Определение величины коэффициента сопротивления λ при движении вязкой жидкости в круглой трубе

ОПЕРГДЕ~ЕРПБ ВБЕЧБ1Ы КОЭйЫЯРБЫТН СОПРОТП31ББИ Х ПРй ДВЖЕН1П1 ВЫ~КОИ ЕЩКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ Цель задачи: изучение закономерностей течения вязкой жидкости в трубах при ламинарном и турбулентном режимах, построение графика зависимости козффициента сопротивления трубопровода Л. от числа Рейнольдса и сравнение экспериментальных результатов с имеющимися теоретическими и эьпирическими формулами. Элементы тео ии. При движении жидкостей в трубах существуют два качественно различных режима течения: лаьинарный и турбулентный. Различие между ними можно проследить, наблюдая за движением отдельных частиц жид- кости в достаточно длинной стеклянной трубке.

Для того, чтобы зафиксировать отдельные частицы, в поток вводят опилки, пудру или краску и следят за движением отмеченных ими частщ. Введем, например, в нашу жидкость, движующуюся по стеклянной цилиндрической трубе, тонкую струйку краски. Оказывается, что когда скорости движения жидкости не очень велики, подкрашенные частицы движутся параллельно образуют трубки, сохраняя очертания струйки и не перемешиваясь с окружающей жидкостью. Такое движение, когда част~щы движутся струйками или слоями, не перемешиваясь с соседними слоии, называется лащнарным. При ламинарном движении по трубе зти струйки параллельны оси трубы, а частицы имеют только составляющую скорости, параллельную оси трубы. Если теперь в том же опыте увеличивать скорость движения жипкости по трубке, то при некотором, вполне определенном значении скорости наступает момент, когда слоистость течения исчезает, подкрашенная стру|пса расплывается, и вся жидкость окрашивается.

Это говорит о том, что частицы жидкости, кроме основной составляющей скорости вдоль оси трубы, имеют еще поперечные составляющие. Зти составляющие носят хаотический характер, так что невозможно заранее предсказать их величину и направление. Такой режим течения называется турбулентным. При изучении движения жидкости по горизонтальному трубопроводу нас будут интересовать две задачи: первая — определение гранжеры перехода от ламинарного режима к турбулентному (это важно для того, чтобы определпть границы применимости: теории ламинарного течения); вторая задача — исследование сопротивления трубопровода, которое проявляется в факте падения давления в направлении течения.

Ио ель вязкой ж кости В модели линейной вязкой жидкости связь между компонентами Р- тензора напряжений и компонентами ~~Д тензора скоростей деформации задается в декартовой системе координат формулами ~ =(-р+Ас~й. «) ~у +е/се,. Эти соотношения играют роль уравнений состояния и называются обобщенным законом Ньютона для вязкой жидкости. Коэффициенты Я. и ~~ называются коэффициентами вязкости и для каждой фиксированной среды во многих случаях можно считать, что они зависят только от темпера- туры. Коэффициент/ называется динаьплеским коэффициентом вязкости и имеет размерность~ ~~~ — — г/см.сек ~И ~„ Г ). Отношение =3~ У называется кинематическим коэффициентом вязкости и имеет размерность (д~ =сьР~сек (1„7 ) .

прл теипсратуре 15 с для зады = 0,01 г/см.сек, 'К =0,01 см-'/сек; для воздуха = 1,8.10 г/см.сет -4 т~ = 0,15 сьР/сек. Уравнения движения вязкой жидкости называются уравнениями Навье-Стокса и имеют вид: рЖ'-уУ:у сС д+~Л.+~с)ра с й'и.Г+ и~| где с~ 0 — оператор Лапласа от вектора скорости Ь Основным свойством вязкой к|едкости является факт прилипания ее к границам. Позтому условие на непроницаемой неподвижной границе .'Е имеет вид = 0 условие прилипания. 1у Течение П азейля Рассмотрим задачу о ламинарном стационарном движении неснимаемой вязкой жидкости в горизонтальной трубе.

Жидкость будем считать невесомой ~массовые силы отсутствуют). Примем, что скорость имеет только одну составляющую М , параллельную оси трубы. Такое движение называется течением Гагена-Пуазейля. Выберем ось Ж Ииосъ оси трубы, оси Еуи .и 3 сечении. — в поперечном Система уравнений вязкой несжимаемом жидкости О=Π— = У вЂ” — аМбУ~ О + КЬИ ~> бу в данной задаче принимает вид а'И вЂ” = Су эх + ~~~.М ЗХ Э Р эР 7 аЯ Граничные условия — условия прилипания на стенке трубы. Р=ср ири 2= мт ~~ты) и задание давлений,д и о в двух сечениях трубы. Из уравнений системы ~1') видно, что давление постоянно поперек сечения О= ~ОЯ ; распредсление скоростей не завысит от ~'- , т .е. одинаково во всех сечениях дыпнейпего удобно перейти к цилиндрической системе координат 3 аЧ/ АР 1 с~.'~ с~Р) ~, ~.

В этой системе 'У= ~® а Р= — + — — — — — ~~ — ) эу эм ~ Ы~ й-г и уравнение движения в проекции на ось трубы принимает вид Замечаем, что в этом уравнении левая часть зависит только ст -2 , а правая только от ~ . Оно может быть удовлетворено только в том случае, если обе части порознь будут равны постоянной. Обозначим ее через — ~ . уравнение (2) распадается на два И ~'- Кз первого уравнения виден физический смысл константы ~: это пос- тоннный градиент давления вдоль трубы. И он может быть найден по заданным значениям давления в двух сечениях трубы.

,= Р-В Г Здесь ~ — расстояние между сечениями, где измерены Д и интегрирование второго уравнения два раза по Й дает — + с~й1 +С Чтобы решение было ограниченным, необходимо потребовать ~. = 0. Вторая константа С находится пз условия прилипания Я= О ~оя., '<'= Я. Ц. — радиус сечения трубы. и формулу для скорости г~ ~. г и у ~=1— с ц (а~-К ) или И= — у-(О. -Е ) 7 Ф~ Лалее будем считать, что труба имеет круглое сечение. В таком случае постановка задачи обладает осевой симметрией и можно искать решение системы (1*), не зависящее от угла в плоскости, перпендикулярной оси трубы (если этим свойством обладает распределение скорости на входе, т.е. в начальном сечении ла1птнарного участка). Для Таким образом, в ламинарном течении распределение скоростей одно и то же во всех сечениях и имеет параболический профиль.

11аксимальная скорость — на оси трубы. Зто так называемая осевая скорость Л, К-Р а о Расход жидкости определится интегрированием поля скорости по сечению а Д= и®г.-,й= ~ ~г,-~~~~~ а~.~ = -.~ ~ .' :;1сено ввести понятие средней скорости (средней по сечению) как отношения, У Я ср. где,Я вЂ” площадь поперечного сечения трубы. Для течения Пуазейля в круглой трубе очевидно Ц = — ~: аа.

с~~ ' (3) вр~ йз опыта известно, что при ламинарном режиме течения в длинных трубах устанавливается течение Пуазейля, если даже на входе в трубу профиль скорости не был параболическим. Параболическое распределение скорости устанавливается не сразу по выходе трубы из напорного бака, а на некотором расстоянии от него..В начальном сечении поле скоростей можно считать приблизительно равномерным по сечению. Затем,из-за вязкости частщы, блпзкие к стенкам, начинают тормозиться, а частипн на оси трубы разгоняются; поле скоростей меняется до тех пор, пока не достигается параболическое распределение.

Таким оно и остается вдоль всей остальной трубы. Длина того участка, на котором течение приобретает параболическое распределение скоростей, по экспериментальным данным составляет г. ~Ы примерно 0065'а- — . Поэтому, чтобы иметь дело с течением Пуазейля, нужно чтобы трубопровод был достаточной длины и проводить измерения достаточно далеко от выхода из бака. Со отивление т боптово а При движении жидкостей по горизонтальным трубам, как показывают наблюдения, при любом режиме течения происходит падение давления вдоль трубы в направлении течения. Т.е. жидкость испытывает сопротивление своему движению.

Сила сопротивления, которую испыты- вает некоторый элемент жидкости, может быть вычислена через потери в давлении как где лУ вЂ” площадь сечения трубы. Опыт показывает, что при любом режиме движения падения давления /э~ ~0 в развитом течении (далеко от входа) оказывается д пропорциональным длине участка трубы между сеченияьи 1 и 2. Поэтому сопротивление можно характеризовать величиной При движении несжимаемой жидкости с постоянным расходом Я в трубе постоянного сечениями средняя скорость течения Р- „д во всех сечениях трубы одинакова.