Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 9

Стержевь может быть рвэбнт иа двв линейных элемента (фнг. Бй.б) с узловымн значеэвяын Ть Тг н Т». Температура внутри элементов мэходгпся лэ (юрмул ТЩ-К(пТ,+ КРТ» (5.Т) Т' =ЩТ,+Кшув Соответствуюнше фуяшцвя формы определены соотпошеннямн ггг хг г Для рассматриваемого примера функционал предсщнлщт собой сумму слцаующнх внтсгралов: где 3~ н Уз — плошади поверхностей, на которых заданы 4 н уь Зла ммяе фуннцгювалв у получшчся псдсгввонкой пемпературы Тфф н вычпсленнем ннтегралов.

Нпверхшютпые ннтегрвлм лсггю вьэшслякггся, так как подывтегражыым выражениям соотелгствуют узловые значения. Начнем с нвгегрзлэ. вюпочающего тепловой поток 4: Т(4Т рб 45=От,~ 43=41;йм ы зг (5.9) где Аг — площадь гюпсречвого сечгэшя сггрр«ця, соогде с уго ав Т л,' "црж,' у узлу. Функ я. ающав и. ыщ щра уры (х).' приливает шкчощшое значение Т~ в точках сечения.

сост- , 2=~ —,' К„[ '4 ~*др+~4ТИ43+ +~-й-(Т(л) — Т ~эИЯ, (5.5) — — ( — Т +Т) ддие ' 1 бю ( Тз+ Тз). дтеег Ле =Ссез (5:16) дю лиг +,в ( Т+ТР +дуду,+М д; — йтзТ +Т'). (6Л5) йА Т =1О. "40 400 и. ветстзуюпюго первому Телу. Ржхмотрим повержкжтиый ееитмрал, включающий коэффициент теепюобнона й: ~-"--(Т(Л вЂ” Т,,рдй=" (Т,— Т Р(дь= .Ъ те ) = — '"зк(Тзе — 2ТзТ +Т'1. (6ЛО) где Ле — площадь оспоренного сечезещ сыржвя и Тз — темтаратура в нретьем умю.

Объемный интеграл п (5.8) содержит ецюныщзную от температуры. )(еефференцнруя (5.7). имеем Объемный интеграл должен быть.разбит из два витеерала. потому геа выражение эля НТ)дх не сохраняет нецрерывноетн ло обьему тела в целом. Разделение, подстановка и ннтегрнровааие дают ~ ~~ (~~ дУ= — -„,™ 1 — Тз РТУ, + (5. 12) При вмчнгзенли интеграла лрцюнигагалось, что олощю1ь поперечного сечения канщого элемееца посюяеща, так что АУ=Ам~И.

Прелсювлезмс объемного интегфала по облжти в виде суммы интегралов, каждый вз которых вычнслнется по отдельному элементу. иоззотяет рассматривать различные саойстна ааюриала для различных элементов. Это пиляев» важной особенностью ме. тода повопеых элементов. ! Значение функционала у получается сложением заражений (59), (5.10) и (5Л2). В результате получается выражение для этого функционала через узловые значения всмпцрат)РЫ: д = — (У, — 2ТТ,+ ТО+ — (Т,' — 2Т,Т, + тб+ се и сен где Сеее=дее%~ег)йеее и Сие Ае е)(св(беег. деееаееэееие юнеемз задач аееедаа жнаечиз зезыюее и . Правильными значениями Те. 1е и Те явлюотся те, прн которых выенчина Х миннмапьэа. поэтому д' =Сигу,— С гт,+дЛ,-О, дт'е -6)е- =-Спгуг+ 1С"1+Стэг! Т,— Сигуа (б (6.14) е —,~== — С Т,+(С +йЛ)Т,— йЛТ =О, Уравнении (5Л4) испуг быть е1реобраэованы к валу — Се'е (Сиз+Сне) — Стэг Т, = 0 ' (5Л5) илн к более общей матричной ферме 1)() (Т) = Щ. Матрицу юмффициентов [К) з формуле (5.16) пбычио называют глобалюой матрицей жесткости.

Более уместным было бы назвать ее глобалыюй матрнцей теплопрозодности, поскольку ыы имеем дело с задачей переноса тепла. Векторный столбец (Р) сеть гло- бальный вектор нагрузки. Последний юаг ечашего анализа заключается в задании кои- црстаых эна лений лля фнэнчеспих характеристик материала в поэ)ненни числовых значений темпеРатУРы Те. Тз и Тз. ПУсть К =75 Вт1(см'С), И= Уб Втс(ем*-'С), А=г. сьд, 5=7,5 см, 4= — 150 Втйэд (минус посщвлен потому. что тепле по,ююдитсв к телу) в Т = 40 'С. Выюксляем козффвциентыг ) н Ж з,тб йдз= 1Ох, — дде = — ( — 150) н 160н в гв (5.)у) <521) Юкончателькая система уракгнивй имеет вид г — З) бо — Я) Т, =и 0 Вычисляя в вцо) оэ)еноп)енияк интегралы, получаем л(~ — = — Сг Сг') О т, + О я уж р лу ю у тенператуУы: Т,=ТО, Те=02,5, Тэ-бб. г р.2.

Повторное рассмотрение примера Как следует ю уравнения (5.15), процедура мнквмивапии приводит к састсмс пннейиык уравножй, которые могут быть ре)иекы относительно уэловык апач,евнй. Опнляо иа цэфровой вы. чкслителыюй машине ие лспю реалнэоиать процедуру нииимнэации в том виде, в каком сна исполыювалась алесь для получения уравэевий. Сушсствуег другой свкоб получения необходимой системы уравнений Интегральная величина д раэбивасэся на соответс)вующие отлелькым элементам слагаемые, которые мнними.

а)ц)унес» по уаловым аиачоикям до того, как будт) вычислены интегралы. В результате получается совокупэюсть интегралов, ко' торые могут быть вычислены и просунмнроэа))ы но эленеимм. Т)редставим д в ниле суммы )П ! ктн (5.15) где кг') — сумма иитегуелов для первого влеммпв, а 2)Π— подобная сумма,кля второго элемента: да)=" — „, < т,+ТУАР+~бт,)5, со) )о) ло (5. !О) ,+тубу+~-,-(т.— .)* г Си) гь Ггэ) ~) о)е Со)=АОЩ)п)(С) ) и С)г) Агг)Кю/54~). Нйоднффеугицнй)ин ™ пар, ка)цкую )кчгж)щ,кту к по все)4 уэломгм экачоннюг. Начнем с к)о) ( т,+т)< — 1)др+~ббУ, „и) ~ '~ < — тг Рт)бр.

(Тку<5 )4 ) акга Дифференцируя втор) ю «ампоиенту. имеем л)оп — — =О. д)' гэ) С)Э) — ги ( — т,+т)( — 1)йр, гг' д)И г со) :-~--~,<„( — тг Рт~др+~й<т,— т )55, ° 4г) лэ) нлн после вычвслекня итпегуалов Для мивимиэкцни к по уэловын вкачеппям иеобкоднмо, чтобы выполнялось равенство (5.Ы) Поэтому если сломать выражения (521) н (б.йэ) в реэультат прцрэвиять нулю, то полу жм желаемую систему уртвиюий Со» 154 )+С )) — С т + О О <ййе) Вта система идгатнчэл системе ураэкеиий (5.15).

В иэложаююм попкоде к процессу минимизации ваижо имен)ю то, что система уравиевнй макет бить получена для отделькык . элемыпоа. Суммцрованне по элементам в соопютстэин с формулой (5.23) представляет собой очень удобную для машинкой уеавяэацив процедуру. 5.3. Уравнения метода ионечнмк элементов: авдачн теории поля Одиомориая эадэча рждрос)раненая твида, рассмотренная в ак*ю арекипу)цкк уаэислак, яэляеыя одгюй нэ иесколыи)к важных фпюсю)к аадач, которые могут бить опаслив аважиичными лиф- Глим Я ференцизльными уравнениями в часзных производных.

Днффереициальное уравнение для каждого вз этих физвческвх процессов ссшержится в общем квэзвгармоническом уравнении д (К Ж)+ д (» дэ)+ д (» дч)+<~ с грыжчпыми успениями В=%в кн 3г и (мли) ʄ— "1+К ф(г РК +1,+д+ЛРР-дь)=О (527) ги Иа бь Обвелииоикс Б, И 3з ПйуаЗУШ ПОЛИУЮ ПРаННЦУ. Кетффзиэншпы К, К, н К,„а также величина д могут быть фупкпнямм црыиюлагахгшя независимыми от гэ. Величины 1„, (т и э форь ле (527) — направляющие косинусы вектора нормали так я к анвзотропным телам.

Ксщрдинатлые оок, однако, дошины быть параллельны главным оснм инерции я ааизотропи зот иных областях. Уравиенве (5.25) вместе с граничными условиями описывает раощюсгравение тепла в трехмерной облжтн (4). В этом случае (,à — внутренний источник тепла илн смж, д — тепловой поток иа часгм поверхности и Л вЂ” коэффициент теплообмена Полевая ф)акция гэ оцределяет температуру тела. Уравнение длп огшомермого и двумя(шого шгучэев распространения ~~ила может бить получено из формулы (5.25) с учетом того, ~то дд)др-0 н (или) дд(да=О.

Есзи иа той части цьчннцы, где и ве опрелелено (па Кз), обе пелкчилы д в 3 раины нулю. равенстно (5.27) сводится к следующему условию: К„.ф-с.+К ф(„+»„-$ С=О. (5.23) авторов отражает отсутствие переноса тепла (тшцюнзцнированиая Нрвшпш). )„г-— 1, Р си~рви далее двумерную онтуацню, гюгда К К)„„-— , Я 205 л Чз=О иэ всей граинцш гВ этом случае уравнение 1 . ) 16.25) сводится к следующему уравненнюг — ~з(-+ э +20) О. (5.29) д .дэ' которое встречается в задаче о кручении упругого стержня пеиругового сечения (5).

)йнжная ф)жкция гр тымрь является функпией иацряжееий, Π— упр)тая хврактернсщюг матцрвалаь В— г Расгатр н е аыш лйзздзя яэытизы эя ямнгээ 73' утоп закручивания се нжия стержня. Папряжйнин сдвига, вызванные виэшвим крутящим увлнем, получаются дифференцированием гэ по х в Р. Другой вшкяой двумерной задачей является задача о безввхревом течении жцпкости.

В этом црнмцре» -Кш 1. Ю О и уравнение (5.25) сводится к уравневню ф.+д~-=О ддг (5.30) с граничными условиями Ч-дз н (бд/дх)1+(бд!Ор)(г=О И. Если полевая функция гэ задана ма мецроницаемых границах области (иа границах, по аормалн к «оггрым з~е происходит течения жвлкоств), то урвшиине (БЖ) определяет липин тока цри беэвикреном тоюнии жндхосцг. С другой сторжы, если волевая функция ощюделека ма тех частях границы. по порвали к которым течет жидкость, то уравнение (5.З)) апжывает зизнпотенцнальные липин, которые ортогтжальны линиям тока. Дггффцреяцинльное уравненИЕ для осрзипчевного аютока грунтовых вод .(2) также солершится в,(5.25). В этом случае К„-~~+ К„++ф=О.

(КВП а граничные условия имеют вид В=да и (или) К (дд/дк)1 + +К„„(бдтдй)1т+д=б. Коэффициенты К и Ктг оиРеделают пРоницаемость ~шивы, () †источн (мли стех) воды, а полевая функция д — пьезометричесхий .нзгщр. Величина д соответствует щюсачвванню воды через водоносный слой вдоль части его грзаищы. Другие важные фпзическне зада ш, гюторые описываются уравнением (5.25), связаны с рассмочрсгжем электростатического и мзглвтостэгичесзого шпгей, а также жидких смазочных пленон. Последняя калача подробво изучена и Рэбспе (3). С варнапнсаиюй точин зрения решение уравнения (625) с грзаичаыми условиями (5.23) н (5.27) эквивалентно отысканию мимимума фумкционалз =) — '['-(--*)'+'-(Ф)'+ ( — "-)'- 1 ' +Яфр++й(д — В фа (5.32) Мггнвмизнцня фрннцгюнала (5.32) должна бить осущссшгюва на множестне узловых значений (Ог).