Артоболевский И.И. - Теория механизмов и машин, страница 128

с!ь = йввбгь + й!зЬва + + йгпЬаь = ~й ~йгвЬвь в=! (! = 1, 2, ..., йц й = 1, 2, ..., г). (а) Применительно к случаю, когда и й г = 3, т. е. когда А, В и С яиляются квадратными (ЗхЗ)-л!атрицами (таковыми являются матрицы поворота), формула (з) принимает вид з свз = Ч~~~агвЬвз (1 й= 1, 2 3) в=! Нивке приводится пример умножения двух матриц: 3 0 34+06 3.7+08 12 21 С= 1 1 ( )(= 14+1.6 17+1.8 = 1О 15. 14 7! 5 2 54+26 57+28 32 51 16 8! Остановимся еще на частном случае с= АЬ. Ь, йы ° ..

йта с! И й« . йга йтт ° ° ° гвтп Ьк элементы с! матрицы-столбца с мы получаем как результат умножения вьй строки матрицы А на столбец Ь, т. е. ч с! =апЬ, + агвЬв+ ° ° ° +а!„Ь„= ~ аг,Ь, (! = 1, 2, ..., гл). в=! Эта формула прн т = л = 3 отвечает умножению (ЗХ3)-матрицы А на столбец Ь из трех злементов. Такой случай имеет место прн матричном преобра. зовании проекций вектора по формулам (8.17) из й 37. М а тр и чипе у ы н о же и не в общем случае некоммутативно, АВИ ВА, но, несмотря иа зто, ассоциативный и дистрибутивный законы выполняются; (АВ) С = А (ВС) = АВС (ассоциативный закон), А (В+ С) АВ+ АС (дястрибутивный аакон), Здесь (тхл)-м.трнца А умножается на (йх1)-матрицу-столбец Ь; результатом итога произведения является (глХ 1)-матрица-столбец с.

На основании правила умножения матриц ПРИЛОЖЕНИЕ Э ПРИЛОЖЕНИЕ 2 КИНЕМАТИЧЕСКИН АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ Решение вспомогательных задач. В настоящем приложении мы излагаем решение задач кинематики для наиболее часто встречающихся пространственных механизмов. Задача 1. Для определения проекций единичного вектора р дана система трех уравнений: а р=с,, Ь р= с,, р'=1; в ней через р' = р р = р' обозначен скалярный квадрат вектора р. Из развернутой записи этих уравнений лкРк+а Рэ+ лерг Си Ьгрк+ Ь Р + Ьгрг Схг Рк+ Р'+ Рг 1 (2) видно, что это система двух линейных и одного квадрзтного уравнения относн- ТЕЛЬНО яСКОМЫХ ПРОЕКцнй Рк, рв, Р, вектора р на оси неподвижной системы координат Окуг.

Такая система уравнений имеет два решения. Нужно найти решения системы (1), а также решить вопрос о выборе нужного решения. Решение этой задачи мы начнем с геометрической интерпретации во- гг проса о двух решениях системы ураз- а пений (1). Вектор р мы определяем по его модулю (он равен единице) и известным проекциям на направления векторова н Ь(с,:Уаг н с,:)гйг — величины этих проекций). Но этим Р условиям отвечают (рнс. 1) два ре- .Я' щения — векторы р, и р„которые симметричны относительно плоскости и,, содержащей векторы а и Ь.

Чтобы различить между собой эти два решения, введем в рассмотрение вектор А = ахЬ, перпендикулярный к плоскости и,. Замечаем, что проекции зсктороа р, н рг на направление вектора А имеют различные знаки. Следовательно, знак величины (3) х=р А=р(ахЬ), т. е. 6 = Лдпя, (4) является тем критерием (принимает значения +1 илн — !), с помощью которого лгы можем различать между собой оба решения системы уравнений (1). В механизмах с помощью критерия д будут различаться между собой различные конфигурации его сборки. Этот критерий органнчески войдет в расчетные формулы для вычисления решений системы уравнений (1).

Система (!1 решается так. Предварительно определяются проекции вектора А = ахЬ на оси к, у и г: А„= пэЬг — а,Ьэ, Ад = лкЬх — охэг Аг = лхээ — аээх. При Ах хх Аэ= Аг О система (1) решения не имеет. ПРИЛОЖЕНИЕ Э 634 Приводим одну из трех групп формул для вычисления проекций вектора р. Если А ФО, то ( — В сб х А 1 Вк — к'с 1:А', Ру (АуР„+ Рк): А, Р, = (А,рх — к!у): А . (5) где А = Ьт+ Ь';, «- (сх — с,ь,), (! —,) (Ь + Ь ) — (с —,Ь ) . Ниже мы приводим вывод формул (5).

Первые два уравнения спстемь| (2) переписываем так: ауру+ о,р, = Ст — и Рх, Ьуру+ Ь,Р, = сх — Ь„Р„ Решая эти два уравнении относительно неизвестных величин ру и рм л~ы приходим к выражениям, которые представлены вторым и третьим равенствалти в форь~улах (5). Подстановка этих двух выражеаий в третье уравнение системы (2) приводит нас к квадратному уравнению А Рк+ 2Вхрк+ Ск= О (7) коэффициенты которого описаны при формулах (5), Решение уравнения (!) можно записать так: 1 р.= А, ( — 8„+ей„), (8) х,-с~ в( — Ьс„— »,* 2 а, хр и и — 1. Величину и иэ (3) можно представить выражением И = А Р = Ахрх + АуРу + Атрк.

В это Равенство вместо Ру и Р, подставим соответствУюшие выРажениЯ иэ фоР- мул (5), а затем вместо р„подставим (8). В результате получим 1 и — э)сх. (О) А„ Здесь Ат = А„'+ Аз+ А;-, В„= А Ок — А,ПП С Птр+У)) — Ае, а в последних выражениях (ку — — сзЬу — стоу, ()т = стэк скак. к(ве другие группы формул (для случаев Ау ~ О и А, чь О) можно получить путем циклической перестановки индексов х, и, х в обеих частях формул (5) и содерзкащихсн в них величин.

При частных значениях отдельных величин уравнений (1) расчетные фор- мулы принимают более простой вид. Если вектор а = Ф является ортом оси е (ах ау = О, а, !), то р„= (оэ„— ЬЬ„Р О): А', Ру = — (Ьхрх+ с,Ь, — ск): Ьу — (бэу -1- Ьэх )к(7) ' Ая, Рк = си (6) ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Так как любую алгебраическую величину з можно представить в записи э )з(з(йпз, то (9) можно переписать так: 1 )х ! яяпх = )схзз!яп Ах ! А„! откуда следует, что е з)йп х з12п А, = 6 з!Еп А„.

(10) Этот результат после подстановки в (8) и отражен в формулах (5). Задача 2. Известны проекции двух принадлежащих звену т еднничныя венторов э„я ез н угол а„между ннмн; наиболее часто это орты оси звена и осн одной яэ его кннематнческих пар. Требуется определить единичные венторы осей декартовой системы координат на звене прн из- нс нестном взаиморасположении ее осей н ортов ~с е, н в. Пример решения этого вопроса приводится у„ ниже. зс Кннематическнми парами звена ч (рнс. 2) е„ являются шаровая с пальцем пара В н шаровая пара С. Известны орт е„осн СВ заена и орт д сэ осн пальца, который является принадлежащим звену ч элементом пары В.

У системы координат Схту,г ось хт совмещена с осью СВ, а ось у„лежит в плоскости осн СВ и осн пальца. Ось хс перпендикулярна к плоскости угла а„ н оп сделает направление его намерения (от осн х, в сторону осн ус). данном случае (ч =н„. Определим два других орта: Гт н Фч. Для этого ВЕКТОР а1 ПРЕДСтаВНМ РаЗЛОжЕНИЕМ ПО ОСЯМ Хч К У . ИМЕЕМ сэ =(„соха +,/сэ)па„,. разрешая это выражение относительно вектора Гт, получим Ь = (тн — (чСОЗ Пч) 121П Мю (11) Это аыраженне н еще следующее: й,=(,Х,), ((,=е,) (12) позволяют по известным проекциям векторов е, нсэ определять проекцня коордннатных ортов,/~ н й .

Рис. 3 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоматическая линия 14 Яатооператоры 611, 6!2 Алгебра логики 596 †6 Амоитаяа-Кулона уравнение 217 Анализ механиамов 19 — динамический 19, 203 — — кинематический 19 — — силовой 203 — — структурный 19 Аналог скорости 71, 182 — ускорения 72, 162 Баланснровочные машины 295 Бицснтроида 418 Вариетор скорости 143, 167 Вектор главный сил инерции звена 240, ."76, 277 полного ускорения центра масс ..вена 239 Векторы главных точек 282 Виллиса формула дня дифференциалов 160 Виттенбаузра диаграмма 354 Водило 154 Время выбеги механизма 304, 306 полное движения механизма 304 разбеге механизма 304, 306 установившегося движения 304, 306 Высота начальная головки зуба 430 — — ножка зуба 430 Галтель 450 Годограф скорости !05, 100 — Ускорения !05, 106 Градиент скорости 230 Группа 55 двухповодковая 57 — — второго вида 252 — — первого вида 80, 83, 258 — трехповодковая 58, 97 Гука шарнир 169, 184, 185 Давида редактор 157 Движение механизма вхолостую 309 — — истинное 72 — — начальное 72, 95 — — перманентное 72, 93 — установившееся 304 псриохнчесное 305 Дебалансный возбудитель 300 Делительное конусное расстояние 477 Джеймса редуктор !56 Диаграмлла мощности 210 - работы 210 ° - силы 207 Диаграммы квнематическме !03 Динамика механизмов 203 Дифференциал 154 — конический автомобильный !62, 163 Добровольского формула 44 Долбак 447, 448 Дуга зацепления 441 -442 обхвата 236 Жуковского метод определения снл 329чз ЗЭ4, 391 рмчег 320, 329, Э32, 385 Замыкание влементов кннематячесиих пар геометрическое 27, 28 — — — силовое 27, 23 Зацепление зубчатое внешнее 425, 437, 453 — — внутреннее 425, 438, 439, 453 — — Новикова 474, 475 — — октоидальное 482 — — реечное 440, 453 — — циклондальное 466, 467 — цевочиое 468 — — внецентроидвое 468 — червячное 488, 490 — — глобоиднае 489 Эвено механизма ведомое ЗЗ вЂ” — ведущее 33 — — входное 32 — выходаое 32 — начальное 36 приведения 324 Эуб укороченный 456 Инвалюта 4Э4 Интерференция зубьев 455 Карданный поднес 52 Катаракт 401 Кеянга теореме 367 Класс кияематической пары 23-26 — механизмов 55 — 59 Колебания скоростей периодические 374 Колеса зубчатые гипоидные 485 — — нулевые 430 — — планетарные 154 — — — солнечные !54 — — с винтовымн зубьями 469 — — сшевронными зубьями 469 — — цилиндрические зквнвалснтные 480 Колеса зубчатое инструментальное 449, 450 — — отрицательное 458 — — положительное 458 — червячное 488 Конус основной 476 трения покои 22! ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Конусы дополнительные 478 Координата обобщенная 36 Коробка передач !53, 154, 159 Коромысло 188 Коэффициент вязкости дянамнческий 230 — готовности 596 — движения 507 — динамичности механизмов 377 — жидкостного трения 230 — запаса сцепления 235 — неравномерности движения механизма 376, 377, 380, 392 нечувствительности регулятора 409 относнтельнога скольжения 144 перекрытия 442, 464 — — в зацеплеиияй Новикова 477 — в передачах с косовубыми коле.