Л.А. Растригин - Теория и применение случайного поиска (1121205), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Выбирается случайное направление в пространстве параметров, и по обе стороны от исходного положения системы на расстоянии пробного шага проводятся замеры функции качества. На основе двух замеров определяется приращение функции качества а=и+а(о'), — оо(г(со. (4.6.4) Путем аналогичных измерений при различных случайных направлениях пробных шагов получаем независимую выборку (4.6.5) характеризующую обстановку вокруг заданной исходной точки.
Задача состоит в том, чтобы, располагая конечной выборкой (4.6.5), оценить неизвестные параметры системы Х н г=/Х вЂ” Х*/. Для решения атой задачи методом максимального правдоподобия необходимо определить плотность распределения величины з как композицию законов распределения величин и и е. Однако вычисление плотности вероятности величины г для простейших систем (при размерности а=3,5) показывает, что функции правдоподобия имеют весьма сложное трансцендентное выражение и определение оценок параметров в аналитическом виде становится практически невозможным, о чем упоминалось 102 и в (34, 169]. Позтому здесь предпринята попытка приближенной оценки характеристик объекта путем аппроксимации теоретического закона Р(з) нормальным законом распределения с параметрами, соответствующим композиции (4.6.4).
Воспользуемся для решения задачи известными оценками для математического ожидания и дисперсии случайной величины(6]. Линейное поле В работе 1212] получено общее выражение для плотности распределения вероятностей величины ьз Р(п)=- - „'-1- 1-Р Ц'н Г— (4.6.6) где à — гамма-функция; п — размерность пространства. Учитывая (4.6.4), находим дисперсию величины г: о,'=о'+о з(и). (4.6.7) Зная закон распределения величины и, находим дисперсию о,з(и): Хз о„'(и) = / и'р,(п)йц= — -.
(4.6.8) .х а Известно, что оценка дисперсии д О~а — 2 2~~ т — 1;, '' (4.6.9) На основе (4.6.7) и (4,6.9) определяем искомую оценку (4.6.! О) где аз — удвоенное значение дисперсии помехи. Следует заме- тить, что данная оценка по своей структуре напоминает оценку параметра (4.2,8), полученную в (154]. По формуле (4.6,10) оценка производится при достаточно большом объеме выборки. При этом, в силу предельных тео- Л рем, оценка Х„з имеет нормальное распределение. Вместе стем из выражения (4.6,10) видно, что при конечном объеме выборки (прн рациональных экспериментах на объекте объем статисл тики неизбежно ограничен) некоторые оценки А„могут получиться мнпмымп.
Однако из физических соображений ясно, что величина Մ— существенно действительная. Поэтому выборки, приводящие к мнимым оценкам, отбрасываются как неудачные. Вследствие исключения части выборок получаем усеченный статистический закон распределения и смещенную оценку, л Распределение оценки Х„, строго говоря, отличается от нормального, но для целей приближенных оценок будем считать этот закон распределения нормальным. В работе (213) приведено соотношение для математического ожидания усеченного нормального распределения.
На основании этого соотношения несмещенная оценка Х*„ч для параметра Х определяется нз следующего выражения: ехр — --,—, (4,6.1 1) Хаа ~з л 2пг„ л л Х =3~ лО )/2п !+ ~и о Л где ахз — оценка дисперсии оценки Х параметра Х; 2 Ф(х) ==- ( е — ппг (из [4.6)). )по В дальнейшем приводятся экспериментальные оценки при ограниченном, малом объеме выборок, и поэтому результаты могут рассматриваться лишь как прпблин~спные. В табл. 1 приведены результаты статистического моделирования задачи при п=З с помощью таблиц случайных чисел. Проводилось 10 экспериментов, в каждом из которых бралась выборка объемом т — — 5.
При этом предполагалось, что па=1, л 1=1 (мнимые значения Х„отбрасывались). Таблица 1 Люаиборки ! 1 ( а 3 ~ 4 ~ 5 ( б ! 7 ! а ~ 9 Ю Хз' ! 0,794', 1,18 1,65 ! 0,96 ) 0,6 ! 0,949; 9,3; 0,83! 1,73 1 1,78 Из табл. 1 получаем л л Ха!=1 28, ила=0,28. (4.6. 12) Несмещенная оценка Хааз=1,06 удовлетворительно оценивает 1=1. Рассмотрим вопрос об объеме выборки. Выше отмечалось, что некоторые выборки могут дать мнимое значение Х„.
В таких случаях вся выборка отбрасывается. Возникает задача: как определить объем выборки, чтобы минимизировать потери в результате браковки выборки. Постулируем в качестве функции потерь соотношение !Р' (Р,) — Р тЛ' (4.6.18) где Р! — вероятность браковки выборки; пг — объем выборки; У вЂ” число выборок. Удобнее рассматривать удельные потери на один эксперимент: !р(Р1) =Рут. (4.6.14) гл -- - - ~,г„-а<о'.
(4,6.15) п1 — 1 у-. ! Ю Известно, что величина у= — — --,~ г;а распределена асимпп1-1; 1 тотнчески нормально )1т — 1 Р(у) = — = — ехр 27'по,з (у — о*~) (4.6.!6) о,а 4 ° — * т — 1 103 Функция удельных потерь пе отвечает прямому физическому смыслу. Она как бы показывает условно, сколько измерений в одной выборке в среднем неудачны. Из выражения (4.6.10) видно, что выборка бракуется при условии с параметрами [61 (4.6.17) (4,6,18) Тогда вероятность браковки выборки определяется в виде (4.6.!9) Рг= — 1+Ф При оэ=1 и Х=! формула принимает вид (4.6.20) Р)= —, 1 — Ф вЂ” „--— 11а рис. 4.8.
представлена функция удельных потерь для этого случая: (4.6.21) К= —, 1 — Ф в зависимости от вероятности Рь й(Р! 5 (4.6.22) Определим вероятность выполнения этого неравенства, Как известно нз [6), квадрат нормально распределенной случайной величины имеет следующую плотность распределения: 1 !г'1 ! 1 з)~2яо, 12п,т!' ' (4.6.23) Тогда вероятность выполнения неравенства (4.6.22) пэ )э (зэ~п2) Ф( '1п,Г'2) ' (4,6.24) а потери для пг=1 )т = 0,612. Эта точка на графике помечена треугольником. Часть кривой, соответствующая 1(ш<30, рассчитана по формуле (4.6.21) и вследствие малого объема выборки может рассматриваться лишь как приближенная. Здесь же пунктиром проведена предполагаемая ветвь кривой потерь, проходящая через точное значение при т=-1, которое получено выше.
Хорошо видно, что характер ветви при этом не меняется. Черной точкой обозначен результат численного моделирования процесса браковки выборок для ш=-5 на базе Л'=20. Как видно, расположение этой точки не противоречит указанным представлениям. Следует отметить, что выбранный критерий потерь имеет условное значение и иа основе его ие представляется возможным строго обосновать объем выборки. Оптнмальныч ют Из графика, приведенного на рис.
4.8, видно, что кривая имеет явно выраженный максимум. При малом объеме выборки вероятность браковки велика, но выборка мала, и поэтому потери малы. При большом объеме выборки (щ=- =-100 — 400) вероятность браковки становится малой, и поэтому потери также незначительны. Формула (4.6.19) справедлива при достаточно больших пъ Лля подсчета потерь прн и=- 1 воспользуемся друтими соотношениями. В этом случае выборка бракуется при выполнении неравенства объем выборки следует искать исходя из критерия среднего времени поиска экстремума, что будет показано ниже.
Однако на основе полученной зависимости можно сделать следующий качественный вывод: для целей рационального использования экспериментов не следует увеличивать объема выборки. Центральное поле Как следует из работы [212), в центральном поле плотность распределения величины смещения где г — расстояние до цели. Рассмотрим частный случай оценки параметров в центральном поле прп п=З. Для трех степеней свободы закон распре- деления 1! п1 рз(и) = — [1- — ) 2Л! г~ (4.6.26) с параметрами Лз Иа— Зг (4.6.27) о„з= — ! —— (4.6.29) Лз) Лз ! о,з=оз+ — ~! — — ! .
3 ~ Згз! (4,6.30) Для получения оценок г и Л, как и в линейном поле, вос- !Оз и') п — д 2/ — и! (Лз — из+2гиГ'1 з Л)„-Г -1 Результирующие параметры композиции законов лепна выходной величины (4.6.4) при н=З равны: ~„г гнх = /пи = Зг ' (4.6,28) распреде- пользуемся известными оценками максимального правдоподобия для пг, и ал: л 1 ~и т,= — ~„а„ (4.6.31) пг 1 1 ~ л Ог Хи (аз НЬ) . г 1 7 и Подставляя в левые части уравнений (4.6.29) и (4.6.30) соотношения (4.6.31) и (4.6.32) и решая совместно полученные уравнения, находим оценки для г и 7.: л л л а,а+т,' — а' л (4.6,33) гп, (4.6.32) л л г =г (4.6.35) а где о г -- оценка дисперсии оценки параметра л Несмещенная оценка Х определяется так же, как и в линейном поле, по формуле (4.6.11).
Ниже приведена табл. 2, которая содержит данные эксперимента для центрального поля. Таблица 2 т ~ а 0,994 3,76 1,32 ) 2,12 уа пнбоааа ( г ~ а ( 3 гг ! 0,268! 0,86 2,28 0,678 1,43 Х 1 0,697 1,33 1 1,97 1,27 1,68 1,09 1,31 1,47 1,34 3,42 2,22 л г! л л 3, = ~/3 (п,а+ тга — оЧ. (4.6.34) Из формул (4.6.33) и (4,6.34) видно, что в результате эксперимента некоторые оценки для г могут оказаться отрицательными, а для Х вЂ” мнимыми.
Выборки, приводящие к оценкам, не отвечакпцим физическому смыслу, отбрасываются как неудачные. Поэтому, как и в случае линейного поля, получаем смещенные оценки. Несмещенная оценка г на основании приведенного в работе 1213) соотношения запишется в виде Исходные значения параметров: о'=1, г=1, 1=1. Объем выборки т=б. Л Л г=1,63; о",=1,11; )„=1,53! о, г 0 444 (4,6.36) (4.6.37) Решая уравнения (4.6.11), (4.6.35) методом последовательных приближений, используя данные (4.6.36), (4.6.37),получаем и л несмешениые оценки Х, и г;. л Л Хож 1,3; го 1,2. ! л М[г')=!)гп г= — -- — =со. ~И 1!т — ~, з! т, (4.6.38) Формула (4.6.33) согласуется с линейным вариантом. Полученные приближенные оценки для параметров полезного сигнала и расстояния до цели дают при эксперименте удовлетворительные результаты. Исходя из критерии потерь при оценке параметров, можно ограничиться малым объемом выборки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
