Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов, страница 7

тоАО) а» Преобразуя выражение (339), полу)вам Х ю ю+-Ы-+- + ш'-,' здэ ве» дп дд ! г г — ()Уг+)У,+-"+А()=-э.. ~ ')))Уэ~ Овнажь так кви сумма Х)Уз=1, чжгная производная по х ат- ь» этой суммы равна нулю. Таким образом, критерий отнасителыю градиента удовлетворяется авв»мат«Сессии, если только удоелстворшчся кратерий (3.47). 3.62. Нсшрерыыи»сть Днскреенэя модель для иецреривной функции стршпся на множесгве кусочносипрцрыинь»х ф)шквнй, каждая из котсрьпг определена «»а отделыюм авсяепте.

Для внтегрировзния в дальнейшем кусочнопепрерызной функции енюбхсллмо арсрмулировать условие ее иепрерывносп» в мшкэлемент«юй эонс. Иитегрыэ от ступенчатой функции )(х) ащюделен постольку, »юскальку. )(х) остается ограниченный [2). Чтобы игпеграл был опреденен, фумкцня»р должна быть непрерывна вместе са свопмн ь»ронэводнимн до порядка (л — 1)»вклкюнтелыю, по обеспечивает наличие у щюнзвопиой порядка л талию конечного ныла тачек разрыва с»уценив«ого пшэ. Саблюдьчне этого услови«с означает, что первые чжтные щювзвадные от аппраксимирую»цей» Фувкшш должвы быть непрерывны нэ границах между зле«юнтамп, если диффсры»цизльнос уравнение содержит час«ные производные етсуого псрндка, т. е.

л-2. Все дифферждиалиные ураввежгя, рассматриваемые в шой кингс, «югу« быть прелстазлены и форме соотношений, солержаших самое большее первые частные юронэеодные. поэтому от иншрпаляцнонвых функций слепу«я требовать еюврцривносгп н межэлсментной эоле, ио их часы»ыв проеашжные ие должны Поде»житься этапу ушюш~о. Лил Вв)л илыдюлвсл»»ьт ж»лллл» уз е )г ь в ) ! ! ) ! ! ) ! ! ! ) ! ! Х тадэ е 11. 4" =е)ВФ) + ЦнФ)+ Цншв Нспрсрымюсть для одномерааго эшиента гарантирована. так как любью лза смежных злемента ныеют абшнй узел. Однако треу)единый злемент сложнее. Ршсмотуим два смежных элемента (фнг. 3.11). Начало снсгемы ююрдонат помествм а 1-ы узле.

а)ж. з.!). )выер ю«ть он . айй лтам)вк ! жардюат з тюках па дель сешеа «!талл» дше галлене злт»титл. Глуп»»ои э»мента Юбавначнм узлоаью зпачення через Фь Фь Фа В Ф). АзпрансвмнРу)ащне функппн для Р пмеют внд ,ш )у)нФ 1 йднб) +~„о)Ф (3 33) Р ' й))нФ,+й))еФ+Д)ь")б)» где верхний индекс обозначает элемент. Доказать пепрерышккть )р вдаль общей границы еленентов проста, есл,н лоспользоваться Е-коардннвтвмв Е-коордвнаты Е(н н Е(т) намерены«я от старое, оратнвапаложных )-му узлу.

Перепишем формулы (3.30), пспользуя Е-каордннаты) йд) ЦнФ, +Е~) б)а+ 3 а)Ф); Д.31) е-каарлвнати еф) В е)о нзмеряются от общей граннцы. понтону вдоль зюй грнннпи Е))=Е(л=й Саотношепня (ЗЛЦ В тачках обшей гравнпы саодятш) к слелуюшнм: Рш=Ц«)Ф,+Е)нФ«=ЕР)Ф +(1 — Ц))Ф, Р«Н =Е~Ф, + ЦЕ«)~„='ЦПФ + (1 — Е)Р)) ФВ Ег)+М)=1 н Цн+ЕР)-1. Рассщп)рнм щюнзжшьную точку обшей травяны, котсрзн рас.

положена на расстаяннв з аг йчп узла (фш. 332). От)юшеннв А(«))А(«) н А(е()чт) равны велнчпне з/Ь и, сленователык), равны межлу «абай. С другой стороны, указанные атношеннн представляют собой ьнславис значення Е-косрднлат Ц') н Е(л, откуда !южно занлючнть, что Ц')=Цн для пронзасльнай тачкй обшей грвннцы. Используя зта равенства в формуле (332), получаем„ что а!юлу вдоль гршшцы ц)«)=ц)«е, что н нребоаалось доказать. Задачи 11. ))ычйслвш функпВн формы лля след!анках влемшпов.

Узловые жюрднвати указаны в нруглих сж)бках. 12. Опрелелше локальные функйнн формы для одномерного авекента, шлл мачадо локальной системы шюрдннат расналажеао е центре элемента. Лияэыиг илмйммилизие лелиюми (ца 21. Вычислите зютеграл ?7, (Рргй?,?Уьй(6, 0 я 3 1 3 (СГт 1 3 1 а 1 3 1 3 .1~Ч 13. Узлозые значения температуры лля хреугольного цнзюлексэлементе рааны Тг=130'С, Тг= 100'С н Ть ЬрйтС Выясните.

где язотермл 126'С перосекает границы элемента, 14, Поиюкиж, что № для сныплексного треугольника ранна пулю н узлах ) и й. 16, Покажите, что № лля оимплехоного треугольнике ранна жулю а произвольной точке отрезка. соединяющего узлы 1 и й. 16. Покажите, по функции ~ории для снмплеионого треуголь,ника удовлетлориют кратерию Х?73 1 и каждой точхе ввемжпа. з г 17. Л(атрица [С)-' для тегреэдрачьиого элементе с узлами г, Л Л н !а точках (О, О:„О), (2, 1, 0). (1, О. 1) и (1. 1.

2) ссотэет.стпеюю имеет инд Убедитесь„что эта матрица является обратной и [С) и затем «жределите функции формы для этого элемеата. 16. Чю аы можезе сказать о стргмэх матрицы [С) ' в задаче 17, если критерий сходнмостн Л?г(-Л';+№+?Уг=1 улоэлетзсряетсн, когда рассмзтрпэжтся тетрзэпральный элемент? 19. Определите гралиент бо/Нх длн тетраэдральнога .элемента .двумя спгхабаьтс 1) выбирая н качестве меходных соойюпгегюн (3.16), ныполняя дифферекццргюанве,"а затем умножение матрид; 2) пибфереицнруя функции формы.

29. Зады~и. уэлоные перемещении для дэумеряого симплексэлеиента; 2 мм, С„=й мм. Пм.«-.6 мм, Пм бмм, П»з= !мм. Ппредюнгге компоненты перемещенла и ижке В (1О. 1О)- Кжтднлэты узлов (а миллим!трах) указаны в вруглых скобках. гпе Ми — длина стЩюнм симпзмхсгюго тРеУголышка межзУ уэлаьв г н й а №, № и ЛГ» — фракции формы. 22. Вычислите обьемаый интеграл для спмдлююногц туз)зольника щющада А в толщиэм 1.

Глава Я ЛИТЕРАТУРА 1. Нзюпыпн М. А, Мюыегп Е. Е. Оп Р1ппе Нппюп1 1мсагюнюп 1и мыша! Сюмшпю!ю», гмин !. Таг мым эы ысеав ь е пгюмпюю, 7, згю — згз !!птзу. Д Дюр!м'Щ.хэ аеемп!гждааВ -Ыы Т,Е Нюя.м. 1ЩХ З.д У ад Е АС в! НН! Ппд и Щпююжа З-С: мс, НЧНГ.Н.т..

НЕВ 4. Оюе .!. Т Б Ве Енмеп!ю юг Нсп1Ье Сюпцппэ, Мсогеп-щв, Н. Т., 1М1- нт !1эщ!! есть Ртсскэа пюэюзсл: Овсп лм„де м«э ж мюе юн гюзнгс сюэююггмх арса, нюэ-пю «Мпр», М, 1977. 3. Лезь!агав О. с тье нюне еьююсп! ьмцюм 1п еюягпсм1юн 5мепсе. ИююгюпЩН, Ьююююе, !Щ!. Э, ЭЭ: е ь ргыэы жг сп: З х О„М и к впмеюпв в тегпвхс. вгп-ею Мерв М., НТД ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛУЕ4СННЫ ДЛЯ ДИСНРЕтИЗОВАННОИ ОЕЛДСТИ В гл 3 обгбчкдались вптерполяцаояяые ахмвошения для симплекс-зле!пятов. Числовые эначснвн узловых кюордпнвт прн пгюм ве фннанровэлясь, твк що размеры элемента п его орнентвцкя могут быть выбраны так, «ак это ысабходнмо. Это одно вв важных жктовлсэв ыстодв жгпечных элементов.

Свобола в аыбсре размеров н арпеатацпн ымменгав позволяет состалвть весьма обшпе вычвслвтельпые !юдпрогрэммы, включа1огоие раэлпчные вюемеиты. Такое подпрограммы могут быть использованы беэ ив!мнения лрн рзсамотрыпш областей с самыив разноабрзвэымн грэещцвып. Теперь сосрсдоточам внимание пэ отдельном элементе, с тем чтобы вывести систему урввпвввй для облщти п палом.

Точпее говоря, мы хатим включать каждый эпемект в рассматриваемую облщть и выразить через ггщбщжпые координаты и глобальные узловые экачаннп интерполяцнонные урэимлня для каждщю нспюльзуемо!ю элемента. Начнем с .Рассмотрения скалярных ведИ-. чва л затем обобщкм полученные результаты ла случвй векторных всюнчпн. ЯП. Скалярные величины Иптерпаляцжмный попасем в общей форме, аолупвщый в гл, 3, пмыт впд Ф, Ф! % =1й!1 [Ф[ — [Агу й![В, й!Т "-й!7п[ Ф, 14-1) где г — число узлов элемента, всрхнпй нндекс Тсу означает прю. пзэальпый злежнт. Техппка вклщм!пнн злеьшнта в область может был праплащстрпроваяа ва примере простой пнпелеыантнюй ипгфигурвцнп.

показанной ва фаг. 4.1. Узлы пронумерованы ют единицы до щсс- Гл»аз тн. Велнчлвы Фь Фь Фа, Ф». Ф» н Фа представляют собой гло. бальные стммнв своболы. Коордннеты узлов (хэ, Уе). 9 =1, 2, 6, предполагаются пзщстиымл. Номера элсмонтов записаны в круглых сксбнак. л(ля обозначення номеров узлов зле»мята мю»уг быть использованы принятые выше нндснсы а, 1 а й, как тюльке опрелслсп первый узел в каждом элементе. На фнг.

4.1 а-й узел в ,нюк) и» ЮяылЧ»ааян» лала»аль длл Значения индексов ь 1 н й юхут бить подставлены пфор»»улу (4.1), что приводят к следующей совокуппсстп уравнений ддм нле ментов. (4.3) фна=(у(а>Ф»+ )у(анр»+ Идаф», .%»ю =)у(зф»+ йа(»а Ф, + )у(нф», ар =(уа Фа+5»яр»+5(,ьра Чала=(УЮФ,+й(ааф, 1)У(офм рмг й((яф»+й((эф»+йаюф . Фупкшш. формы — шюжятслн пря уыювых аначенннх в формулах (43) — определяются пюдстэновжай мклювых вначеннй 1, ) и й э уравнения для функввй формы В обозначениях а, 1, й функння форыы йг)» записывается в аиде. .

ГФ= — ', (а()»+Яд+4'р~ ' (4 „4) (ю„х,,т) (ю,.х,.у) аз Э 1 11 д„»Р~»аяюьанна» «впвмлмвнмн знамен»е выделы» эвсздочкюй Выбей этого Узза сов»Р женно произв»лен. хотя читатель вскоре сам убеднюя в удюбспю именно такого раслоложения первых узлов. Узлы 1 п й следуют за 1-м узлом в направления против часовой стрелки. Флнснровапяе угла 1 позволяет зэпаюать следующие равенства для первого васяев»э." 1 2, ) 3, й 1. (4.2») Соответствие такого же тнпн может быть установлено.для другвх элемеяпаш (4.25) а (4.2») (4,2г) (4.2»6 С помощью ээнх ею»ношений можно осуществить включенне эле.мента з область, так как онп ставят в соотастствне мндевсы вяемента а, 1. й глобальным»юмерэм узлов.

В»от пропссс фиксирует ксюрдэнаты узлов элемшата влемент Ул 1=3, юмнент 3», 1=5, элемент 4» 1=6, элемент»с» =1, 2, 5=4, 3, й — 4, )=3. 3=5. (=3. й 6. где 4'=)(,ул —.Х,у»; й» =Уа — Уа, И эю=)(а — Хн л(ля пятогю иммента а' 1, 1=3 и* 6.

Подставляя этп значения в выражение (4.4), получаем й(~а ='„Щ~+5( л+ (яр(. (4.5) ай'а =х )' — х у йю 1; — У ~~~шащв ФОРМЫ (Ура П йа)аа а (4Я вЂ” соверш»вша раа ы ны, лажа если Лала Рвано Лааг В ащрэ мне йа а дующяе констыпы; ( '— х,у,— х,у 5»аю =1'» — Уь (4.6) а(0 =Х вЂ” Хз Срвененве формул (4.5) и (4.6) ясно показывает, чуо (у г 42. Викгорныи величины н»»г 4»»» в\в 4»»» нн) (4В) 4.1 показаны ма приведено здесь и„, Оп (тяь» им О»»» (гы (4Я 1) С помоиню уравнений (4.3) достиг мжя наша оыювная нпль. Ксиечаые элементы объедшппотся,в внсзмбль, а интерполяционпые функции выражвютсн через глобальные узловые знающ» п глобальные жюрляиаты, «оы»рыс вводятся вместо проню«»ивы« 1, 1 и й, ржсматриваемых и гл.