считать переменной, но детерминированной величиной, то выражение (2.3.2) можно использовать для синтеза оптимального алгоритма и схемы. При этом условия принятия гипотезы Г, даются выражением г„~ зо(1)х(г)с(1) — "1п П+ — ' =-П,. (2.3.3) о 2а 2а, При П=1 П,ии=Е,(2а,=Тла~4. Как видно из результатов, и, влияет не на структуру оптимальной схемы, а на величину порога, используемого в ней. Выражение (2.3.3) раскрывает оптимальную процедуру обработки смеси.

Соответствующая схема приведена на рис. 2.3.1; на схеме использованы обозначения: х — знак умножения, ИНТ вЂ” интегра- Рис. 2.3Л. тор, ГКС вЂ” генератор копии сигнала, ПУ вЂ” пороговое устройство, П вЂ” устройство, вырабатывающее напряжение порога; + соответствует принятию гипотезы о действии сигнала Г,; — соответствует принятию гипотезы об отсутствии сигнала Го. Очевидно, что оптимальная процедура сводится к выявлению корреляции между смесью х (1) и копией ожидаемого сигнала зо (1) (с единичной амплитудой). Схема, вычисляющая (2.3.3), называется обычно коррелятором. Формула (2.3.3) конкретизирует общее выражение (2.2.7) для выбранной модели сигнала. Однако ранее было показано, что амплитуда сигнала обычно неизвестна. Тогда оптимальный обнаружитель, реализующий критерий минимального среднего риска, не может быть реализован из-за невозможности выбора порога П,. Это одна из основных причин того, что'системы передачи информации с пассивной паузой не получили распространения.

Однако в системах передачи информации с ШПС нельзя избежать необходимости решения задачи обнаружения, так как оно требуется в режиме поиска. В этих случаях необходимо использовать критерий Неймана — Пирсона и устанавливать порог, исходя из допустимой вероятности ложных обнаружений. Как будет показано ниже', при этом порог не зависит'от амплитуды сигнала. и от априорных сведений. Рассмотрим теперь свойства оптимальной схемы. В оптимальной схеме риск минимален, но не равен нулю.

При действии одной помехи отклик г„в момент принятия решения, являясь случайной величиной, 25 Р(Г,~О)= ~ ш(г„)Ыг„, Пе (2.3.4) и, Р(Гма)= Г~ш(г,.) пг„.. (2.3.5) Функции распределения получены в 3 2.4, они являются нормальными и интегрирование приводит к табулированным интегралам. После пре-' образований получим [2.3, 2.4) Р (Г,(0) .=- 1 — Р (4П,(У„Т,), Р(Г,!з) = 1 — Р (Е,4Ȅ— 4П,(Л'„Т,), (2.3.6) где Р(у) == — ( е — ю~лаа, ~/2л Если обнаружение осуществляется в режиме приема информации, то при использовании критерия идеального наблюдателя после преобра- зований получим Рош = З (Р (Г~~О) + Р (Го!з)) = 1 — Р (Л/Еи~2~и) = 1 — Р (0,5д,;,„), (2.3.7) Зависимость Р, от Е,/М„дана на рис, 2.3.2 (кривая а). При использовании критерия Неймана — Пирсона исходят из допустимой вероятности ложных обнаружений и определяют порог П, „„, который обеспечивает заданную вероятность Р (Г,!0).

Этот критерий применяется тогда, когда обнаружение используется в режиме поиска. В этом случае неизвестно, работает система или нет и имеется ли сигнал на проверяемых частоте и задержке. Цик- 26 может превысить порог и будет принято ошибочное решение о действии сигнала. В свою очередь, при действии сигнала за счет влияния помех отклик г„может не достигнуть порога и будет принято ошибочное решение о том, что сигнала нет. Поскольку в дальнейшем будут использоваться результаты, получающиеся при применении критерия идеального наблюдателя, то результаты работы схемы могут характеризоваться не риском, а вероятностью ошибок. Также вероятностями ошибок характеризуется работа схемы при использовании критерия Неймана — Пирсона.

Для вычисления вероятности ошибок нужно осуществлять интегрирование функции распределения величин г„и г„, сравниваемых с порогом, в пределах, определяемых порогом, лов таких проверок может быть много. Если прн их выполнении происходит ложное обнаружение, то это.прпводнт к потере времени, так как последующая проверка не подтверждает правильности обнаружения, и поиск возобновляется. Количество циклов может достигать 1()"— 1()' и более, поэтому обычно считают допустимыми незначительные вероятности ложных обнаружений при каждом цикле обнаружения.

Обычно Р (Г,/О) принимают равной 1О ' — 10-'. Подробно это рассмотрено в гл. 5. Очевидно, что модель сигнала с известной фазой не может быть применена при исследовании реальных условий обнаруже- 0 70 20 З0 Е~(Мп р Е~~М~ 70 У0 70 70 Ров Ряс. 2.3.2. ния при поиске. Однако для того чтобы получить представление о тех потерях, с которыми связано обнаружение и поиск сигнала со случайной фазой по сравнению с сигналом с известной фазой, который практически в случае поиска не может быть реализован, приведем основные выражения для этого случая.

Если порог должен определяться исходя из Р (Г,/О), величина котогрой считается заданной, то из (2.3.8) получаем П нп = (Т,М,74) агй Р 11 — Р (Г,У(1)), (2.3.8) где агу Р означает функцию, обратную Р. Выражение (2.3.8) подтверждает сказанное ранее о преимуществах и смысле критерия Неймана — Пирсона. Как видно, порог не зависит от априорных сведений, необходимых при использовании критерия минимума среднего риска, и от амплитуды сигнала. Поскольку вероятность ложного обнаружения задается и используется для выбора порога, то основным качественным показателем обнаружителя будет вероятность пропуска сигнала, которая получается путем подстановки порога, определяемого (2.3.8).

27 Тогда получаем Р (Го/з) = 1 е)У2е.,/г/„— аяг Р 11 — Р (Г,/0)1). (2.3,9) График зависимости 1 — Р (Г0/э) = Р (Г0/з) от отношения Е,/И„ при заданной вероятности Р (Г,/0) дан на рис. 2.3.3 (сплошные кривые). / (/;/л) 1' ев//гл т е0з/гл Рис. 2.3.3. 2.3.2. Распознавание двух ненулевых сигналов с известной фазой(активная пауза) Как будет показано дальше, при распознавании влияние неизвестности амплитуды на оптимальные алгоритмы и схему носит совершенно другой характер, чем при обнаружении. При распознавании двух ненулевых сигналов с неизвестной амплитудой имеем зз (1 1~ р0 " ) = пмаоз (1) 30 (1, ))„рз, ) = а„300 (/).

Из (2.2.13) и (2.3.2) следует, что условие принятия решения о наличии сигнала 3, (1), т. е. принятия гипотезы Г„при условии, что сиг- г, палы з, (1) и 30 (1) ортогональны, т. е. ( э, (/)30(/)и/= О, имеет вид Ь + + ( 500(/)х(1)(1 0~ 500(1)х(1)(1)!ПП Л0 //и лл 0 0 где Е„и Е,, — энергии сигналов 3, (1) и 30 (1). Очевидно, что поскольку сигналы з, (~) и з, (г) несут одинаковую информационную нагрузку, то целесообразно делать их равной энергии (длительности) и амплитуды. Тогда Е„=- Е,, == Е,. а„= а, о = а„ Кроме того, по изложенным выше причинам обычно в системах радиосвязи, использующих распознаваниедвух ненулевых сигналов, можно положить, что П = 1. При этом условие принятия решения о наличии сигнала з„(г) имеет вид т, т, Лат- ~ зо1(~)х(()Й вЂ” ~ зо,(Г)х(Г)Й) О. (2.3,10) о о При Лг„( 0 должна приниматься гипотеза Г„о действии сигнала з, (1).

Формула (2.3.10) является конкретизацией (для выбранной модели сигнала) полученного ранее в общем виде выражения (2.2.12). Ряс. 2.3.4. Следовательно, оптимальное распознавание двух ненулевых сигналов на фоне помех при неизвестной их амплитуде приводит к схеме с двумя корреляторами, вычитающим устройством и нулевым порогом.