Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации

И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации, страница 17

DJVU-файл И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации, страница 17 Алгоритмы оптимизации основанные на методе проб и ошибок (2638): Книга - 5 семестрИ.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации: Алгоритмы оптимизации основанные на методе проб и о2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько - Методы оптимизации и алгоритмы. Решения задач оптимизации", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "алгоритмы оптимизации основанные на методе проб и ошибок" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 17 - страница

«яи Теорема 2'. Если выполнены все условйя теоремы 2 и функция /ь является сильновыпуклой с параметром сильной выпуклости ч ) О, т е. / (Ох + (1 — 0) у) ( О/ (х) + (1 — 0) / (у) — 0 (1 — 0) ч ( х — у (', )/х, уЕВ", 0~~0(1, то для бесконечной последовательности (х»)» ь, порожденной алгоритмом 2, справедливы оценки скорости сходимости /»(х») /о ((%(хь) /о) ехр( — чЛя/2а), я = 1, 2, ...; '1 х' — х* 1» ( (2/ч) (/«(х') — Д) ехр ( — тЛ/г/2а), /« = 1, 2.

Замечание 2. Реализация алгоритма 2 на ЭВМ не приводит к ис- комому решению из-за наличия ошибок вычислений. Поэтому ал- горитм 2 используют до тех пор, пока выполняется неравенство У» (х') — /ь (х"+'))/( Ч/ь (х») Г > г, (х.х) где е ) О выбранная на данном этапе точность вычислений. Если же неравенство (2.2) нарушается, то следует либо повы- сить точность вычислений, либо перейти к другому, более эффектив- ному в данном случае методу. Такая ситуация обычно возникает в окрестности точки минимума х* или при «попадании в овраг». Замечание 2'.

Неравенство (2.1) эквивалентно неравенству /о(х ) — /о(х +') > Л»(/о( )»и»). Отсюда видно, что при малых Х» точность вычислений ()» (как минимума функции 1, по направлейию — Ч1, (х»)) может быть невысокой. Однако с уменьшением )»» скорость сходимости уменьшается и поэтому важно удачно выбирать числа Х» для каждого конкретного случая.

В. О»воевой аарвавт традвевтвото метода Алгоритм 3 Н а ч а л о. 1. Выбрать произвольное начальное приближение хо е В", произвольную константу р ) О, произвольный множитель 9 е Р/о, 1), произвольную константу е) О (е =ы»1»); положить я = О. Ос н о в но й ц и к л. П. Вычислить 71» (х"). П1. Если 71» (х») = О, то положить хо= х» и прекратить вычисления; иначе перейти к шагу 1Ч. 1Ч. Положить а = р. Ч. Вычислить точку х = х» — аЧ1» (х'). Ч1. Если выполняется неравенство 1о (х) — 1о (х') ~ (еа (Ч1» (х') Ч1»(х»))~ то положить р„= а и перейти к шагу ЧП; иначе положить а = ар и перейти к шагу Ч.

ЧП. Вычислить следующее приближение Р»т1»(» ). ЧШ. Положить й й + 1 и перейти к шагу П. Теорема 3. Если выполнено предположение 1 и (1) — функция 1» ограничена снизу 1о(х)~до) — со* ЧхсВ ' (И) — градиент функции 1о удовлетворяет условшо Липшица Мо(х) — Ч1»(у))~а»1х — у)* Чх УЕВ" а»(оо, то для бесконечной последовательности (х»)» о, порожденной алгоритмом 3, справедливо 171»(х»)1-о О при й-+ оо. Теорема 3'. Если функция 1, дважды непрерывно дифференцируема в В" и ее матрица вторых производных Ф„1» (х) удовлетворяет неравенствам при любых х, у с й", то для бесконечной последовательности (хе)т, е, порожденной алгоритмом 8, справедливы соотношения ха -е хе при /г-»- оо; /е(~") †.

/е(х ) при й-+ «~. где х* — единственная точка минимума функции /е, и следующие оценки скорости сходимости ~)х» — хе!!<61цм2, 6»(оо; /е(х") — /е(х') <(/е( ) — /е(х*)) «/е, где «7 = 1 — 2е (1 — е) у, (1 + у,/у,)/ум причем минимальное зна- чение «/ = 1 — (у,/27,)(1 + у,/у,) достигается при а = '/,. Теорема 8". Если выполнены все условия теоремы 8 и существует такое число бе) О, что ~ Ч/е (х) !! ~ бе (/е (х) — /о) Ч х Е Л ° где/о = !и! /е(х), кяяе то для последовательности (хе)е о, порожденной алгоритмом 8, справедлива оценка /е(хл) /о ~~% (/е(хе) /о) где О < «1,< 1.

а. Градвевтвый метод е поетопввым шаговым мвошвтелем Предположения 4. (!) — функция /е непрерывно дифференцируема; (!!) — градиент функции /е удовлетворяет условию Липшица с известной константой а ( оо. Алгоритм 4 Н а ч а л о. 1. Выбрать произвольное начальное приближение хе Е В" и произвольную константу е Е (О, 1) (целесообразно выбирать а = '/,); положить /е = О. П. Выбрать произвольное значение шагового множителя р из полуоткрытого интервала (О, (1 — г)/а).

О с н о в н о й ц и к л. !П. Вычислить Ч/е (хе). 1Ч. Если Ч/е(хе) = О, то положить хе х" и прекратить вы. числения; иначе перейти к шагу Ч. Ч. Вычислить следующее приближение х" »' = х — рЧ/ (х"). Ч!. Положить я = /е + 1 и перейти к шагу 1П. Теорема 4. Если выполнены предположения 4 и функция /е ограничена снизу, то для бесконечной последовательности (хе) ь" о, порожденной алгоригпмом 4, справедливо ) Ч/е (хк) ) -~ О при /«в 77 Предположения 4'. (1) — функция /о дважды непрерывно диффе- енцируема; (11) — матрица вторых производных Ч„„/о (х) функции~ , удовлетворяет неравенствам У,ЦУЦт~~(Ч~„~о(х)У, У)(УоЦУЦт, ус~У,)О, при любых х, у Е В", причем константы у, и ут известны.

Алгоритм 4' Шаги 1, !1!, 1Ч, Ч, Ч1 такие же, как и в алгоритме 4. Шаг 11 алгоритма 4 следует заменить шагом П', т. е. выбрать произволь- ное значение шагового множителя р из полуоткрытого интервала (О, 2 (1 — з)/ут). Теорема 4'. Если выполнены предположения 4', то для бесконеч- ной последовшпельности (хо) о" о, порожденной алгоритмом 4', справедливы предельные соотношения 11ш /о (» ) = /о (х ) огде хо — единственная точка минимума функции /о, и следующие оценки скорости сходимости: Цх' — хоЦ~~бтуьа, б,<оо; Уо (х ) — Уо (х') ~ ~(Ро (х') — Ро(х*)) ц" где д = ! — 2з (1 — е) у, (1 — у,/у,)/у„причем минимальное значение д = 1 — (у„/2у,) (1 + у,/у,) достигается при з = т/о. А югоритм 4" Шаги 1, Ш, 1Ч, Ч, Ч1 такие, как и в алгоритме 4.

Шаг 11 алгоритма 4 следует заменить шагом 11", т. е. выбрать произвольное значение шагового множителя р из открытого интервала (О, 2/у,). Теорема 4". Если выполнены предположения 4', то для бесконечной последовательности (хо)о ~, порожденной алгоритмом 4", справедлива оценка скорости сходимости Цхо хоЦе цоЦ»о хеЦ где д = шах ( Ц 1 — ру, Ц, Ц 1 — ру, Ц), причем минимальное значение у = (у — 71)/(уо + у ) достигаегпся при р = 2/(ус+ ут). Если же в алгоритме 4" выбрать шаговый множитель р 2/(у,+ + у,), то, кроме того, справедливо неравенство Ро(х ~) Ро(х )<~((уо ут)/(ус+ ут)) (Ро(хо) Ро(хо)).

5. Вариант градиентного метода с натрицей усиорения снодниости Предположения 5. (1) — функция /о непрерывно дифференцируема; (И) — задана матрица ускорения сходимости Н (х) размера п Х и, элементами которой являются непрерывные функции от х. Алгоритм 5 Н а ч а л о. 1. Выбрать произвольное начальное приближение »» б Н" и произвольные константы е Е (О, 1), Д Е (О, 1), р > О (рекомендуется выбрать е = '/„() ~ (»/„4/ ), р =* !); положить И О.

Основной цикл, П. Вычислить вектор движения И(х') к следующему приближению х»+' по формуле И (х») = — Н (х ) ч/»(х»). П1. Если И (х») = О, то положить х'= х» и прекратить вычисления; иначе перейти к шагу 1Ч. 1Ч. Положить р = р. Ч. Вычислить значение 0()», х ) =/»(х»+ рй(х»)) — /9(х») — ре(ч/9(х ), И(х )).

Ч1. Если 8(р, х") ( О, то положить р» = р и перейти к шагу ЧП; иначе положить (» = р(» и перейти к шагу Ч. ЧП. Вычислить следующее приближение х»+' = х» + р„И (х"). ЧП1. Положить И = А + 1 и перейти к шагу П. Теорема 5. Если выполнены предположения 5 и условия: (1)— функция /» дважды непрерывно дифференцируема; (И) — матрица вторых производных Ч,',/ь (х) функции /» удовлетворяет неравенствам у,)у1»<(Ч„'/,(х)у, у)<у,((у(р, у,~у >О, при любых х, у Р К"; (111) — Н (х) — симметричная матрица, удовлетворяющая неравенствам у»(у(('((Н(х)у, у) у,(у(~, у,~у»>О, при любых х, у Е Н", то для бесконечной последовательности (х»)» ь, порожденной алгоритмом 5, справедливы оценки скорости сходимости ()х» — х*(< б,д»п, б» < оо; Ро (х') — Ро (х*) ~ <Уо (х') — Р» (х')) ц'> где д = 1 — 2е (! — е) у»у» (1 + у,/у»)/(у»у4); х~ — единственная точка минимума функции /», причем минимальное значение о = !— — у»у» (1 + у,/у )/(2у»у») достигается при е = Ч».

Теорема 5'. Если выполнены предположения 5 и условии' (1)— — Н (х) — положительно-определенная матрица; (11) — начальная точка х» такова, что множество Х»= (х(/» (х) (/» (х»)~ х с Л ) ограничено, то каждая предельная точка х' бесконечной последовательности (х»)» о, порожденной алгоритмом 5, удовлетворяет условию Ч/„(х') = О.

Замечание 5. Выбор матрицы Н (х) существенно влияет на скорость сходимости алгоритма 5 (примером этого служат методы типа Ньютона и методы с растяжением пространства). 79 б. Модифииироввииый трвдиеитиыи метод, ие требующий вычиевеиив ироивводиыв Этот метод применяется в тех случаях, когда вычисление градиента !/„1» требует значительно больших затрат, чем вычисление значений минимизируемой функции 1„илн когда вычисление градиента вообще невозможно (например, когда функция 1, задана таблнчно, или вычисляется с помощью экспериментов). Алгоритм 6 Н а ч а л о.

1. Выбрать начальное приближениехе Р х1", удовлетворяющее условиям теоремы 6, и константы ео ) О, Л') О, [) ) ) О, Л с (О, '/,) (РекомендУетсЯ выбиРать ео Р [10, !О 1, Л'6 Р [10., 10 1, [! Е [6, 10[, Л = 0,4). 11. Положить й = О, е =- ео. Основ ной ц и кл. П1. Вычислить вектор Ь", !-я компонента Ь; которого /»! = — —,(1о(х»+ ее') — 1»(х»)), 1= !. 2, ", л, где г! — /-й орт. 1Ъ'.

Вычислить й» =1»(хе+ ер/» ) 1»(х ). !/. Если Л»(0, то, используя алгоритм 6А, вычислить такое число р, что , !» (1,(х»+ р/») — 1,(х") ( ~ и перейти к шагу !/1; иначе положить е = е/2 и перейти к шагу П1. '»/1. Если 1, (х + рй») — 1, (х") ( — Л'е, то перейти к шагу Ч11; иначе положить е = е/2 и перейти к шагу Ш. '»/11. Вычислить следующее приближение х»+' = х» + рй». Л/П1, Положить й = й + 1 и перейти к шагу Ш.

Алгоритм 6А (алгоритм вычисления шагового множителя р для алгоритма 6) 1. Выбрать константу р ) 0 (рекомендуется выбирать р = !). П. Определить функции ф»(и) = 1.("+ ий') — 1,( ')— ч»(и) = 1»(х»+ и" ) 1»(х») ео соха» П1. Положить !» = р. 1Ч.

Вычислить значение ф„ (р). 80 Ч Если ф (р) = О, то положить р = р и прекратить вычисления; если»р (р) ~ О, то положить р = р + р и перейти к шагу 1Ч; если»р» (1») ) О, то перейти к шагу Ч1. Ч1. Вычислить значение»ь» (р). Ч11. Если ~р» (1») ч ' О, то положить р = р и прекратить вычисления; иначе поцожить а» = р — р, Ь, = р и перейти к шагу Ч1П. ЧП1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее