Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 8

3. Кажлое из уравнений в системе (4.3) содержит гчсбэльиые узловые значения, ио относятся к «оннрсикщу элементу. Л(ы будем в дальнейшем использоыть 4жсширенпую форму этик уравнений, котора» имеет вид рг» =)У(»»Ф +Л (»»Ф +Л(»»Ф -1-ОФ»-1-ОФ +Ой» Нм»=ОФ +ЩФ»+(УР»Ф +1фФ +ОФ»+ОФ» ргп=ОФ»+04».+)Н(жР»+)уи»Ф»+Л»пФ»+ОФи (43) р»о=ОФ»+ОФ +Л)ыр,+ОФ»+31(аФ»+)у(»Ф) йгм Ю(вФ)+Ой,+ЛДЯР,+ОФ,+ОФ,+ЛыФм Эш урввиення можно записать следующим образом: | Л(»> Лг(»> )У(»» О О О О Лг(»» Лгш )УР 0 0 0 0 )У(и 1У(н Л»(в О О 0 Л'$» 0 Лг(в Л'(» Щ» 0 )У<н 0 0 Лгш Сокращенная форма»ьнтерполяцжя»ных уравнений исполььустся, нагда осущсстилястся машинная реалнзаиня метода. Расши. ренная форма имеет иежп эрос прсимущесгво, «огдэ растматринаевся щюпесс мннвмизац«и, который саыю с дифференцированием матриц элементов.

Рвсширеииэя форма уравнений приме«автои голыш н след!«виях лвух главах. Сокращенная форма ураввеамй будет исгюльзовзться, когда мы будем име»ь дсю с применениям» метода к»пепи»львин об»астап. Лльтер»»атиной формулы (4.3) «влясгся уравнение, юторое получвется объедшмюисм урашюний лл» отдсльнык»льментсв; последнее дравиевю определяет область в пезом. Суммиру» !Равнения для отдельных элементов, получаем Е р — )1»)ы (4,9) » где Š— число элемен»ов.

Применение 'формулы (43) к совокужпосън уравиышй (4В) дает ° =()у(гг+ Л) ) Ф,+(р((»+)у(»г) Ф, +()у(»»+Лр+)у(я+Л(п+ +)У)и)а»,+(ЛГШ+)У(Г)Ф,+()УШ+ЩФ,+(31» +Л»ШРР, (4ЯО) Ия ая»иг»ьшм»ям Лы мя»ямж аб»аеш вз Уравнанне (4.10) ме используется в этом учебннке. Сжо в«люче- ип толью для того, чтобы познакомить читателя с его сущестао- напяеи.

В«лючеюе элемента при рассмотрении векторных величаи щюводятся с паьющыо рюсуждеюй, аналогичных тем, «оторые црнведеяы в случае скаю»рпой величины. Прав«льне прову»юровин- Ояг. 4.2. Пятэъы»г»пяа» ебзэс ъ с обе»яэч» я»не ээ»юс»» г»псгз он»я»»»язз. пые узловые ш»ремещевня для абласш иа фиг. фнг. 43. Общее уравнение для элемента (3.23) для удобствщ Соггвегсшне между узлнми влемента ь 1 и й и глобальными узлами идентично представленному в (4.2). если талька испаль. зуютса те же самые отправные узлы. Соотношения лля четвертого ку — 36. Получите обгцие ты, для областей в задачах трииается адин неизвесгнав. гю ы О Чящ йгак Кивая 31. Кяяэ еаэ. Задачи 6-163 вщмевта 1 6, ) 3. й б сводятся к слелуюшим [зсг) [о лр о л(ге ''о" й)рр1((: Уравнения (4.12) вредставляют собой сакращенцую форму я авнений для ли> и оса.

Расширенная форма булет включать асс узловых значений Ог., Ом. Рзсц(кровная фс~рма уравнений, определяющих элеьюнты, для обрдств ва фиг. 4.2 дана в (4.13): Ц -лр о )ур о )уаг о о(о о о.' о о (г, о лр о лг(и о лр о' о о-о'. о о (г,' а о)ур-олтл о)(р о о о о о (г, о о о лр о лр-.о,лр о о о о (г, вю о о о о лр а луга лр о о а (г, 'г= а о о о олрго)у(в олр а о (г,. о о о олр о о ол(золаао (г, о о о о ол(во о ол)ро)ур (г, ЛР О О-а)УРО О О О ОЛчеа О'„ ОЛРО О ОЛ1РО О О О аЛР (г„ (гя (4.13) 3.3. В дш Излажоаяые в атой главе идеи очень просты.

ва и очень важны, потому ыа позволяют осуществить закрспленне элемента в каркасе тела. Воспраизеедслие этою процесса лля отдельных эле. ментов дает возьюжзость апараксимировать скалярную ввн нек'тарную иеличину нз всей области кусо но-нетрерывной функцией. К) — 26. Определите саотгюшеияя, с помогцью «старых можно осуществить включение элементов в области, изображенные ниже. Отправной узел отмечен звездочкой. Узловые координаты даютса в круглых скобках. ураввевмя, опрелеляю шве элемев- 23 — 26, если в каждом уале рассма- смз, (е,ег гг. Ю щм гг,с1 П,э) 31 — 33.

Получите общие уравнения, определяющие элементы, зля областей в зэлачах 24 — Я. если в кюклам узле рассматриваются две векторные «омпоиенты 31 — 31. Эапвшите интерполяцнониые оютногпения аля аерваго элемента каждой из областей в вадзчах 23 — 26 через х н р (х в задаче 23), предполагая, что а кажзом узде отыскмвасжя олив яеизвестиа».

Глава 5 РАССМОТРНВЧЕ ЬЕ(СОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В двух предыдущкк глазах;рассматривался иоцрос о том, как аппроконьщровать непрерывную фумкцшо на отдельном элементе. Кроме тою, было показано, как из результатов, получеовых лля отдал>лик злемевтов, составляшси множество нусочно непрерывных функций, необходимое длн аопровсимаш>и лэююй непрерывиой функции иа всей области. Эта множество кусаю>оч>щ>рерывмых функций оирсдслястся числовыми значениями узловых иеличин.

Наша конечиан цель — получить для уэловык величии такие числовые значвни», ири которых оюююшения Лля элементов очень точно апцроксимируют иекоторый важный физнчесннй пщюметр. На раиэсй стадии развития метода ковечных элементов узловые значения определялись миннщмацией интегральной величниы. свяэашюй с физическим процсспхч. В залдчах ыехэнигл дефоривруемо>о тела, например, минимнзировалась погоюжальнзл зщргин онстемы. Й результате ураэнышя, ог>рспеляюп>ие элементы, щюлнлнсь к системе алпбравческих уравнений рашювесин, которые игпю>о рззрещвть отакюитслино узловых перемещений.

В задачах теории гюля (перенос тепла, течение црунтовых вод. расчет магнитных полей и др.) мшвашзироаался жкотцрый функцжаал. Этот фуннцноэал обладает тем свойством, что любая мвивьшзврующая его функция удовлетворжт как Исходным диф. ференпиальным уравнениям, так и граня.жым условиям. Поэлнее Пля вывода системы уравнений, определнющвх узловые значения. ' стали иыюльэоватьщ методы взвешенных мевяюк. Один юг иих, метод Галеркина.

обсуждастс» и гл. 17. В дшнюй главе ластов вывод уравнений метода конечвык элементов, ооноазииый ма минимизации некоторой интегральной величины. Мы начнем с расстютршшя исбольшо>о примера, который иллюсгрируег вывод )рэвнояий для увповых значений искомой величины и вадачах ~сории полн. Затеи на том же примере мы покажем, гга процесс минимизаоии может быть завершен до вычксления п>пегралоа по элементам. После рассмотрения примера дается общий вывод урааневнй метода конечных элементов лля трехмерных задач теории поля.

Глава завершается общим выводом уравнений метода кении>ых злемелтов для задач теории упругости. Окончательные результаты как для задач теории .шщя, так Рою>и игг их и>Хм яггсдоч «ааюамэ меновое щ М Ллв калач теории упругости представлены в внде пощрхиосгных и объеинык иитегралов, жпорыс вычислюотся при раоеэнпрвнии конщ>емигх областей при>мнения. При послелующсм обсуждении предполагается наличие г>шоторых црелвар>цельных анавий *тагцщртной термншпюгии рас. сматриваемо>о матс)кюла. Разькйвюс>и раээнчвык зюличвн вместе с их общепринятыми оботаачениями приводятся в главах при.

гшюнюго характера. ж(. Простой пример: пври+юс тепла в стержне Лучше всею цроцесс минимизации можно пронллиютрвровать щж рассмотрении щюстой геометрической фигуры. Рассмотрим одномерный поток тепла в стержне с теплоиао>щроввквой боновой поверхностью (фиг. 6.1,о)'>. К закрепленному и стене концу д Фвг. БД. Двюмвючочав модель асвмьтугваа з ыдэ- чс о «ермо>э тепла а стержне. стер>хна подводится тепловой лоток заданной иитщ>щ>иностн ф На свободном конце стержня г>ронсходит конвектнвный обмен тепла. Коэффициент теплосбмеиа й, температура окружающей среды У 'С.

Стержень теплоизолнрозан, так что потерь тепла через боковую повсрлность ие происходит. '> Их агс оавй гстазе — Прш Лгд 6 Запишем двфферезцваюыое уравнение для расщмделеввя температуры ваутрн сгержввг -К 4,'Т=О (5.1) с грвннчнымн услоьнямн К,-т„.. +4=0 при л=й лт (5.2) Кш — +й(Т вЂ” Т )=О прн л=у„ лт (5 3) где й' — нозффнцнент теплощюводаостл материала стержня. Тепловой поток чу положнтслсп, еслл тепло отводится от пиржня.

Уравнение (53) с приведышымв гравлчнымн условиями пщет Юцвцтаенное решение. Оно является отправной точной пря получения численного решения методом навечных разнссты1. Другой метод решения задач переноса тепла основав ма вщжацновном подыдв В зврнациониом начисления'г усгананлнвается, по для минимизация функпвонвла х" ( — ) 4У фдТ-Ъ- — ЩХ вЂ” ТД~) 63 (5.4) ° яюбходвмо. чтобы удовлегвсрялось двфферехцявлыгое урвю К Т О (5.5) с Грэвнчвымн усзоввяып к., влт +4+5(т — т.3=и (5.6) Уравнения (5.5) н (5.6) пдевткгны исходным уравнишям (5.1)— (53), поэтому любое распйеделевие температуры, при котором фулкцпонал ю определяеыый формулой (5д), стинвитсн мннвывяьпым, также удовлепюряет днфференцнвльаым уравнениям н. таким обраэоы, нвляется решением походной задачн Оба граввчных условия (52) в (53) содцржатся в (56), тлк как псперяносвяый интеграл в (53) должон быть разбит ла лла интеграла по каждой пз торцовых пгверхносюй стержня.

о пыле»м в ыог взымст звю а пэээовчьэв А Раггэа яввг «Эаазьг зздэч лггэдсл м»»ив» зэ эзэп» уравневпе (5.4) слузкнт отправной гочкой для оэределелвя температуры л кажлом узле. Мы мвннмпзвручм функционал (54), асп~льчуя множеспю фуккцвй элементов. каждая кз которьж определена иа отдслыюм элементе и выражена чцрез уэлоаые зяачевяя. Узловые значення Тэ--венввествые нелячнны в. палюй фсрмузпцювке. Так ьвк овп определяют значение фуннпповала х, ывнньшзвцня у должна быть ароведена зю зтнм лслнчянам. Реалпзацня метода коиввпж элементов мачвнается с оцрспелевня подобластей н нх узловых точек.