Двайт - Таблицы интегралов и другие математические формулы, страница 2

2 26. Геометрическая прогрессия из п членов а+ аг+ аг'+ ага+ ... + аг' ' = и (1 — г") /(1 — г) = и !) /(г 26.1. Если г*(1, предел суммы бесконечного числа членов будет а/(1 — г). Обратные величины членов арифметической прогрессии первого порядка образуют (по определению) гарлвоническую прогрессию. Так, 1 ! 1 1 а о+и о+2д ' ' ' а+(и — 1)д 28.1. Средняя арив)вметическая п величин: 1 — (а, + а, + а, )-... + а„). Средняя геолветрическая и величии: (а,а,а,...

а„)'"'. ЕŠ— средняя гармоническая и величин определяется сле. дуюпсим образом: (28. 4 12 зв 41 ЛЛГВВРЛИЧВСХНЕ ФУНКЦИИ РЯДЫ 28.4. 80. 1. 30.2. 33.1. [См 165 01 [ [См. 170.[ Средняя арифметическая некоторого числа положительных величин больше или равна их средней геометрической, которая в свою очередь больше'или равна их средней гармонической. 29. арифметическая прогрессия й-го порядка (й-е разности постоянны). Последовательностьл и„ и„ и„ .. .

и„. Первые разности: а'„ 41„ а'„..., Вторые разности: И„ 44'„ а'„..., где 41,=41,— 4(, и т. д. Сумма л членов последовательности равна л! л! л! (л — П ! ! ! 4 (л — 2) ! 2 ! ' + (л — 3) ! 3 ! Если таблица функции и, дана для равноотстоящих значений аргумента с интервалом й, а именно Г(а) = и„ у'(а+ Б) = и„у(а+ 2й) = и, и т.

д., то где р 1, а 4т'„41, и т. д. даны в 29. Коэффициенты при 44'„а'„е(4 и т. д, называются интерлоляиионными коэффициентами Грегори — Ньютона. Численные значения этих коэффициентов см. [25[. 291. 1+2+3+... +и= — (и+1). 29.2. 1'+2'+3'+ ... + л' — "(л+1)(2п+!) = *= — (2п*+ Зп+ 1). 8 29.3. 1'+2*+3'+... +л'= — „( +1)'= л» = — (и'+ 2л+ 1). 4 14+ 24+ 34 1 1 л4 = "(л+1)(2п-( 1)(Зп'+Зл — 1) = л ° = — (бп'+ 15п'+ 1Оп' — 1). ЗО л Х'- лл+' й= + + 4рп»- Р+! 2 2! Ч 4 — — р(р — 1)(р — 2) лл '4. В4 отбрасывая члены с л' и последующие. Величины В В„...

см. 45. П риведенные формулы можно использовать для нахождения суммы рядов, и-й член которых выражается через п,п',и'ит.д. 1+3+5+7+9+ ... +(2п — 1)=п'. 1+ 8+ 16+ 24+ 32+... + 8 (л — 1) = (2п — 1)', 1+Зх+бх'-1-7х'-1- ... = «)4 ° 1+ах+(а+О)х'+(а-1-25)х'+... = ак+(Ь вЂ” а) «4 (1 — х)' ЗЗ 3 1+2 х+3»х»+4»х'+ И-» (! — х)' 33.4. 1+ 3'х-1-5'х'-(- 7'х'-1 ! +8«+ »4 (1 — кР 35. а+Ь ' а+2Ь а.).ЗЬ+ ° ° ° = ) !+=за« 4 [а, Ь)0[. 1 —— 3+8 у+О . ° ° = 4.

[См. 120 И 48,31,[ 35.2. 4+7 !О+!3 " =З ~=+1п2) з ~ )'з 2 5 8 П Г4 " =8[.з-' ') [См. 163.11.[ 35.4. ! ! ! ! 8 + О 13+ !т ! = = [л+ 21п (~/ 2+ 1)). !Зб 14 15 АЛГЕВРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 47ИЗ) ФОРМУЛЫ И РЯДЫ Числа Бернулли я числа Эйлера !аЕ„ 1д В„ Числа Эйлера (,221 8487 2,522 8787 2,376 7507 2,522 8787 2,879 4261 Е, 1 Е,= 5 Е,= 61 Е,= 1385 Е,= 50521 38.1.' 0,698 9700 1,785 3298 3,141 4498 4,703 4719 39.' 39.1. 40. Сушестзувт различные обозначения лля чисел Бернулли и Эйлера. Принятые здесь обозначения определяются формулами 47. ! н 47.4.

4 (2н)! Е (2п)! Е 1 и-з (2л — 2)! 2! " ' (2л — 4)! 4! принимая 01=1 и Е =1 2л Г (2л — П!  —,, à Š— Е ! ...+( — 1)л-'1 (2л — 4)! 3! (2и)! Г 1 ! ! 47 1 Вл = нзлйвл — з [! + 2зьь + Ззи + зв ь + 2(2и!' ( ! ! ! Ви лзл(йзл !! ~1+Зли+бил+тли+ 47.2.

47.3. Степенной ряд для У(Ь) имеет зид: /(Ь) — Т (0)+ ЬТ" (О)+ — /" (О) + — Т" (О) )- (Ряд Маклорена.) У(Ь) = 1(О)+ ЬЕ' (О)+-"„У" (О)+ где при некотором значении 8, заключенном между 0 и 1, Ьл Ьл Й = — У!"з.(8Ь)ь или — (1 — 8)л 'ув'(8Ь). ьв л! ' ' (Л вЂ” !)! л' Лв + ) ь( )+ з ( )+2!1 ( )+3!ь (Ряд Тейлора.) 7(х+ Ь) =у(х)+ Ь1" (х)+ Ьв Ли-з + —,1" (х)+ ... + —,, 1в" "(х)+Й„, где при некотором значении 8, заключенном между 0 и 1, Ьл Ьи 17 = — !""ь(х+8Ь), или — (1 — 8)л зуз"ь(х+8Ь). и! (л — 1) ! У(х+Ьь у+Ь)=у(хь у)+~Ь (х' У)+Ь (х' ~~)+ ! 1 Ь,д'1(х, У) ( 2ЬЬд'1(х, У)+Ьвд'1(х, У)~ ! дх ду дув (Ьзд1(х.

У)+ 31 вйо1(х, У)+3ЬЬзд1(», У) ! 3! ! дх' дх'ду дх ду' + з д'1(х, у)) + +)7 дв)'''ль где при некоторых значениях 8, и 8„заключенных между ОИ1, 42.1. Число делится на 3, если сумма его пифр делится на 3. 42.2. Число делится на 9, если сумма его иифр делится на 9. 42.3. Число делится на 2", если число, состазленное из л его последних пнфр, делится на 2", Числа Бернулли ! В, =— 6 ! В 30 ! В ь 42 1 в. = —, * 30 5 В бб 69! В 2730 7 В 6 36!7 В 5!О 43 867 В з 798 !746!1 В 330 8545! 3 В 138 1,4033154 Е, = 2 702 765 6,431 8083 0,066 9468 Е, = 199 360 981 8,299 6402 0,850 7783 1,740 1350 2,723 5577 3,791 8396 (47.4 АЛРЯБРАЯЯРские Функции РЯДЫ 48.14 48.18 (См.

45.) 48. 19 48.2! 48.22 (См„45.) 48.004. 48.23 48.005. 48.24. (См. 45.) (См. 45.) 48.006. 48.28 48.007. 48. 29. (См, 45,) 48.008. 48.31, 48.08. 48.09. 32 ' 32' (См. 45.) ! 1 1 1+ —,+ — + — + ....= оо. 3 5 7 (См. 45.) 48. 12. 48.38 48,39, 48.00$. 1+ —, + — + — + ° ° ° '= оо ! 1 3 48.002. 1 -(- — „, -(- —, -)- -т+ ° " и'В, =— ~ (2) = 1,64493 40668. 48 003 1+, + —,-(- —,-(-... ~ (3) = 1,2020569032, ! ! ! ! ! ! н' н' 1+ —,+ — + — +...= — В,= —- 2 3 4» ' 3 90 = ~ (4) 1,08232 32337. 1+ 2а+ за+ — а+ ° ° ° = ~ (5) = 1,03692 7755!. ! ! 1 ! ! ! в в 1+ + + + ° ° Вз 2в Зв 4» ''' 4» з 945 = ~ (6) = 1,01 734 30620.

1+ —,, + —,,+ —,+... = ~(7)=1,0083492774. ! ! в в !+2+-+ — +...= — в - — = 2' 3' 4' ''' 3!5 а 9450 = г (8) 1,00407 73562. 2з» ! а» 1+ — + — + — +...= — В 2» За» 4»» ' ' ' (2»)! (и — целое, полояаительвзое]. (См, 45, 47.1,) 1+ — + — + — +...

9 (р), даета-функция Римана. ! ! ! 2Р ЗР 4Р Таблицу численных аначений этой функции см. ]!6], ! ! ! Зна нв 1+ — + — + — +... — В= —. 3' ча 7' '' 4 ' 8' 1+ 3,+ — »+уз+... = — ~ (3) = ! з0517997903. ! ! ! =7 (См. 48.09,) Зи' иа !5 + За+За+7»+... !8 Ва 98 !5 9 (4) = 1,01467 80316. 1+ул+5»»+7»»+ ° ° ° = 2 (2„), Вл. (См. 4бз 47.3.) +ЗР 5Р+7Р+ "=(, 26)9(Р) 1т (См. 48ЛЮ.) 1 ! ! ! 2 3 4+' (См 69!.01.) ! ! ! нз ив 2'+ 3' 4'+ ' ' ' 2 ' 12' (См. 45.) 2з+ Зз — 4з+ ° ° ° = ~ ! — 2») ~ (3) =0,90154 26774. (См. 48.09.) 4! з 720 ! 2в ) ал (4) = 0,94703 23295.

4Р ''' ~ ~Р-а) 9(Р) (СМ. 48.09) (Лля р = 1 см, 48.21.! 3 + а 7 + ° ° = 4 Е, = 4 . (Согласно 46.1 Е = ! ) + 5 + В 0 91596 50942. 48.34, 1 — — + + ° ° ° = 0 93394 4 ! ! ! 48 86 1 — + + 0 99868 522 За+ Зв — тв+ ° ° ° = 0,999850. 1 ! ! 3' +' За л~ 7»"+'+. ° ° = з» Е. [См.45,47.4.] 2 +а(2л) ! л (бв еогмулы и гады 18 Алгявгьическня Функции Обращение рядов тогда коэффициентами ряда х Ау + Вув + Сув + 7)ув + Вув + гув + гзув + будут ! Ь А=— а' В= — — „ а С= —, (2Ь вЂ” ас), ! и 0 = —, (баЬс — а'с( — 5Ь'), и В ! (6авьву ( ба'с'-(-14Ь' — а'е — 21аЬ'с), =ив Р= — о(7а'Ье+ 7а'сву+ 84аЬ'с — а'7 — 28а'Ь'с(— — 28а'Ьс' — 42Ь'), О= — в8а'Ь/+ 8а'се+ 4а'ву' + 120а Ьввв'+ 180а'Ь'с'+ а"( + 132Ь' — а'8 — 36а'Ь'е — 72а'Ьсгу — 12а'с' — 330аь'с) Степени Б = а+ Ьх+ох'+ ввх'+ ех'+ух'+...

51.1. 5*= а'+ 2аЬх-(- (Ь'+ 2ас) х'+ 2 (ас(+ Ьс) х*+ -1-(с*-)-2ае+ 2Ы) х'+ 2 (ау + Ье+ сс() х'+... 2 а г! е !ы !ь(„ 5-ввв — а и'() — — — х+(В 2 ау' + — — х'+ ГЗЬс ! а б Ь") +(4 а' 2 а !ба/ (,ав а/ 51.3 51.4 50. Пусть известен ряд у = ах-(- Ьх'-(- сх'-)- в!хв+ ехв+ гхв+ дхв -)-..., [а~ в!, 61.5. о =а ' ~! — 2 — х-(-(3 Ь' 2 с) хв 4 Ьс в! Ьвт +(6 — — 2 — — 4 ~ . („ а' а аву' Ьа св е Ьс Ьвз +(6 — +3 — — 2 — — 12 4 5 ) в( а' а' а а азу' Корни квадратного уравнения 56.1.

55.2. Если один из корней а вычислен точно, то Ь с () = — а — — или р = —.' а аа' Квадратные корни из коввп лекс ных чисел 58.1, Ьгх+ !у= ~ ~ ~Гг4.х ) ! ~/ г — х~ 58*2. )/х — зу= ~ ~.у г+х 1 юг — х~ Здесь х может быть положительным или отрицательным, у — положительно, г=+[/х'+у', 7=[/ — 1. Квадратные корни из (г+х)в2 и (г — х)/2 следует считать положительными.

58.3. Другой метод — представить х+ ву в форме гев и+ й! (см. 604.05), где г= у~х +у, созб= —, в!и 5= —, а 7з — целое число ,г,, х . у г в г ' или О. Тогда 'тих+ зу = 'ггге! з = -Е У ге"' = ~ [Гг (соз — + ! з!и— 2 27' Корни ах'+Ьх+с=О:— — Ь+ )ГЬ' — 4ис — 2с 2а Ь+ 1/Ь вЂ” Ь вЂ” )г Р— 4 аз — 2с 2а Ь вЂ” )ГР— 4ас Чтобы избежать потери точности при вычитании, следует пользоваться той из двух формул, которая требует арифметического сложения.

7З) 20 ьлгзвркичзскиз эрнкцни 21 производныв 69.1. Определитель ! Ур 'У, ~ =а,„а, — а,„а„г а, а, ~ д((аи) у(и — * а —, где а — постоянная. »х у(х' 60. 69.2. Определитель з((и ) о) з(и Нх д(х+ ах д) (иои)! аи) Ии ~Ь вЂ” = но — + ого — + а)а — . «х = Лх Их н ' У((ко) д(о а)и — =и — +ив д(х ах Нх — = лхл у! (х») д!Х 61. УР 1Я УУ а азр аз аад а, а, а,„ 64.

64. 1. ах о ух- з((1)х! ! . 64.2. ах хз 69.3. 64 3 г!Х-!»+ з! у!(х ") )!х аи й(и)о) ! у!и и УЬ дх у!х д(х о дзх о' ах оз то з()(и) ~/(и) у!х у(и иа, а,„~ "азоаз еоа, а„ ал (иа! у!ли Лх)У Лх» =о— 68. а, а, а„ а, а, азл а, а,а„ а, на„ а,р о агл Згзр П) Утзл а, а, а„ ЗР Зя Зд а,а,и !д а, а, о а,а,му а а, а ара, азх а,а, азл =а„(а, а,„— а, а„) — а, (а, а„— а, а„)+ +а„(а, а,— а, а,). Если дана сисгема трех линейных уравнений а, х+а, у+ а„с =и Корни системы линейных уравнений с ббльшим числом неизвестных, если число уравнений равно числу неизвестных, выражаются аналогичными формуламн, если знаменатель отличен от нуля. Алгебраические функиии — Производные зЬ У(л-Уи и (а — !) Нзо Д"-зи +л — — + —,— + д)Х З(Х»-1 2) )(Хз ДХ»-З а ! У(зо у) ли иа»о (з-Ф! ! »л их~й" л+ ' ' + ит» и Г 69.

1. а — ~ ~(х) з(х =у'(4) (р — постоя нно). а Г 69. 2. — ) у'(х) а)х = — ~(р) (д — постоянно). кр.) р о о ао 69 3. »т„. ~ У(х, с) ах = ~ ~ хл(х, с) адх+ г()7, с) — — ~'(р, с) л 72. ° Если ф (а) =0 и т)) (а) = О, или если зр(а) = со и ф(а) = оо, то (пп — = —, ф!х) ф' !а) , ф (х) ф' (а)' Если также зр'(а)=0 н з()'(а)=0, илн если ф'(а)=оо и ф'(а) =оо, то ф(х) у)" (а) ф(х)- ф (а) Иа — = — „и т. д, «).

) У ФУ У У У .. д У,))).УЛ д) интегналы, содкгжь!цик Х=а4-Ьх ллгввязичяския Функции 22 $л+ — 11. Если функция имеет вид О', оо' нли 1, то ее надо снзчала логарифмированием привести к виду О оо, а затем О оэ к виду — или —, О оэ 84. 2. 79. Общая формула интегрирования по частям и !(о = ио — ~ о г(и, ! ля и г(о =ио — з! о — г(о. 3 ло Рациональные алгебраические функции — Интегралы ") Интегралы, содержащие х" Г э х' 80.