Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 9

ТЬЬ сап Ье зееп аз а ппхспге оГ 1егбсо8гарЫс апд счЫсе-Ыассс огдепп8. ТЬе сопсерс Ь Ьея Шпзсгасед счссЬ а Гесч ехатрсеь. %$$Ь Ьог(кол!а! Гогсчагг) сыЬ!ге-Ыас!и Слизи — БеЫе! сЬе 8гЫ ро!псз аге сд»Пес$ Ьопкопса1 Ппе Ьу Ьоп'- копЫ Ипе ш огбег оГ !псгеаяп8 1 (Гопчагд), иыЫ!е рег Ппе сЬе 8гЫ рошсз аге пшпЬегед !п»$йе — Ыас1с огдег, сГ. Р$8пге 4.3.1. ТЬе Ппез сап асио Ье са$сеп 1п огдег оГ бесгеазш8 7', гезп16п8 1п Ьопкол!а1 Ьас)ггыагб сыЫге-Ыас1г Саля-Бе!Ие!. $)о1п8 опе айег йе оСЬег Гдчеь Ьопколгас зутте!пс с»Ы1е — Ыас!и Салия — БеЫе1. ТЬе Ппез сап а)зо Ье са1сеп чеп!саПу; ИБпге 4.3.1 П!пзсгасеи ыеггка1 Ьасlгсчагс( сыЫге — Ыассг Саизи-Бе!бе1.

СотЫп!п8 Ьоп'- копса1 апд чегс!са1 зуттесг(с счЫсе-ЫасЬ Оапзз — Бе!де! 8!чез а!геглагт8 счЫге-Ыасlг Салаг — БеЫе1. Ч»Ысе-Ь)ас)с Ппе Оапзз-Бесде1 огдепп8 Ьаь Ьееп ргорозед Ьу Чап$са апб М!зе8адез (1986). СЧ(сЬ Ыос1с Оапя — Бе!де!, йе ппсспоиыпз соггезросиПп8 со Ппез !и йе 8гЫ аге прс$асед япш1салеопз!у. Ролмагб апд Ьас)гсыагб Ьопколсас Иле Салия-БеЫе! сопезропд со сЬе Гог» агд апд Ьас)ссчагб огдег!п8, гезресс!че1у, сп Р!8ше 4.3.1.

Р$8пге 4.3.2 8!чез янпе пюге огдепп8» сог Ыоссс Опояз — Бейс!. Буттегг!с Ьог!солса! Иле Салаг — Бе!бес Ь Гоги ап$ Ьопюппд !ше Оапзз — Бе(де! ГоПоиыеб Ьу Ьасссиыагд Ьопюпса1 Ппе Оапзз-Бе!де1, ог чгее чегза. А1!еглагсл8 кеЬга Салаг — БеЫе1 !з Ьопюпса1 кеЬга ГоПоичед Ьу чегдса1 кеЬга Салия — Бйбе!, ог сбсе чегиа. ОсЬег сопсЬ(пасюпз соте со пппд еая1у. А зо!псюп тесЬод Гог сгийа8опа! зузсетз ТЬе Ыос1с-!сега6че тейосЬ йзспяед аЬоче гессшге сЬе зосппоп оГ спйа8опа1 зузсепси. А)8опсЬтз тау Ье Гоппд ш пилу сехсЬооссз. Рог анп- Е»отрсеи оУ Ьояс иегоаые тейоаь: йосоЬ~' ела Саля-Бе!бе! р1есепезз сче ргезепс а яшсаЫе а18опсЬпс. 1.ес йе тасях А Ье 8!чеп Ьу ТЬе зо1Шюп оГ Аи = Ь сз оЫяпед Ьу Ьас1»зпЬзг!Сп6оп: ус = Ьссыбс, у» = (Ь» — с»у»-г)(8», 1= 2,3, ...л и»=у.

и»=у» — е»у» с А.=л — 1 л — 2 . 1 ТЬе сотрпгадопа1 счог$с гессп!геб Гог (4.3.6) апд (4.3.7) Ь ТЬе з(ога8е гесса!гед $ог 8 апд е 1з 2л — 1 геаЬ. ТЬе ГоПосч!п8 йеогет сдчез сопйдопз сЬас аге зп(8ссепс со епзпге йас (4.3.6) апд (4.3.7) сап ье сагпед опс апд аге зсаые чдсь гезресс со гоппдш8 епогз. 1бс! > 1ес! >О, )сГ»( > (с»~ >О 1и!») > !с»~+ ~ е»), с»е» яО, 1г — 2,3,...,л 1 !ег! <1, 0< !6») — )с»( < !6») < 16»!+ !с»! ТЬе занге Ь Сгпе !Г с апб е аге шгегсЬап8еб. 46 Вав(с аегааче те(аоав Уесгогсхей апй рагапес сошриипа '(4.4.1) М= ЬГ) (4.4.2) М=ЬЬТ Ап а!сегпайче Гассопхайоп оГ М 1з (4.4.3) М =ЬР ($3 (4.4.4) (Г.Р '$))я( = аи, ч(((, !) в 8$ Гузиге 4.3.3 Иче-роси! всепс$! Б = ($$+ Р)-(Ь(Ь+ Р)-'1$ (4.3.11) Ехегссве 4.3.2.

Ргоче ТЬеогегп 4.3.1. РгооЯ 'Пиз и а зИ8Ы1у зЬагрепей чегяоп оГ ТЬеогеш 3.5 $и 1ваасвоп апй Кепег (1966), апй Ь еая1у ргочей а!оп8 сЬе ваше Ипез. П реп сЬе спй(ааопа! шаспх геяипв Ггош аррИсапоп оГ а Ыос$( Иегас[че шесЬой со а зувсегп оГ «Ь(сЬ сЬе шаспх $з а К-шаспх, сЬе сопйпопя ТЬеогепс 4.3.1 аге вапзйей. ТЬе Ьык $сегайче шеймкЬ йзсызей аЬоче й! ГГег си сЬегг яисаЬг! Иу Гог сошрис(пх «ЬЬ чессог ог рагаИе! псасйпез. Б(псе сЬе ирйасей сргапсйез аге пшсиаИу $пйерепйепс, 3асоЬ( рагаИЬев аий чесюпвев сошр!есе1у, чйсЬ чессог 1епасЬ 1« Х ГГ сЬе всгиссиге оГ сЬе всепсг! [А) $я аз !п Рщиге 3.4.2(с), йеп чйй хеЬ(а Оаивв-БеЫе! сЬе ирйасей Ыос1сз аге пшсиаИу спйерепйеш, апй сап Ье Ьапй1ей япш1сапеоия!у оп а чессог ог а рагаИе! шасЫпе. ТЬе ваше и сгие сот роспс Оаиы-БеЫе! $Г опе сЬоовев а зшсаЫе Гоиг-со!оиг огйегша всЬепсе.

ТЬе чессог 1епасЬ Сог Ьопгопса1 ог чегйса1 хеЬга Оаизз — БеЫе! Ь 3 ог Ь геврессЬе1у. ТЬе счЫсе апй Ыассс 8гоирв $п счЬ(се — Ыас1( Оаыя-БеЫе! аге ишсиапу шйерепйепс $Г Исе зсгиссше оГ [А! Ь рчеп Ьу Рсхиге 4.3.3. ТЬе чессог 1епасЬ 1з Гч У(2. %$(Ь (Иааопа! Оаизв — Бейе1, сЬе ро!пи шяйе а йсааопа! аге ишсиапу $пйерепйепс (Т йе ягиссиге оГ [А] Ь 8!чеп Ьу Р$8иге 3.4.2(Ь), !Г сЬе йахопаЬ аге сЬовеп м 1п Иаиге4.3.1. ТЬе яапсе !в сгие «Ьеп [А) Ьав сЬе всгиссиге 8!чаи $и Р$8иге 3.4.2(а). $Г йе йахопа1з аге гоСа(е($ Ьу 90'. ТЬе ачегаае чесгог 1еп8СЬ Ь гои8Ыу Г(2 ог 1(2, перси(Ип8 оп (Ье 1епхсЬ оГ!агхезс сЬе йахопа! $и сЬе 8гЫ. %$$Ь Оаизз — БеЫе1 — )асоЬ( Ипея !и сЬе 8гЫ сап Ье Ьап(Пей сп рагаИе1; сот ехашр1е, «ИЬ сЬе Гогсчагй огйеппа оГ Рсаые 4.3.1 йе рошсз оп чегйса1 Ипез сап Ье ирйасей гп рагапе$, сева(с!их ги а чессог 1еп8(Ь 3.

1п счЫсе — Ыас1( 1ше Оаивз — БеЫе! роши оГ сЬе ваше со1оиг сап Ье ирйасей япшИапеоы!у, гезиЫп8 $и а чессог 1епхсЬ оГ Г(2 ог 3(2, аз сЬе сазе шау Ье. Ехегс$ве 4.3.1. 1.ес А = Ь + Р + 1$, чйй (ц = 0 Гог,! > (, В = йа8(А), апй ко=О Гог /<('. БЬосч сЬас сЬе !сегасюп писпх оГ зупипесгсс роси! Оаивз — БеЫе! Ь 8(чеп Ьу ехатр(ея о( Ьаяс ((ега(ье тей кь: (асотр(е(е ро(т (. $(Гас(ог(ва((а 'и 47 4.4. Ехапвр!ев ОГ Ьаз)с $1егаПче гпе1Ьоды $псогпр[есе ро!пс ЬА) Гас!от!хаПоп Соиср!еве 1Л) Гас(опхавюп 9(гЬеп яосчйп8 Ау = Ь (Игесс1у, а Гассопгапоп А = 1А! !в сопя!гас!ей, чйсЬ Ь апй $) а 1осчег ап(1 ап иррег спапаи1аг шагпх, ТЬи сче саИ сотр(е(еХас(опвайоп. счЬеп А гергевепгв а йвстеге орегагог ч!!СЬ зСеис$1 ясгиссиге, ог ехашр1е, ая си Рсхше 3.4.2, йеп Ь апй б шгп ош со Ье пшсЬ!еи врагяе йап А, «Ь(сЬ гепйегя сЬЬ спесЬой $пеГИс!епс Гог сЬе с1мз оГ ргоЫепи ипйег сопз[йегайоп.

$псошр!еге роси( Гасзопваиои %$СЬ!псотр(е(еХас(огаа((ои ог театр(е(е Ь1),Гас(ог(за((ол ($Ь($) опе аепегасев а врИсс1пх А = М вЂ” свс счссЬ М Ьачспх яра(хе апй еыу со сошрисе 1осчег апй иррег Сг(апач!аг Гасгогв Ь апй Гй Н А Ь яусшпеспс опе сЬоовез а вушшеспс Гассопхапоп: сч'1$Ь театр(е(е ро!и(,Гас(ог(за((оп, Р и сЬозеп со Ье а йааопа1 шаспх, апй йа8(1,) = й(а8(($) = Р, зо йаС (4.4.3) аий (4.4,1) аге ессшча!епС. Ь, Р апй ($ аге йесепп!пей ав ГоИочгв.

А 8(ар(( Ф оГ сЬе 1псошр1есе йесошрозЖоп и йеапей, сопявпп8 оГ с«ю-сир!ея ((,,!) Гог счЫсЬ сЬе е!еигепсв (ш й ап($ иц аге апис«ей со Ье поп-хе!о. ТЬеп Ь, Р апй 1$ аге йейпей Ьу 9(ге «ИИ йзсии а Геч чалапся оГ $Ь(3 Гас!о!!гас!оп. ТЬеяе гези1$ ш а зрппш8 А = М вЂ” $4 чйсЬ М = ЬР г1$. Мой(Г(ей театр(е(е роша,Гас(ог(за((ол Ь ощаспей !Г Р аз йейпей Ьу (4.4.4) Ь сЬапхей со Р+ аР, «1$Ь ив $$ а рагашесег, апй Р а йааопа1 пшспх йейпей Ьу Йяя = Е(, з ( ии ).

Ргош пост оп йе пюйсйей чегяоп «4И Ье йзсиззей, япсе йе пашой!Ией чегвюп !опоя«в аз а вреси1 саяе. ТЬЬ ог з!ии!аг пюййсасюпв Ьаче Ьееп 1пчевсщасей ш сЬе сопсехс оГ иийсщгЫ сиейойз Ьу НепФег (1980), Оегсе! ап($ БсОЬеп' (1989), КЬа)И (1989, 1989а) апй %!ссшп (1989а, 1989с). ЪЧе с«[И (Изсии а Гесч чапапсв оГ пюййей !Ш Гассопхасюп.

48 Помо 11»гаа»е тес»од» Р!че-ро!пс 1ЕЦ Ргош (4.4.4) Ь Гойосчв (4.4.8) с»= а, у=с, а=с), (4.4.9) сс = а, П+ скб р = й, г+ скб !' = с -1 -с Ь+ об ~»с+ 136 ~Т+ 7Б со = д+ од и+йь '9=9. Г+тб 'а=У 9=8 (4.4.16) (4.4.10) (4.4.12) (4.4.18) 1.ес сйе 8гЫ Ье 8!чеп Ьу (4.3.1), 1ес сЬе йпд ро!псв Ье оп$егед ассопПп8 со (4.3.2), апс$1ес СЬе в!гас!«ге о( СЬе всепсс! Ье сйчеп Ьу Р!8пге 4.3.3. ТЬеп сйе 8гарЬ о(А Ь [(к )' (Сг')г 1) (К)с) Сл )г+ 1), (Сг, + $)) (4,4 5) Рог Ьгегдсу СЬе Сойо«чпб посайоп !в !ассад«сед »= а»4-и дк= ам, Чк= а»»+ь 8»= аз»»1 (446) 1.ес сйе 8гарЬ о( СЬе спсопср1есе (ассопхайоп Ье 8!чеп Ьу (4.4.5), апд 1ес СЬе поп-сего е!ешепсв о( Ь, Р апд 1) Ье сайед ск», 7», Б», р» апд»$», СЬе 1осас1опв о(сйеве е1епсепсв аге Ыепйса1 со 0юве оГ а», ..., 8к, гевресйче!у. Веса«се сЬе 8гарЬ сопсашв йче е1епсепи, сЬе гевп[йп8 шесЬод 'и сайед Дче-рослг П,К Ьес ск, ..., »$ Ье сйе П*П шаспсев чдсЬ е!ешепм а»,..., хя гевресс!че!у, апд япп!аг!у (ог а, ..., 8, ТЬеп опе сап кчпсе ЬР $) = а+ 7+ Б+ р+ »$ + об и+ скб с»$+ 7Ь и+ чб с»С (4 4 7) апд, !а!год«с!пх шогййсайоп м девспйед айоче, Б+ аб '8+ сб '8 = с1+ од ТЬе гевс шаспх [кс Ь 8)чеп Ьу [кс = аб сс+ сб '8+ од ТЬе оп1у поп-сего ешпев ог" $»$ аге л»» г, с = акбк-'гц»-г, лк г+г-с = скбк с»8»-с (4.4.1!) лкк = о([лкк-»с [+ [пкк+г-с [) Неге апд 1п СЬе $ойо«чп8 е[епсепм сп сч)йсЬ шгйсев опсвЫе сйе гапае [1, П) осспг аге со Ье де!есед.

Ргопс (4.4.9) сйе (ойо«чп8 геспгяоп Ь ойсюпед: Ь» = дк — а»Б»два»-г — скбк-'нук — с + лы ТЬЬ (ассог1хасюп Ьав Ьееп яшйед Ьу Рпропс ег а1. (1968). Ргош (4.4.12) П (ойосчв СЬас Б сап очег«чйе д, во СЬас сЬе оп1у асЫ!Попа! Ехотр!ев ог Ьо»1с 11»гаггче тег»одвг Слсотр1еге роом С.сг~асгогиаггол 49 яогайе гесса!гед и сог [кс. чч'Ьеп гесса!год, сйе гев' — у"" ' Ыпа1 Ь вЂ” А "" сап Ье сошршед м (ойосчв «чсйопс пв!п8 А: й — А ~+' = Скс(у~+' — у ) й- у (4.4.13) «йисЬ !ойосчв еазйу Ггош (4.1.3). (йпсе [кс Ь пвпайу пюге врагве сйаик А, (4.4.13) ы а сЬеар с»ау Со сопсрпсе сЬе гевЫпа1. Рог ай шесЬодв о Суре (4.1.3) опе пеесЬ со всоге оп1у М апд Скс, апд А сап Ье очегтпссеп.

Вечеа-ро!пС ПЛ) ТЬе сеппшо!оху вечеа-рослг »Т.»1!пдксасев СЬас сйе 8гарЬ о( сйе !псошр!есе Гассопгайоп Ьм вечеп е!ешепсв. ТЬе 8гарЬ б и сЬовеп ав Сойосчв: П [(1 1+ 1) (Сг 1;~. 7+ ц рс,11+1), (Ф,11)) (4.4.14) Ь Ь Ь г" А Ье сопга1пед 1п 6. Рог Ьгегдсу «е «чйе а»= акт-г Ьес С е агар о Ь =, —, ск = ак,к-и д» = ан, Пк = ак,»» ь .С» = ак,к»г-ь бк = а»,»»г. ТЬе всгпсспге ос СЬе вСепсй аз»ос!асед т!СЬ СЬе шаспх 3.4.2(а).