Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы

И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 8

DJVU-файл И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 8 Математический анализ (2693): Книга - 3 семестрИ.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы: Математический анализ - DJVU, страница 2019-05-06СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 8 - страница

В общем случае получаем 14. Эйлеровы интегралы 92. Найти преобразование Вейерштрасса 31 Г(х) = — е ! " Ду) Йу, - т.l' если Ду) = савау. ч Полагая г — у = г, получаем сов ах !' -ээ вэв ах э' Е(х) = / е сов аьйв+ / е сйв авй Е(х) = е ь совах. М Упразснениз длз самостоятельной работы Применяя метод дифференцирования и интегрирования по параметру под знаколэ интеграла, вычислить интегралы: Вээ + . ° + . э 31. 1(о) = ) —,+„т э1х, а > О. 32. ) —;~ — йх. 33.

) -"-э — "— *ф-б йх. о о о Ьээ + + э э +ээ '*-*э и "*" э ' "'*э ~э Ь -'-"-'="'-гэ 34. .э э саэ ' Л ээ+ээ .э ' ' Э э о — ээ о о з 1 + О 38. !' глэди х ° 1п(сйвх) йх. 39. ) (!в -) 1и (1п -) 0х. 40, ) е ! 1* мпз Ьх —" о о о Вычислить: з +ээ 2 41. о.р.) „, О<а<6. 42. о.р.

),— *,. 43. о.р, ),, а)1. о о о ь 44. йэп т. р. ( ~-'(-'-)-"'- 1, а < 6, функция р удовлетворяет условию Гельдера: Зо, Х такле, что охэ, хз Е]а, 6[ выполняется неравенство (эо(хэ) — ээ(хз)! < ь!хг — хз), О < о ~ (1. Найти преобразование Лапласа для функций: ~ 4. Эйлеровы интегралы 4.1. Гамма-функция. Определение. Функция Г: р ь ~ хв 'е йх, О < р < +оо, о наэывагпэоя гамма-функцией, а ее знамение — эйлеровым интегралом. В силу нечетности подынтегральной э)эункцни, второй интеграл равен нулю, а первый вычи- слен в примере 23.

Таким образом, имеем 52 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Функция Г непрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка при р > О и для них справедлива формула Г' ~(р) = / х~ (1пх) в ~ах, й б Й. о 4.2. Основные формулы. Если р > О, то Г(р+1) = рГ(р) (формула понижения). Если и б Н, то Г(п) = (и — 1)!. (2) а также Г(п+ -) = ( ) тггж Если О < р ( 1. то Г(р) Г(1 — р) = з1л тр (4) (формула дополнения).

4.3. Бета — функция. Определение. Функция В:(р.д) /х" '(1 — х)о 'Ых, р>бг 4>О, о называется бета — функцнвб, а гв значение — зблеровын иннзвгралон. Бета-функция непрерывна в области определения и обладает частными производными любого порядка, которые можно найти путем дифференцирования по переменным р, д под знаком интеграла. Полезно представление р-з о Связь между  — и Г-функцияъш выражается формулой В(Р,4) = (2) Г(р+ 4) С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие интегралы: 93.

/ х ~/а~ — хз ах, а > О. о М Полагая х = а,Л, Г > О, и пользуясь формулами (2), (3), п.4.2, и формулой (2), п.4.3, получаем о х „/Р: ах= з о 4 во 94, / ч,ах. о 1 а -' -' а '3 Зт а Г (г) ха — 13 (1 — 1) р 41 = — В ~ —, — ) = 2 / 2 2' 2 2Г(З) 16 о 14. Эйлеровы интегралы М Используя представление (1) и формулу (2), п.4.3, имеем .Ьгхоьх (3 5~ Г(у) Г(у) = (--)= ' (1+ х)з (,4' 4/ Г(2) о Далее, применяя формулы понихсения (1) и дополнения (4). п.4.2, находим + / з - Г (1 - -) 1 (1+ -) = Г (1 - -) -Г (-) = — П о 95. ~*'".-" 0*, 0(4. о Е Полагая т = Я Г > О, получаем х е ~ Нх= — / 1 зе ~оьь=-Г(п+-) = ~/т Ь 1 ' =-/' ' ' =- ( -)= 1 У --' о 1 ' 11 (2п — 1)О 2 / 2 1 2) 2"+' Выразить через зйлеровы интегралы: +ы г 96. / * 0х, п>О. ./ +.. о 1 М Заьгена х = Г, т > О, приводит к интегралу еы —,", а=-в( —,1 — — ) =-г(1 — ™) г( — ) = И'„- Г -Г= и о Этот результат справедлив прн 0 < гп < и.

~ 97. зь „, а>О,Ь>о,п>О. / х йх / (а+ Ъх")я' о 1 го з— М Полагая х = (-„Г) ", 1 > О, получаем Ф +1 о ег е! ( 1=- (И= ~1= ' ~.1=. 1 (~+1 +1 ьг= (-1 — в( —, р— т+1 Следовательно, данный интеграл сходится при условии 0 « — „ р. М г (х — а) (Ь вЂ” х) 98.1= / ' ' Ьх, 0<а<Ь,с>О, / (х + с) +а+2 ч Выполняя замену — = — т, получаем а+с ко о (ь,)-+"+' Г,,„(ь — )-'""в( +1, + 1) Х= (Ь+с) +г(а+с)"+' ) ' ' (Ь+с) +'(а+с)"+' Г-(1 С).сИ о Отсюда следует, что данный интеграл сходится, если гп > — 1, и > — 1. П Гл. 1. Интегралы, завнснвдне от параметра 99. 1 = /зпсс» хсоз" хйх. о 4 Положим з1п х = Д Г > О.

Тогда =1/ г (1 — г) йг=-В( ~ ). о — 1. З Фй —, имеем 2' Полагая далее оз =,ссх, получаем О» г Гп пд 1 ее ОЗ~-,— /, п>О.в (1 — хз) з 1 со с. / (с. -')' с,. о 1 м Применяя подстановку 1п — = г, получаем » (1п — / с1х = / гге ас1 = Г(р+ 1), р > — 1. с> / .1' =1'-- о о 102. 1(р) = / хзе "1пхНх, а > О.

о с м После замены х = — получаем 1(р) = — / гое 1пг~й — — / Ф"е ~Ы. 1 с -с 1п а аг+г / аз+с / Легко видеть, что первый интеграл есть значение производной от гамма-функции аргумента р+ 1, р+ 1 > О, а второй равен Г(р+ 1). Следовательно, Г'(р+ 1) Ьа с1 1еГ(р+ 1)ч1 аз+с агос яр 1 асс+с 1 ' 103. 1(р) = / * "*йх. о Очевидно, интеграл сходится, если пс > -1с и > 100. / "" * йх, О< )11<1. 1 (1+ йсозх)" о м Вводя новую переыенную по формуле Г = з1п»- (1+ й соя х)» (1+ 1)" =/ о г" г йг (1 розез)» о 14. Эйлеровы интегралы < Очевидно, функция г является производной от бета-функции (см.

п.4.3). Позтому 4 00 Н г х" г г1 4 гг з 1 хз соз ря з'(р) = — — 6 = — И(р, 1 — р) = — (1"(р)1"(1 — р)) =— 4р / 1 + х Нр ' Нр Нр (ззгзрт/ зщзрх О<р<1. > 104 1 ) х1пх 1 4 хз а 1 ° Полагая х = зз и используя результат предыдущего примера, получаем з 1' 16 Т = — / — 1п г 41 = —— 9 / 1+1 9 о соз з 2х з згг зпз— . -21 з воз 2 ~05.1= / '" ' 4*. 1+ ха а 1 < Прилгеняя подстановку х = 1з, 1 ) О. приходим к интегралу + з ) 1 6(паз 64 / 1+1 о являющемуся второй производной от бета-функции гв зег (1.1 1)з+1з-в1 ' вычисленной в точке р = —.

Следовательно, 1 з ' ,Р ) 1 г(з зг г 1) ЗзЛз У= — — (в(р,1-р)) = — — —. = — '. ° 64 4рз ' ~ з 64 6рз 1з1пяр)) з 64 Г .т-з г-г 106. У(р, д) = ~ * * 4х. (1 + х) 1п х 1(р, 9) = В(р, 1 - р) 4р — В(6, 1 — 4) 44+ С, где С вЂ” постоянная, имеем бр )' 66 ~16 7 з (р, д) = гг / —. — т / — + С = гг!и — з + С. / ззп ггр / яп тд ~16 -д г Полагая здесь р = 6, находим, что С = О.

Таким образом, имеем 1(р,е)=т1п~ б,з, О<р<1, 6<9<1 а ~ Очевидно, если р = д, то интеграл равен нулю. Используя признак сравнения, нетрудно установить, что данный интеграл сходится, если О < р < 1, О < д < 1. Далее, замечая, что Гл, 1.

Интегралы, зависящие от параметра у 107. 3=/ 3х, О<р<1. 1 — х о ~ Рассмотрим интеграл Г(е) = /(х" ~ — х г)(! — х) ~~' агх, с > О. о ы-1 -г Поскольку функция у г (х, е) г —;---т —, при О < х < 1 и в > О непрерывна, а интеграл (Ц сходится равномерно при с > О, в силу признака Вейерштрасса < 1 )х' — х в) Г )хв — х г( )Г(х, х)( <, 3,3х < рос о !нп Г(с) = / Нх. ао / 1 — х о Принимая во внимание, что Г(в) = В(р, в) — В(1 — р, в), из (2) находим 3 = Еш (В(р, в) — В(1 — р, е)) = !пп Г(г) Г(р) Г(1 — р +о ' в-+о Г(р + е) Г(! — р+ в) ггго.! Отсюда, используя формулу ! (в) = т* и применяя правило Логгггталя, получаем Ф 3 = Бпг — " = (!п(Г(1 — р)Г(р))) = хо!к хр.

м Г(1 — р) Г(р) (г) 108. / — х, О<о<В. Г в!гах / в!гВх о ~ Полагая о ~Л" = Г, получаем 1 У!'' — !" г!г, 213 / 1 — ! о о о-а г где р = —. Поскольку О < р < -, то гв ' примера. Имеем можно воспользоваться результатом предыдущего йох в. хе — 3х = — вд —. Ь в!г 8х 2В 2)3 ' о 109. 3 = з~!п Г(х) вш хх ~3х. о ч Производя замену х = 1 — т, получаем интеграл 1 о 1 ж з/ 1п Г(1 — х) в!и в.х Их = — / 1п (Г(х) Г(1 — х)) в!п хх г(х, 2 / то функция Г непрерывна и возможен предельный переход под знаком интеграла (1) при в +О, Пмеелг » 4. Эйлеровы интегралы откуда с помощью формулы дополнения (см. п.4.2) находим 1 1 1 1)' 1 = - г (1п т — 1пяп тх) яп тх 4х = — 1п т — — ~ !и яп тхяп тх г»х = 2 / о о 52 1 1 Н-о = — 1и гг — — (соя ггх + (1 — соз ггх) 1п згп ггх — 1п(1 + соз тх)) ~ = — (1 + 1п — ) .

М я 21г 1 10. Доказать равенство + 1 и+— и-1 П /* -'.— "ахгп(-) '(г ), пб(4. пг О 1 ~ Полагая х = го, Г > О, получаем о откуда ею П) ' ""= —.'.Пг( — ".) "'=1 о пг=1 При и = 1 равенство (1), очевидно, справедливо. Поэтому далее считаем, что п ) 2. Запи- сывая произведение (1) в прямом н обратном порядках, замечаем, что (П г (=)) и (г (1) г (1) г (.=')) (г ( —.- ') г ( —.-') г (-') г (-'И = = ('(;) '( — ')) ('(-') '( — ')) ('( —.') '(Ч) Отсюда, используя формулу дополнения, находим П'(=„)= .; апг (2) п - —." -1 и-1 зп — 1 эп 12 1пп — = п = 1пп П(т — зь) = П ( 1 — е и ) .

х — 1 ап1 ьп1 2 га — ..1 Поскольку 1 — е и = 2яп — „, то из (3) получаем формулу и-1 П-'п —.= —,-- " ~» ) тй и гп1 наконен, подставляя (4) в (2), а затем (2) в (1), получаем доказываемое тождество. в (4) Для вычисления произведения синусов разложим двучлен тп — 1 на множители. Имеем зп — 1 = (з — за)(з — зг)... (з — т 1), зь — нули этого двучлена, т.

е. эггар = ехр (Й вЂ” ), и 1 2 "-1 = -1, й = О, п — 1. Следовательно, *— = П (т — за), откуда Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра +го ою 1 совах 111. Используя равенство — — — 1 е агг, х >, на" О, айти иитег ал — г1х, хм Г(т) / о о О < пг ( 1, а Ф О. и Имеем + О + оо Г ог-Г -ог г1х / Г 'ег ыбГ= — 1цп ~ созахйх Г е ~Й. о о о-+о о Г: (, М) Гм ' *'совах непрерывна при О < Г < +оо, 6 ( х ( А. Несобственный Функция Г: (х, ) м е интеграл + е *~1 совах~64, о я(, ф < Гм ~е '), сходится равнолгерно относительно в силу мажорантного признака Я(х, ), '.

х Е [6, А). Тогда, по теореме 1, п.3.2, в (1) можно выполнить перестановку интегралов: +оо л Г = — 1цп Г~"'г14 / е 'сох ахах = Г(ш) а — + / г-+о О б 1 . Гм '(амп аА — 4созаА) е Г( ) „й,„ ггз 4 42 г-+о о +~~ +ог е гг г Гт ге гг + сох об / — — а зги аб / о о 61 . (2) ао 112 / ао 4.42 о о Первый интеграл в (2), как следует из оценки 1 + о 1 + )а) Г г„ „ Г Г -'(!а) + Г) „ < — 1 е аг+е ао / а + о По той же причине третий интеграл (вместе с згп аб) стремится к нулю при 6 -г +О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее