Б.Б. Буховцев, С.С. Чесноков - Методика решения задач по механике, страница 3

т)(йнеткческой энергией системы называется величина Кв ') >)„„м>(У;.. ("1 Ее вв>мнение п(К = НА „ч- НД ' ': Внамй ш ~~ 1Р(> >>> > ) — рш>ота внш>ннх скд Е'. ( т.е. 'дейотауюшех со оторваны тел, не входштях в снстеву), Фв,-.~" Х,!Г", (~,.) - работа вну>ранних снд ( свх Явймлмвйстввя между телами системы).

Кслн нне>шке в нвутреннве ему йотекпдель>и, то лк с((((+П~мНЕ О (З.б) (3.7) ( авион сохранения мехэничеожой энергии Е К+П ). здесь Д П + Ль выучу - полная потенциальная анергия оисвнеюн темы в поле внюпиих и ввутреыыих сил, причем 4)~ в„„р --~~в.р- Полн в сиотеью существуют непотенциахьные силы и их Работа б(Д (мв) чй() „то мехаэичеоыея эыертпя системы не сохранеетоя и ее изменение подчиняется зазову '(Йюрабыззя реэщыие 'бьщщщнтотвуюп~ве отсутствию взащэодайотпю, тащ (3;4) ю (3.5) Ч +Чую Ч+Чх. Р)эзхоза-еожюотно (3.3), (3.7) находим с)Е= а(А Задачи о ремеыиями Яйдйуй Ы Пяа упругих парижа о ьюосаыи цт„и М движутся навотречу друг пруту вйрль ланри, соединяющей их центры.

Начальные оиорооти варанов Ч и Ч . Найти скорости паринов после удара. Считать удар абооютю упругю. Рййрдйд„Посысльжу система янляетоя изолированной, в ней вюолыяетоя эажон сохранения импульса е Фз -аз + (3.1) Ф ! где Ч, ьух - скорости эюриков после удара. При абсолютно ч упругом ударе оохраняетоя жинетичеожая энергия ~~Чт мтЧг ~"'«м;( Чг Ч т 'и (З.г) 2 2 2 2 По услоню задачи удар является центральньм, цоэтоыу скорости зюрижов до и после вваююдействдя леыат на одной ливии, юняютоя только их величины, Следоватально сиотемау~рвнензй (3.1)-(3,2) Д)1 поэноляет найти две неизвеотные величины, 1 и !ыз 1. ( При иецвнтральном ударе уравнений (3.1)-(3 2) не достаточно для нахождения скоростей после взаиыодейотзыя.) Запиоыная (3.1) в проежцзи на линю дзжюыия паринов, имеем м„Ч,.+ маЧ = М„Ч ~ м, Ч,' (3.3] Ураннения (3.2), (3.3) удобно переписать в виде М хЧ+Ч )Я-Чч у м И+ ЧУ.Ч -Ч,), (3.5) ", Ю-Ч„'> =,С,',).

(З.В) у' (ма мч)Ч2«3 ~Чт 1 М)+Мй л 2 Н()))ЗННДмй Найба массы М и гладкая "горка" массы М, изоб- )Ьйэмпюща На рыс. 3.1, Метут Юраивщатэщя баэ трЕЫИя ПО ГОРИЗОН- тельной поверхности. Шайба скользит М по плооысоти о начальной ожорсотью Ч и попадает на горку. При лжаженик по хорив вайба не отрнваетоя от ее поверхности. Найти ожорооти обоих тел после Рва, 3.1 того, каж эщйба покинет горку. Рйяйлй(йа, Харантвр дВИжЕНИя Юайбн ПО ГОржа Онрэдепаэтоя ВЕЛИЧИ- пс(('1(жчальной оыорооти Ч .

Рассмотрим случай, когда эмйба йаат ае е , когда а дооти- о ржей точки горки и дяцше перемещается вместе с ней тесн каж дейюзвыя . фйх цблое о некоторой скоростью )х ( модель неупругого го взаимо). Сбоаначжв соответотвУюцУю начальнУю оыо(юоть чеРез Не. щзйем ю законов сохранения импульса п знергзи Мч = (М+ ИУ, т (3.9) маЧе ~~+м) ц. т От(маза, т(,. з(е )~ь М э ~ о ° (3.10) При неупругом взаимодействии кинетическая энергия в системе не сохрзыявтся. Часть ввергни перехсдзт в другие йормы ( в данном озшчае запасается в виде потенциальной внергии шайба) .

Если скорость шайбы Чч ыз, то зшйба не достигнет верхней точки горки и после нзаиьюдействия соскользнет с левой стороны. В этом случае кинетическая энергия в системе сохраняется (упругое взаимодействие). По чсрыулам (3.6) иэ задачи 3.1, полагая 7„' зЧ, Чу,мо, Чу„-)у', Ч,вУ, И„=-,~,- (, л вз (3.11) ы = — 'ы 'У вЂ” '(); +м )з) + мз Нажсыед, если ~7>~/', шайба перейдет верхнюю точку и сосколь о знзт по правой стороне горки. После взаимодействия скорость шари ка отвеет равной его начальной скорости, а горка остановится: ~'=ч и=о. (Э.12) з В этом случае Реализуется решение (3.6) из задачи (3.1), которое ранее было отброшено.

Эййдчй„3„3 На гладком столе лелит доска масса )ч(, на краю которой покоится шайба массы юч (рис. Э.2). Мекку доской и столом трение отсьчствует, а мекку иайбоу и леской ковФФипиевт трения равен рл . Какую миниьшльную скорость нужно сооб— шить шайбе, чтобы пройдя по доске путь Рис. 3.2 ло уступа и обратно, она упала на стол Плена доски дс Роту~а 4; удар сб уступ считать абсолютно упругим.

Хйийййй Пыла трения межлу змйбой и доской является внутренней силой и не может ивменать иьшульс системы; внеююв силы в горизонтальном напрзвлейии ка систезу не действуют. Обовначиы через Ч такое аыачение начальной скорости шайбы, прн котором е она, ппойдя по кроке путь )зо Уступа и обратыо, будет двигаться вместе с люокой, находясь на самом ее краю.

Из валова сохранения импульса слазует: гн (( = ((з( ч- ) (у. (3.13) , ",ь)(2,'как.в системе лействует непотендиальыая сила ( сила Щ"~ йейбсй к доской), кинетическая энергия не сохраняется. Ее т т )ЬКя — — = А „т а ™' (3.1а) ";ф: - работа силы трения. Велычина А„определяется 3оаш(йвиием сжхы тРения Г )ем~ на относитальное перемешш.

с":йрудихся поверхностей, т.е. Ат 2Ц" ~сч (3.15) су~ййлнял состнозюняе (3.13)-(3.15), находим ч.=азг(г~~ а(мЫ~. В опий определенна сыорости чз шайба Упалет с доски, если ее на- чазЫ(йя скорость )(Л' )(е яй)й)3((3,~, Пс гладкой горизонтальной плоскости движется тележка марап)4 со сноростью (ус (Рис. 3.3). В зюьвнт в)жмени Ш=() в 4и паййнеюю стенку начинает бить гориаонтахьная струйка воды, )(. ииеюшая скорость )(з . Масса елинипы длины струйки б) . Йайти, как будет меам няться со временем скорость твначлы ()(Ц, Влаиьюдействие струи с ге- 'рда, 3.3 Х лежней считать абсолютно неупругим.

Еййййфй, Вычислим шгпульс элемента струи двины с(х с(р. с(м, )У, -(Вс(ж (4 . (3.16) Эзкршеочравзния шздульса лля акта соударзния выделенного вяеызнтасетй)и' о 'тележкой дает ':336-,(ВЧ,с(~- Р(~~~ е(Щ+Сс( (()+о((~) (ы~) ( пскколь т им~вольку взшшодействие неупругое, скорости элемента струи и в~,",М)к(абеле соударения сонпадвст). из выувжения (3.17) с точностью ЙО'аланов первого поряпиа малости находим (У--ф~() ();) (..

аз " ~~~щр снорссти частиц в систеью центра масс ч - ч '0 юЧ-» е — (> -Ч =-- л> Величина >(х[[(с представляет собой относительную скорость струи и тележки, т.е. с(ос[>(т [) +([о . Окончательно имеем — — '"[=- ~0)+ч.)'. Л м (е.22) (3 15) с ть (3.23) 5 , ырохо- ения тав см. лы ЗН (>>+ о) откуда у,-фч, (и,+(ц~ ц(~) о >4 с о е $0~.+ч.)~ -~ (3.25) Примерный грврак аавнсвмостн скорости тележки от времени представлен на рис. 3,4.

() П Рсценура перехода в напоив>юную с , трарсвана на Рнс. 3.7, где учтено, что ([[,"( ()у>( вцю>с что всиоюл[ угол нел спнреетси на диаметр аписа> й > тв Рис. 3 33[[533~),5 Лвиаушаяся частица исп>юыаает упругое нецентрально> 2 Р>ю. 3.7 столхновение с пожояцейся частицей ганой же массы. Найти угол, ".. ° ° под которым разлетятся частицн посла удара (рис. 3.5).:Я '., -.ц е д я 3 е,': ",",'::в Ы'" в> Фу Рапнаее. для рююння аедачи ум>бно Ъд~щ~ц — Ндй уса[ е и ° р ть ,ежи, — пе[юй>и в системУ цеатРа масс част>пст~вбйййо ',, двютуцеся под дей Нахо сжо ть центра масс жюг )[Ва о>равен>аланы силы г Г, если на телеяхе лейеац>'; цотс[юл высыпается черен стнерстие в сла.,~ е тел Ряс. 3.5 („Я) ~2„, = ~l/Я (3.2[' с е) По условию выдачи ь)(0) [.) .

(3.13) Интегрирование уравнения (3.13) с начальным условием (3.19) дает В ем>й 'с[ЮЮВЮ частица двнвутся по пра>юй вев слнйапбв>аеи сисрОотяМИ После столхнонения части>ю будут твййв:>ю по монулю схорссти, т.е. > > 0„ю(>„, У вУ~, р~М:ети. сиор буду р д рй,р й дм(ейчврВЭ.ПЮнтр >юос, нс повар>цтой отнес час>ей>еж> Цт['хнновецня на нансто[юй угол (рис 3 5) ранено [3[Й®[спУ М в сбаем У ° чае. ;Р.ю„' й,„ Их легко похавать, иопольаул 4 ( ) ф : ' ~,' иа выдачи 3 1 и ссотнсюе р У > > ((, ~г" 0>~Ч„+~,а() () > ч» 2»ч ха > [ нотор>ю вытекают иа овределення системы центра масс Перейдем теперь вновь в непоРее, 3,5 лвю>ную систему отсчета, прнбавпяя к сжо- Рсстли.частиц после столжнонения сжорость центра масс> Ф> ° -~> ~у ° > > "т е> '([ [) )[ У вЂ” Ч () Ч е() - —.

[3.24) Е т с Ф 2 > 2 а с 2 ки. н елиюшу вреьюви высысается )ы г)ыммов песка. н акимыч вреь,'~ъ)ййг)"%.4 Пансы сохрамвия ы~ммм мпуяьса. н)вяюнае те ни хм() скорость тележки была равна нулю, а масса песка и те~ вокруг неподвнвнсй осн ки вместе равнялвсь Мо ° Прыткие теоретические сведения Йомкнгсм импульса частицы отмсытелько пентра 0 навываетсд (3.2„вемкьрыдя иелйчина (рис. 4.1) — Ч= ЕЕ„м. М ., )( кчЯЧ1. е 4(е -)ый м блелует отличать вту величину от момента им- 34)(йдй 3„7. Найти ивмененле кинетической ввергни дК и импульс~ а ':. г',',у Ч пульса той же честила относительно оси (нап- вр тела, дяижуюерося со скоростью Ч, прн упругом ударе его -;:, ',- Ч Ример.

оси ОЕ ). т.е. состевляюпюй момента О::г:. о стенку, двиауюуюся в том же направлении равномерно со скорость РМ» 4.1 вдоль ыб1 ной о и иычлсл е й о Формуле 1)< Ч Яжй' )(, = тв1гь,ЧА). Ч вцеаъь) ) д ° А - составяяюкие Ралдус-вектора и скорости час- ЬК 2$ Ц()-Ч), ьрвйач07-Ч). тнцк ийрпецникуляркью оси (рис. 4.1). ляы онскена частиц и ыййдйвД,йе Кусок однородного каната виси~ вертикально, причет м~~ьв;~ .,Ч его ндамй конец касается гормонтальыого стола. Найти силу лавы иия каната на стол при его падении, выразив ее через нес Р час: '"..".Нсли вокруг оси ОЕ враквется мрдое ( 4 ется тмрное тело систеьм час- каната, уле лезащей на столе. твйь равптоянкы макну которыми Фиксированы), то Гя ЗР. -ъ -е И, в1ц), ввййуй 3,3 на кондах лодки ыассь М и длины 4 нахояятса даа человека с массами Ыч и ых . На сколько смеСтится лодка.

есле 1 ~.(вг леди юсмнмтся местеь)к? ычййвчйЛ ~. частица массы вя, лвикукаяся со скоростью Ч, палс . ™оь)в)гг кмрции твердого тела относвчвяьм „. а, ет на поксящувся частфу массы Звь . после упругогс соушрення ы угмидд'-смРють врамвгл, «вправление которой идола оси опреде- тнЦа Маоон 3 ЫЧ Отпатявт ПОД УГЛОЫ 45О К ЛИНИИ ПЕРВОыаЧаЛЬНОГО Ы ~бкъя;М ПРавняу анита. кения легкой частицы. найтв угол 9, под которым отлетает час:: ..Н!ы"~ычыслеккл мыента кнерпин сплоюного твердого тела обычтица массы ач ч м мппчдяуют Форыулу йдййув3,~~. шайба А испытывает упругое соударение одновремен с юайбяьм В и С (рм.