X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 3

16 1'Л 1 КИИЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГА'ЗОВ Для одноатомного газа величинами Г являются три компоненты импульса атома р = тч, так что с1Г = 11~р. Для двухатомной молекулы в Г входит, помимо импульса р, еще и вращательный момент М; соответственно элемент с)Г можно представить в виде дГ = 2я14арЛХЙМдом, (11) где г)ОМ элемент телесных углов для направления вектора М ). Для молекулы типа симметрического волчка в число ве- 1) личин Г входит также и угол 0 между М и осью волчка: элемент дГ = 4згзс)зр М' сЦ4 дом д сои 0 (один множитель 2тг возникает от интегрирования по утлу вращения волчка вокруг своей оси, а другой множитель 2х — от интегрирования по углу прецессионного вращения). Интеграл )' ~(1,г, Г) дГ = Х(1,г) есть плотность пространственного распределения частиц газа: Х Л' есть среднее число молекул в элементе объема Л'. В этой связи необходимо сделать следующие замечания.

Когда речь идет о бесконечно малом элементе обьема Л', то подразумевается, собственно говоря, пе математически, а физически малый объем., т. е, участок пространства, размеры которого очень малы по сравнению с характеристическими размерами задачи б,но в то же время велики по сравнению с размерами молекул. Это значит, другими словами, что утверждение о нахождении молекулы в данном элементе объема Л" определяет положение молекулы в лу пнем случае лишь с точностью до расстояний порядка ее размеров. Это обстоятельство весьма существенно.

Если бы координаты частиц газа определялись точно, то при столкновении., скажем, двух атомов одноатомного газа, движущихся по определенным классическим траекториям, результат столкновения был бы тоже вполне определенным. Если же речь идет (как всегда в кинетической теории газов) о столкновении атомов, происходящем в данном физически малом элементе обьема, то ввиду неопределенности точного взаимного расположения атомов результат столкновения тоже будет неопределен- ') К выражению (1.1) можно прийти, написав сначала 11Г в виде 11Г = )арб(Мп) ВЕЛХВо„= Верб(МсоэВ)Л1' )ЛГ ВомВсоэВВр, где до„= асов Вп1р элемент телесных углов для направлений оси молекулы (В угол между этой осью и М).

6-функция выражает тот факт, что М имеет только две независимые компоненты 1соответственно числу вра1цательных степеней свободы двухатомной молекулы) — люменг М перпендикулярен оси молекулы. Проинтегрировав написанное выражение по 1)совдг)1р, получим (1.1). 17 ИРИНКИП ДЕТАЛЬНОГО РАИНО11ИСИН ным и можно говорить лишь о вероятности того или иного его исхода. Мы можем теперь уточнить, что, говоря о средней плотности числа частиц, мы имеем в виду усреднение по объемам определенных таким образом физически бесконечно малых элементов и соответственно по временам порядка величины времени пролета частиц через такие элементы.

Поскольку размеры элементов обьема, по отношению к которым определена функция распределения, велики по сравнению с молекулярными размерами д, то расстояния Л, на которых эта функция существенно меняется, ио всяком случае должны бьггь тоже велики по сравнению с Гь Соотношение >ке между размерами физически бесконечно малых элементов объема и средним межмолекулярным расстоянием г может быть, вообще говоря, произвольным. Существует, однако, различие в характере определяемой функцией распределения плотности Х в зависимости от величины этого соотношения.

Если размеры элементов Л" не велики по сравнению с г, то плотность 111 не является макроскопической величиной: флуктуации числа частиц, находящихся в Л'., сравнимы с его средним значением. Плотность Х становится макроскопической величиной, лишь есаи она определена по отношению к объемам Л', содержащим много частиц; тогда флуктуации числа частиц в этих объемах относительно малы. Ясно, однако, что такое определение возможно лишь, если и характерные размеры задачи 1» Т.

й 2. Принцип детального равновесия Рассмотрим столкновения молекул, из которых одна обладает значениями величин Г, лежащими в заданном интервале Г1Г, а другая - в интервале ИГ>, причем в результате столкновения эти молекулы приобретают значения Г в интервалах соответственно дГ' и Г1Г>П для краткости будем говорить просто о столкновениях молекул Г и Г1 с переходом Г, Г> -+ Г', Г',. Полное число таких столкновений, отнесенное к единице времени и к единице объема газа, можно написать в виде произведения числа молекул в единице обьема (это чиГшо равно 1'(1, г, Г) Г1Г) на вероятность каждой из них испытать столкновение рассматриваемого типа. Последняя во всяком случае пропорциональна числу молекул Г> в единице обьема (равному 7(Г, г, Г>) 11Г1) и интервалам дГ', 11Г~~ значений величин Г обеих молекул после столкновения.

Таким образом, число столкновений с переходом Г, Г> — э Г', Гы происходящих в 1 с в 1 см, можно представить в виде и(Г', Г) , .Г, Г>)11>дГ пГ> пГ' пГ> (2.1) Г8 КИНЕТИ ГЕОКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. 1 ш(Г'/Г',;Г,Г,) = ш(Г',Г',:Г",Г",). (2.3) Отметим, что это соотношение обеспечивает выполнение в состоянии статистического равновесия примципп детального равновесия, согласно которому в равновесии число столкновений с переходом Г, Г1 -+ Г', ГГ~ равно числу столкновений с переходом Г'~, Г~~ — » Г~, Г~г.

Действительно, представив эти числа в виде (2,1), имеем (Г/, Г',; Г, Г,) ЬЬ, 1Г 4Г, 4Г/,4Г', = /Гт Гт 1/T Ггг)У/У/ 1Гт 1Г3' 1Г/т 1Г/т где уе равновесная (больцмановская) функция распределения. Произведение элементов фазового объема /1Г дГ1 дГ' /4ГГ при ) Характеристики начального (2) и конечного (1) состояний в функции ю записываются в порядке справа налево, юО; 2), в соотнетствии с тем, как это принято в квантовой механике. ю ) Сразу же подчеркнем, что, хотя свободное движение молекул предполагается классическим, это отнюдь не исключает того, что сечение их столкновений должно определяться квантовомеханически (как это обычно и имеет место).

Весь излагаемый вывод кинетического уравнения не зависит от природы (к//ассической или квантовой) функции ю. (здесь и ниже индексы у функций у отвечают индексам их аргументов Г; ~Г = 11Г/ г, Гг), у' = у1Г, г/ Г') и т. и.); коэффициент и/ есть некоторая функция всех перечисленных в ней аргументов Г 1). Отношение и//1Г' дГГ к абсолютной величине относительной скорости ч — эГГ сталкивающихся молекул имеет размерность площади и представляет собой эффективное сечение столкновений: ю(Г',Г'„Г, Г/) ~Г/ 1Г/ (2.2) (и — чд) Функция и/ может быть определена в принципе лишь путем решения механической задачи о столкновении частиц, взаимодействующих по данному закону.

Но некоторые свойства этой функции могут быть выяснены уже на основании общих соображений ). Как известно, вероятность столкновения обладает важным свойством, следующим из симметрии законов механики (классической или квантовой), относительно обращения знака времени (см. П1, 8 144). Обозначим символом Гт значения величин, получающихся из Г при обращении времени. Эта операция меняет знаки всех импульсов н моментов; поэтому если Г = (р/ М), то Гт = (-р, -М). Поскольку обращение времени переставляет состояния «до» и «после» столкновения, то ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ обращении времени не меняется; поэтому дифференциалы в обе- их частях написанного равенства можно опустить. Далее, при замене ~ на — 1 энергия не меняется: е(Г) = е(Г ), где е(Г) энергия молекулы как функция величин Г.

Поскольку равно- весная функция распределения (в неподвижном как целое газе) зависит только от энергии, уа(Г) = сопв$ е' '( )~ (2.4) (где Т температура газа), то и уа(Г) = уа(Гт). Наконец, в силу закона сохранения энергии при столкновении двух молекул е + 61 = е' + 61. Поэтому УаУа1 = УаУо1 (2.5) и написанное выше равенство сводится к (2.3). Это утверждение остается, конечно, справедливым и для га за, движущегося с макроскопической скоростью 'Ч.

Равновесная функция распределения в таком случае есть уа(Г) = сопв1 ехр ( — ( ) ), (2.6) и равенство (2.5) продолжает соблюдаться в силу сохранения импульса при столкновениях: р+ р1 = р'+ р1 ). Обратим внимание на то, что равенство (2.5) связано только с видом распределения (2.4) или (2.6) как функции величин Г; параметры же Т и АГ могут при этом меняться по объему газа.

Принципу детального равновесия можно придать также и несколько иную формулировку. Для этого произведем наряду с обращением времени еще и инверсию - изменение знака всех координат. Если молекулы не обладают достаточной симметрией, то при инверсии они «перейдута в стереоизомерные молекулы, с которыми они не могут быть совмещены никаким поворотом молекулы как целого ).

Другими словами, в таких случаях преобразование инверсии означало бы замену газа по существу другим (стереоизомерным) веществом и никаких новых заключений о свойствах его самого нельзя было бы сделать. Если же симметрия молекул не допускает стереоизомерии, то при инверсии газ остается тем же и величины, описывающие свойства макроскопически однородного газа, должны остаться неизменными. ') Формула (2.6) получается из (2.4) 1греобразованием знергии молекулы из системы отсчета Ке,в которой газ покоится, в систему отсчета К, в которой газ движется со скоростью гг: ее(Г) = е(Г) — р'Ч -Р пЖ~/2 (ср.