Горина Т.И., Кинелев В.Г. - Кинематика точки. Кинематика простейших движений твёрдого тела

Министерство высшего н среднего спецнального образования ССГ Московское ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени высшее техническое училнше им. Н.Э. Баумана Т.И. Горина, В.Г. Кинелев Утверждены редсоветом МВТУ КИНЕМАТИКА ТОЧКИ КИНЕМАТИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА Методические указания по выполн курсовой работы '2 м ;1, . Под редакцией В,В, Дубцннна Москва Данные методические указания к выпоцнению курсовой работы издаются в соответствия с учебным планом.

Рассмотрены и одобрены кафедрой "Теоретическая механика' 22.09.78 г., Методической комиссией факультета ОТ 30.08.78г. и Учебно-методическим удравлением. Рецензент к.т.н. доп. В.А, Никоноров Настоящее пособие содержит задания по разделам 'Ккнематика точки" и 'Кинематика простейших движений твердого тела, а также методические указания по их выпоцнению, Каждый из вариантов курсовой работы вкцючаат в себя две задачи. В первой из них рассматривается кинематика точки, а во второй- кинематика простейших движений твердого тела. Спедует подчеркнуть, что вопросы и методы данной курсовой работы используются во всех последующих разделах курса "Теоретическая механика . КИНЕМАТИКА ТОЧКИ ваы~~3ж По заданным в прямоугольных декартовых координатах урав- нениям движения точки, считая ~ 30, найти ее траекторию и для момента времени Е а уС величины и направления ее; 1) скорости; 2) ускорения; 3) радиальной н трансверсальной составлякнцих скорости; 4) касательного н нормального ускорений.

Сделать чертеж, на котором изобразить траекторию точки, ее пожинании при 6 к Ф С, найденные векторы скорости-я увяв- реняя, а также радиальную и трансверсальную составляюшне ско- рости, нормальное и касательное ускорения, Данньш приведены в табл. 1. ТочкаМ движется по линии, уравнение которой в декартовой системе координат Р~~ имеет вид: в вариантах 31-36 ~д-8~/й~'ф-8'( =Я в вариантах 36-40 — + 2 Л х Х г г > е 4 Задан закон движения точки по траектории 5 = 31с,) . 1. Считая к 30, установить траекторвю точки и найти ее скорость, касательное, нормальное и полное ускорения. 2. Записать уравнения движения точки в декартовой системе хоординат йк~ и найти проекции ее скорости и ускорения иа оси ЙФи ф .

3. Поместив начало попярной системы координат в начале декартовой и направив полярную ось по Ок', найти радиальную н трансверсальную составпяюшие скорости точки. 4, Сделать чертеж с нзобршкением траектории и всех найденных составниюших векторов скорости н ускорения при ~ = 1С. Замеччание. Начало отсчете дуговой координаты Х~йl в вариантах 31-36 поместить на певом конце горизонтального диаметра, в варнаятах 36-40 - на осн ~; положительное направление отсчета е'1к/ считать соответствующим возрастанию координаты с~ .

, Данные помешены в табл. 2. Таблица 2 УРавнеиии (1*1) являются уравнениями траектории в метрической форме. Для получения уравнения траектории в координатной форме исключим из них параметр ~, Л'а4 ( у т -Льу=С'я~~ с оо, (1.2) в ~ Траектория точки (рис. 1) - часть параболы с горизонтальной осью и вершиной в т. 0 (,а =0 '~ -С; ~ ), / ОФ аОЮ = Па в~~ Даны уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах Ак~ Х' аА у ада гС где 4 угч(~я, 3а угт/с', Са-Ь,ф, 8 вб, Найти траекторию точки и двя момента времени к "- 'уС положение точки иа траектории, ее скорость, ускорение, радиальную и трансверсальную составляюшие скорости, касательное и нормальное ускорения.

3 момент Е = 1С (1 4) (1*1') ф я-УМ, Скорость и ускорение точки находим по их проекциям на оси ко- 34 а.ж'яГАй', (1.3] Ф7х~ ' й'дп = М~ М Я~э фл(,) и прн д 1 с получаенп Р»=»5»;,. Я= '=, ~,. о.з) 1/ = /РУ~ ' ~~' ф ~ю б> - 9 "У/Л а/= а Фа. хг йЯ (1.4') а кО фю Строим на чертеже (см. рнс. 1) вектор скорости точки по составляющим, параллельным координатным осям. Вектор ускоре- ния направлен параллельно осн К: в положительную сторону, Йля вычисления радиальной и трансверсальной скоростей воспользуемся связью полярных и декартовых координат прн сов- падении полярной оси РФ с осью.К и положительным направлени- ем отсчета полярного угла (Ф против часовой стрелки е~l=~йд)',~~3», »я».щ — ', .

лл> 4~М Радиальная скорость может быть найдена либо непосредст- венно дифйеренпированием — к-Х. к и,в> Ф = » Р Х~~~я либо ак проекция вектора р'на направление 3=ОРУ ~ направлен пр »к те лнюлше косинусы которого — »к, т.е, Ф ~=/уД я/э ф. ~ 3л, „~/. =,б1. = ~, ~ ~ . (1.3') ~/ Аналогично трансверсальная скорость определи тся ется либо не-' посредственным вычислением ~в. -ХУ а' ~ Ф4) У» Ф'"'Ф,, У+ 3Гх 3а) л У.— ~ОХС ~ — ~ = ~ = — „, (1.7) тл что дает Д~ у»' (1.3) При ь вГб', воспользовавшись значениями (1.3') и (1.4'), получим а = — '=-~г ° й г 2 (1.3') й Знак (73 показывает, что движение точки ускоренное. По определению нормальное ускорение равно проекции уско- 3 либо как проекция вектора 2 на направление, получающееся из у г поворотом его на 90о против часовой стрелки н имеющее иаправ- Ю лающие косинусы - —, т.е.

М У = /Р0- Р= 2/- ~- -я~ /~ ф (1.7') Для вычисления их значений при ~ 1 с достаточно под- ставить в выражения (1,6) и (1.7) значения,Х~,~~, 3~>- йг кэ (1,1') и (1.3'): У ~ ~~-у~ ~ Й~" 3гй, = ~- = ~ = д~~ "«~~; У ~ -Р('- 6~,у т Фр = »я~Г, ~ =/Рт ~У г р'Я~"~~' уР г что н должно выполняться при правильном решении. Кроме того, по чертежу видно, что проекции вектора $T иа радиальное'н трансверсальное направления положительны, что совпадает с по- лученным результатом. Это также служит проверкой правильно- сти решения, Ппи вычислении касательного ускорения можно воспользо- ваться его определением, т.е.

тем, что оно является проекцией ускорения точки на касательную к ее траектории, т.е, на на- правление скорости Ф7 а аЛр ала —, йу Э а =а — "', ку -Х, рения точки на главную нормаль, т.е. а еЛсп- к7=к5гув ~ле -о где Гу - единичный вектор,. направленный по главной нормали. Так как направляющие косинусы суп равны — ж и — —, то Я йг у В л "~<~ .~- т'ф('- — (, (1.9) что при в в уС' дает К2,'т - -— — ~уу М'~~ Ф г~ (1,9') "= г= ° Раскладывая ускорение точки на чертеже на нормальное и касательное, получаем тот же результат. Касательное ускорение можно вычислить и пользуясь его механическим смыслом, т . как характеристику изменения мо- М дуля вектора скорости. При положительном направлении касательной> совпадающей с направлением вектора скорости, что совпадает с выражением (1.8).

При вычислении ускорений нужно помнить, что всегда должно сохраняться очевидное авенство Р а= а ~~аР ~ау = Я ~а ~ ь~ ~ ~ г а,.-о~,, п„=~4Щ, п~~р 2 конде горизонтального диаметра окружности, положительным считать направление, соответствующее возрастанию хоордннатыф. Все скорости и ускорения показать на чертеже. Решение Дуговая координатаХ в силу ограниченности Л)'УЕ~ принимает значения ~,~Яс у с~,~Я~М Г3- 6' Точка Я движется по окружности (~-~в /й,~ф~ -/ /к р'т х где ~~ 3 см, ~~ -1 см, Ф 2 см. Дуговая координата изменяется по закону ХвСГс/уЕ~ +Я, где С ',Ф см, Зл~ СМ Гл~-,"С' у й'дО ° Я,ж 1.

Установят. траекторию точки н для момента времени е =уС найти ее скорость, нормальное, касательное н полное ускорения. 2. Записать уравнения движения точки в декартовой системе координат ОМф и при Х. = /С найти проекпии скорости и ускореняя точки на осн ЮС и Рф. 3. В тот же момент времени найти радиальную и трансвердальную состевляюшне скорости. Начало отсчета дуговой координаты 5' поместить на правом 10 Рис.

2 ° ~' ~~~1~~ ~) = ~~ т = 4~4'~з Й' ~ гул ~ б что соответствует 4~~ = 0М.Г. Проекпня скорости на касательную йl Б = СЕСНЕ~ (2.1') (2.2) н при к=УС У' а,2 —, ' — =- ~ЖФ слку~~ . (2.2') Вектор скорости 37' направлен по касательной х окружно стн в сторону положительного отсчета о , т.е, влево. Найдем касательное и нормальное ускорения а~=К =-СЕ,Б0у~~~, г~Ф ~ФЕД1РЕ2/ (2.

3) Прн гкуС а, = —.Г(-ф-/ — = — 7.У70 ~"У~~ л а. г ~~ ! . 7.-', 14Г г (2 31 л - 6.:+'=~'*=. Кг"=/с, л,= Полное ускорение в этот момент времени а,-4а~ ~а~ ы.ам ~"',Й~~ Знак минус у Й3. показывает, что касательное ускоренне на) правлено противоположно положительному направленню отсчет( дуговой координаты 5, т.е. вектора С7~. и 3~~ направлены ~ разные стороны. Это означает, что в рассматриваемый момен времени точка имеет замедление. Найдем уравнения движения точки в декартовой системе, координат, используя вспомогательный угол Х ! Согласно рнс. 2 координаты точкн гу 12 Поэтому траектория точки располагается только на частк МВ окружности с пентром в т.

Ок ( Лс 4(~ 3 см, ф, =ф = -1 см) н радиусом Р= 2 см (рнс. 2), соответствуюшей нз- 7 мененню угла 3Ф = ~- от — — Я до — Я" уг 7г При ьаУС 43„ю " 3:с " -ьОе (' — /' — —,рк~уУ~ ~.1( К,(1г а = к,г,~,7 ~'Р. 4"~,, у ф~ с (2.3) Я И пРн К 1 с, использУЯ (2.1'), (2,2), (2.2'), (2.3), (2.3') ° имеем ЗхГ,л ОУЮ'77ФФ =-ФБУус уА Ъ = 0249 17уу9= 09жскй, и; -Я, ° ф'а~э~ М, ах в бару'-Ат — -ЦЭБВ(- /Х70/ло9+7сюг/са У7Щ» к 45~ е 0юг' -с2™гмруяую~ -7жу с Т4а У 74Ф~ > а, ~а~ ~а~~ -4лмач~~д (2,3') Е вычнсленных двум ~по~об~~ нк проекпнй направлениям состав <2~ на рнс. 2 свидетельствуют о 13 Совпадение модулей ФГн а также соответствие знаков ляююнк 2l~ Й~. й~ и Х»7ук Х'аХ~„' РС~~.уу = К ('СО~ (' — ), Б ~ вф, +ЮЕл~е =~~ г (э д~э ~ — "у), Прн к= Й х, х ~~ х(д-/ ю~ о-'ъы л+м (2.4') У а"1+аЬЮЕ)- -Ьг 096дад936 / Проекпнн скорости и ускорения на оснХ' н ф: 3~~ = ю = -Ф;й~т(-„.у-) ' У гР .тР К' = йУ = ЕСТ (~-~ —; Х Х (2,3) Поскольку шкив 1 совершает вращательное двяженне, ъз.

Й~,,=~к~-ЛСС «/С, Прн +кУС с ~ -Р У~С, т.е. в момент времени ~ = /с направление вращения шкива 1 противоположно выбранному положнтельному направлению отсче- та угла поворота у Модуль скорости точки 4 первого шкива Ял определнется так: лу 2р к/ы/2 =Фа с У/ Направление 8~„ соответствует направлению вращения / шкива, т.е. направлению Ф~ . у' Так как ремень ременной передачи нерастюкям и его про- ° скальзыванне на шкивах 1 н 2 отсутствует, то скорость гГ лю- бой точки ремня равна Р~ =гул .