Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 8

ТЬеп Ь псау Ьарреп СЬас е шсгеавеи с)пт!пе Сйе 6гзс (есч Иегайопв, Ьпс ечепсиайу е" «лП всагс Со т(есгеаве, ТЬсз Ь гейессет) !и сЬе Ьейач!опт о( !! Б" !! ав уйчеп Ьу (4.2.5). ТЬе солт)11!оп р(Б) < 1 и а1во песеяагу, ав шау Ье зееп Ьу саЫп8 е со Ье сйе е!8епчессог Ье!опх!пе со (опе о() сЬе айво1псе!у!агйевс егеепча1пев. Непсе ле Ьаче зйоттп сЬе (ойотч!п8 сЬеогеш. ТЬеогеш 4.2.2. Сопчегхепсе о( (4.1.3) Ь ет!шча!епс со Кейп1аг ирйсйпйв апй М- авс К-шаспсев Вейпсйоп 4.2.2. ТЬе врйтИп8 (4.1.2) Ь саПет) гехи(аг !т" М ' > О апсС Х > О (е1ешепттч!ве). ТЬе зрйвПп8 и солчегхелт чтйеп (4.1.3) сопчегеев.

Рейпйсоп 4.2.3. (Чагйа 1962, Рейпйоп 3.3). ТЬе шатпх А 1з саПет) ал М-та!тех 1т" аа < О (ог аИ й / е!1Ь ! ~ ), А 1з поп-япхп!аг аптС А ' > О (е!ептепся1зе). ТЬеогеш 4.2.3. А тейп!аг врйсс!п8 о( ап М-шаспх Ь сопчегйепс. Ргоо)'. Яее Чагеа (1962) ТЬеогеш 3.13, П А япоосЫп8 шесйос) и со Ьаче сЬе ятоогй!лх Ргорегту, тчЫсЬ члй Ье с)ейпес) сп СЬарсег 7. 1)п(опппасе!у, а тейп!аг врйсйп8 о( ап М-шаспх т)оев пос песезвап!у Ьаче сЬе зшоосЫпе рторегсу.

А соппсегехаспр1е Ь сЬе )асоЫ птесйод (со Ье тС!испзвес) зйотс!у) аррйетС со ).ар!асс'з ецпаИоп (вес СЬарсег 7). 1п ргасйсе, Ьотчечег, И си еаву со йпс) 8оосС япоосЫп8 псесЬотси 1(А 1я ап М-шаспх. Аи д!зстивед ш СЬарсет 7, а сопчегхепс ссегассче тпесйос) сап аЬчауя Ье спгпет) 1псо а шесйотС Ьачйпх сЬе впюосЫпй ргоретсу Ьу !пстос)псс!оп оГ аатр!лх. чуе ы11 йпс) !и СЬарсег 7 сйас ойеп сЬе е(йсасу.о( впюосЫп8 псесйотЬ сап Ье епйапсес) яйЫйсапс1у Ьу дэтпрсп8.

Рапрес( чегяопв оГ сйе шесйотЬ со Ье тС!зспззет) аге ой!а!пес) еая1у, пвш8 ет)пас!опз (4.1.8), (4.1.9) апт( (4.1.10). Непсе, !с Ь счопйтчЬПе со сту со дйюгес1ге ш яссЬ а счау сЬас сйе гевп111п8 шаспх А и ап м-шаспх. 1п оттсег со шайе и еаву со зее ст а тс!зевес!хас!оп шаспх и ап м-шаспх тче ргезепс зоше сйеогу. Рейп!поп 4.2.4.

А шаспх А и сайед !ггет!ис!Ые И (гош (4.1.1) опе саппос ехсгасс а впйзузсетп сйас сап Ье во1чес) спт)ерепт)епс1у. ТЬеогеш 4.2.4. 11 ан > О 1ог аИ! апс) !Г аа < О (ог аП 1, У чт!СЬ 1 Ф У, СЬеп А Ь ап М-тпаспх !1 ашс оп1у !1 сЬе зрессга1 тат!!пи р(В) < 1, итйеге В = Р 'С, Р= с(сай(А), апс) С = Р— А. Рюо(. Бее Уоппх (1971) ТЬеогетп 2.7.2. П 41 солчегзелсе оу" ьая1с ггегагье тегьоаз Вагге пепл>е тегаоая ~аа! > »„)ац~, аП 1.

(4.2.7) ро «л!1Ь вгпсв !иеипайгу 1ог аг 1еазг опе ю'. (4.г.п) т>ЩЯ ($) Л„($) = — — '1и!! $-1! т (4.2.12) (4.2.8) (4.2.9) (4.2.13) Я (Я)= -1п р($) ~~ аа>О,чг', у (4.2.10) Ехегс(яе 4.2.1. ТЬе !я-попп и аейпед Ьу !!х!И = ~, (х~!. 3-1 Твейп!Иоп 4.2.5. А гиагпх А Ьаз ячеай йахалаl г!от!палее !1 ТЬеогегп 4.2.5. Н А Ьая яеа)с йайопа1 допипапсе апд и итедпс1Ые, Изеп бег(А) ~ 0 апИ аа яя О, ай 1. Русого. Бее Уопп8 (1971) ТЬеогегп 2.5.3. П ТЬеогет 4.2.6. 1(А Ьая «еаЬ йайопа! дот!паосе апд!я !ггедпс(Ые, йеп 1Ье вресгга) гайпв р(В) < 1, «лгЬ В дейпед 1и ТЬеогет 4.2.3.

Ргоо». (Бее а)яо Уоипй (1971) р. 108). Аышпе р(В) > 1. ТЬеп В Ьав ап е!8епча)пе р ейгЛ ( р! > 1. РпггЬегпюге, дег( — ВТ) = 0 апИ ИЕ1(1 — р ГВ) = О. А В !ГГЕГ!ПС)ЫЕ; 1ЬПВ ВО И яа= 1 — а 'В, ! р ' ) < 1, ИШЗ. (» Ьав веаЬ йайопа1 дот!паиса. Ргот ТЬеогет 4.2.5, дег((») яв О, во ГЬаг чге Ьаче а сопггайсИоп. П ТЬе 1оге8о!п8 ГЬеогепи айо» ги Со 1огпш1а1е а яп(йс(еиг сопйИоп гог А 1о Ье аи М-тагг!х 1Ьаг сап Ье чепйег) Итр!у Ьу!пяресИоп оГ ГЬе е1етепИ о1 А. ТЬе (ойоалп8 ргорепу Ь пве(и1. 1)ейпй(оп 4.2.6. А таспх А и саПеа а К-тагпх !1 ал> О, ч1, аа < О, чй/ еигь )Ф у «11Ь явися !иег)пай!у 1ог аг 1еазг опе ю'.

ТЬеогет 4.2.7. Ап 1ггедис!Ые К-тагпх Ь ап М-тагпх. Ргооу. Ассогйпй го тьсогет 4.2,6, р(В) < 1. тьеп тьеогет 4.2.4 ййчея гье деяИед гевп11. П ТЬеогеги 4.2.7 1еагЬ го Иге сопИЬ1оп оп 1Ье гиевЬ Рбс!ег пшпЬегв ййчеи 1и (3.6.5). йоге ГЬая 1пвресИоп о1 ГЬе К-тагпх ргореггу 1з саву.

ТЬе (ойояч!и8 1Ьеогет Ь Ье!р»п! ш 1Ье сопя1пвсгюп о( гейи!аг врИИ!пйв. ТЬеогеш 4.2.8. ).ег А Ье ап М-тагпх. 1г" М и оша)пед Ьу гер1ас!п8 сегвшп е!етепи аа ячЬЬ ! яе у Ьу ча1пев Ьа хайя(у!п8 ас < Ьс < О, 1Ьеп А = М вЂ” 1Ч В а ге8п!аг врИИ!пй. Ргооу. ТЫв 1Ьеогет и ап сазу Вепегайхаг)оп о( ТЬеогет 3.14 1и Чзхйа (1962), яп88евгед Ьу ТЬеогепг 2.2 !и Ме!)епп)г апд чап бег Чогяг (1977).

П 1 ТЬе Ьаас Ьегайче тегЛог(я го Ье сопвдегед аП гезий 1п ге8и!аг врйгйпйз, апд !сад го пшпепсайу вгаЫе а)8опИипв, !1 А Ь ап М-тагпх. ТЬи!я опе геазоп иЬу!1 1в аИчйаЫе го йвсгейхе гЬе рагИа1 И!Иегепйа! ес~паг!оп го Ье во!чад ш яисЬ а ячау 1Ьаг 1Ье геви1Ип8 тагпх и ап М-гпагпх. Апо1Ьег геавоп и 1Ье ехс!иаоп о( пшиепса1 ал881ев ш 1Ье сотригед зо!игюп. Ваге о1 сопчегйепсе циррозе 1Ьаг Фе епог и 1о Ье гедисеИ Ьу а (асгог е я. ТЬеп 1и!! Я !! ~ — я(, во 1Ьаг гье пшпЬег о( Пега!юля геии!геИ ва1Ьйев ейгЬ 1Ье ачегаВе гаге оУ солчегае В„($) г!ейпед Ьу Ггот ТЬеогегп 4.2.1 11 (ойоэя 1Ьаг 1Ье азутргог!с гаге ог солчег8елсе !1 (й) и 8!чеп Ьу '=(." 3 Яюяч 1Ьаг !! Я !(я — т(р(Б)! ', мл)1Ьоп! иап8 ТЬеогет 4.2.1.

43 42 ююаз!с ююегаююче теюююаююя Ро!п1 Ласой!. М = с[!ай(А). 16 17 18 19 ЗЮ 11 12 13 14 15 б 7 8 9 !О 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1О 9 8 7 б !5 14 13 12 И 20 !9 18 17 16 Ьасвчяюб !8 9 !9 1О 20 6 16 7 17 8 13 4 14 5 15 и гюг ЧЮЬююсапяся Ропчяю6 Рогпагю) ог сехюсойгар!пс огюсеппй 10 14 !7 19 20 6 9 13 16 18 3 5 З 12 15 г 4 7 и Оюаяопас 16 19 17 20 18 И Ш 12 И и б 9 7 1О 8 ! 4 2 5 3 17 13 9 5 1 19 !5 И 7 3 18 14 1О б 2 20 !б 12 8 4 (4.3.2) А = ю+ (/- 1)Г Нопкосса1 Гсючаюа чгбюсГ Вася Чси!са! Ьясячаюа е Ысс4 Ыас1ю (4.3.3) !ю = / Г+ 1 — ю' — (/ — 1)Г 4 3 7 И !5 19 14 1 5 9 13 17 16 !7 18 !9 20 6 7 8 9 Ю И 12 13 14 15 1 2 3 4 5 4 16 8 20 12 3 15 7 19 1! 2 14 б 18 1О 1 13 5 17 9 Нопюаюяю ксЬюа чсюисвю юсЬюа соючаюд чспав1 ююас 4.3. Ехапвр!ев оГ Ьаяс Ьегаиче пюе(Ьос[вс,ваеоЬ1 апс$ Сапвв-Бе[с)е[ ЪУе ргезеш а ишпЬег оГ (пюзс!у) сопппоп Ьаяс 11егапче шесйоюсв Ьу юсейи!пй СЬе соггезроию[ша врПССшйз (4.1.2).

В!ос[с Ласой[. М ы ОЬса!иеюс Ггош А Ьу гер!асшй аюю Гог аП !,/ чюссЬ ,Ю ~ !, ю' а 1 Ьу гего. ч[ю!СЬ СЬе Гогючагюс огю[еппй оГ Иаиге 4.3.! СЫв 8!чез Ьоп'- гопса$ Ппе ХасоЬ1; юч[сЬ йе Гогючагюс чегйса! 1$ие огю[еппй оГ Ийиге 4.3.2 опе оЬсыпз чегпса1 Ппе Хасой[. Опе Ьопгопса! Ппе ХасоЫ Ьегайоп Гойоаею[ Ьу опе чеика1 1ше )асоЫ 1сега11оп а[чек а[сегпасшй )асоЬ!. Р!яаюе 4.3.3 Опюю ро!ию огюссгспяя Гог ро!О1 Оаазв-Бсше!. Р!яике 4.3.2 ОгЫ рошю оюбспивв Гог Ыоссю Оаыз-Беше!.

Ро1пс Саин-БеЫе1. М и ойсыпеюс Ггош А Ьу гер!асшй аа Гог аП ю,,ю чю[СЬ ,Ю > ! Ьу 2ЕГО. В!осК Саизз — БеЫе1. М Ь ОЫЫпеюс Ггош А Ьу гер1ас[пй аа Гог аП !,/ ючссЬ Ю > ю + 1 Ьу гего. ЕхатЮю!ез а/ Оюп!с «егагп е тейасЪГ УасаЬ! ааюю Оаивг — Беююсе! Ргош ТЬеогепю 4.2.8 !С $8 ппшеюйасе!у с!еаг 1ЬаС, 1Г А Ь ап М-шаСпх, 1Ьеп 1Ье )асоЬ! аиюс Оаизз — БеЫе! шеюйою$8 соггезропю[ Со гехи!аг врПСС!паз. Саивв — БеЫе! чапапюз 11 !огиз оис 1Ьас 1Ье еГйс1епсу оГ Оаизв-БеЫе! шейоюЬ юсерепю(в зсгопй1у оп 1Ье огюсеппй оГ ессиапопз апю$ ип[споючиз ш шапу аррйсайопв.

А!во, 1Ье ром[Ы1!Пез оГ чесюог[гею[ апюс рагайе! сошрийпй юсерепюс зюгопй[у оп Пив огюсегспа. 8(юе поюч, сйегеГоге, юс!зсизз коше рокк!Ые огюсег[пйз. ТЬе еюсиайопв апюс ип[юпоючпв аге аззос[аюею[ !и а пасоса! чюау юю[1Ь ро1018 !п а сошри1аСюпа1 йпд. Ь зисйсез, йегеГоге, Со юс!зсизз огю$еппйз ОГ сошрШайоиа! 87Ы рошпь $ЮСюе гез1псс оигзе1чез 1о а Ссчо-юсппепз!опа! рЫ О, ючЫОЬ !в епоийЬ Со 1Пизсгасе йе Ьаз!с Ыеаз. О 1в юсейпею[ Ьу О = [(ю, /): ! = 1, 2...., /; ./ = 1, 2, " 3! (4З.1) ТЬе ро$исв оГ О гергевеп1 е[йег чею пеев ог сеП сепсгев (сГ. Бесс!опз 3А апюс 3.5). ТЬе йгЫ роси!в аге пщпйегес[ ав Гойоючв Вассюючагю[ оп[ею[па ТЫв огю[ег!пх соггезропю[з 1о СЬе епппмтайоп 3$ГЫсе — Ыас[ю опсегспй ТЫв огюсег[пй соггезропю[з со а сйеззйоагюс со!оиппа оГ С, пшпЬег[пй йгзс йе Ыас[с рош18 апюс сЬеп сйе счЫсе ро!пь, ог юПсе чегза; сГ. Р!Биге 4.3.1.

Р1айопа! опсеппй ТЬе рошсз аге пшпйегею[ рег юйайопа1, 81агйпй !и а согпег; зее Р!Ваге 4.3.1. Р!ГГегепс чапапсв аге оЫа!пей Ьу зсаюс!ий ш юс![Гегепс союпегв. 1Г сЬе пюаспх А соггевропю$8 со а гйвсгесе орегасог п!1Ь а всепсй ав ш Ийиге 3.4.2(Ь), йеп ро[пс Оаозз-Бек$е1 юч1й сЬе йабопа[ огю[еппй оГ Рсаиге 4.3.1 и пюаиюепюайсаПу ессшча!епС 1о 1огчюапг Оапзв — БеЫе1. 45 44 Иояс и»гас!ее те!»оби Роспг Сапм-БеЫе1-ЛасоЬс й ес сг й А= (4,3.43» б, с'е»-с с» и!» $,ег ап ГХ Гас!ос!ха!!оп Ье 8!чеп Ьу »=»ы-( (4.3.5) 'е. с 1 йЧЫСе-Ыасй Ппе Сапм-БеИес сч!сЬ б,=бс, е =ос!8! 6»= И»-с»е» „1г=2,3,...,л е» = е»Г8», Гг = 2, 3, ...

л — 1 (4.3.6) (4.3.8) $$' = 8л — б Поа6п8 роспс орега6опз Огдебп8з Гог Ыос$с Салия — Бе)бе! ТЬеогет 4.3.1. 1Г (4.3.9) йеп бег(А) Ф О, апд (4.3.10) »Че ргорозе сЫз чапан! ш огдег со ГасШсасе чессопкес1 апд рагаПе! сотрпс!п8; тоге оп сЬЬ »Ьоп1у. М и оЫЫпед Ггот А Ьу гер1аап8 ац Ьу кего ехсерс ао апд а»; о »Че саП 6пз ро!пг Оапзз-Бе!бе1-ЛасоЫ Ьесапзе 6пз!з а сотргоппзе Ьессчееп йе рошс Оапзз — Бе!де1 алд ЛасоЫ тесЬодз д!ьспззед аЬоче. Ропг йсуегепс псесЬосЬ аге оЬсшпед и!$Ь сЬе ГоПочлп8 Гопг огдеппря сЬе Гогичагб апд Ьассссчзгд огдепп8з оГ ГП8пге 4.3.1, сЬе Гопчагд чегдса1 1ше оп$егш8 оГ Р(8пге4.3.2, апд 6пз 1азс оп$епп8 гечегзед. Арр!у!п8 сЬезе те6юбз ш зпссезяоп гезп1сз (п .Гоиг-6!гесс!ол ро!ги Сап»и — БеЫе1-УасоЬ!.